专题5点列递归数列和数学归纳法

1、 点列、递归数列和数学归纳法专题5 高考在考什么 【考题回放】) ( A a-1)，则a等于1已知数列 a 的前n项和为S，且S=2(2n nnn2 D. - B. 2 C. 1 A. 4 *n2?a?1,a?Sa)?N(n?)11?(a?a?，则 ，2在数列 中，且35 2110nn?2n n+1 -3_1),则该数列的通项a=_2 .3在数列a中，若a=1,a=2a+3 (nnnn1n+1 n，处的切线与y轴交点的纵坐标为在x24对正整数n，设曲线)(1?xy?xanan+1n . -2 则数列 的前n项和的公式是 2 1n? 1n?nax?)?ax?ax?aP(x. 5已知n次式项式nn

2、01?1nk),n,3,4,x(k2?）的（x若在一种算法中，计算P次乘法，计算1的值需要k030. 次运算 65 次乘法，3次加法），则计算P（x）的值共需要值共需要9次运算（6010 ，1（k=0，+）=xP（x）a下面给出一种减少运算次数的算法：P（x）=a，P（x+1kk0+10k）的值共x6次运算，计算P（1）.利用该算法，计算P（x）的值共需要2，n030n 次运算. 需要 2n 23x?x以后各项按如下1，(x0)的第一项6已知函数f (x)=x，数列xnnn)(x(x,f 在处的切线与方式取定：曲线x=f (x)y 1?n?1n . ,f (x)）两点的直线平行（如图）经过（0

3、，0）和（xnn*N? 求证：当n时，22;xx?2?x?3 () x 1?n?1nnn112nn?1?)()(?x?. （） n22x 2,x?3x?2f(x) 【专家解答】(I ) 证明：因为2.3x?2xk?)x,(xf()y?f(x 在所以曲线处的切线斜率1n?1n?1nn?1?1n?222),f(x(x(0,0)x?2x?x3x,xx?以即和. 两点的直线斜率是 nnn1n?n1n?nn20x?x?h(x)?x （II）因为函数，当时单调递增，2222x?x?(2x)3x?x?x2?2x?4x?2 ，而1nn?1nn?1n?n1?1?n1?nxxxx111n?xx?21nn?1?n2

4、.(x?,?) 所以 因此，即 1?nnn2xxx2x1?n1?n2ny1222),x?x?2(x?x,y?x?x1n?.?则令 又因为 1nnn?nnny21?nn11221?n?n2,x?xy?.?y)(?)?y( 所以 因为 1111n22 页）9页（共1第 点列、递归数列和数学归纳法 5 专题 111n?1n?22n?2.?x?x?x?(),()()x? 因此 故 nnnn222 高考要考什么 【考点透视】是历年数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，本专题是等差（比） 的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则 【热点透析】 高考中常常把数列、极

5、限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷常见题型： 1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、（ 推理与综合能力 a的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力）给出S与（2nn）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁（3 移能力 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列 突破重难点?n10a,a? 【范例1】已知数列，都有且中，对一切自然数nn20?a?aa?a?2 n1n?1nn?1a?a ；求证：(1)nn?1 2?nSa2S

6、a? (2)若的前表示数列项之和，则 n1nna221n?0?a?a?2aa?a (1)由已知，得解析：nn1nn?n1 2a?11?n1?2a?20,1a?a1a?0?1?aa，即, ，所以 因此又因为1nn?n1n?1?nn 21111a?aa?a?aa? ，即， 由结论(2) (1)可知1?n1n2n?1n 21n2?1n?222?1?1?11 22a?a?a?aS?a?aa?a?2?于是 ，? 1112111nn1?n221?1 ?2aS2? 即1n20?a?aa?a?2是解决问题的关从题目的结构可以看出，条件【点睛】nn1nn?1?aa 和键，必须从中找出的关系n1n?1).1(?0

7、n?aaa?aa满足1且8?162a5).?1n?b( 记【文】 nn?nn1?n11n1?a n2 页）9页（共2第 点列、递归数列和数学归纳法 5 专题 （）求b、b、b、b的值； 4321S.abb 的前 （）求数列的通项公式及数列n项和nnnn111 I）解析（,05?a?2a?,代入递推关系8aa?16b?得a? nn?1n?nn1n1b2?an n24634?0,即b?2b?, 整理得 n?1n3bbbbnn1nn?1?208.?,b,b?4,有b?2,所以b?由a?1 413123324444,?0),b?,b?2(b?2b?b? （）由 1nn?n?11n3333324故的等比

8、数列,公比q?2b?是首项为, 所以 n334114nn1).n?(,即b?2b?2 nn3333111,b?ab?由b?得 nnnn12?a n2 1n?b)?(b?b?故S?ab?ab?ab? nn2n1211n221n)(1?215 3n1).?5?n?(2?n 331?2 412?n?1n?2a?S?an?1,2,3,? 的前项的和【范例2】设数列， nnn333aa 与通项（）求首项；n1nn23?n1,2,3,?T?T，证明： （）设 in2S1i?n412n+1解析 ()由 S=a2+, n=1,2,3， nn333412得 a=S= a4+ 所以a=2. 1111333412n

9、再由有 S=a2+, n=2,3，4, 1nn133341n+1n), n=2,3, (22 =SS= (aa)将和相减得: a 1nnnn1n33nn1n是首项为a+2=4,公比为4, 因而数列a+2的+2整理得: a+2=4(a),n=2,3, 11nnnn n1nnn, n=1,2,3, 2因而a+2等比数列，即a=4= 44 = 4 , n=1,2,3, , nn41212n+1n+1n+1nnnn+11) 1)(22) = (21)(2 (2= + )= () S(422 n33333 页）9页（共3第 点列、递归数列和数学归纳法 5 专题 nn311322 T= = = ( ) n

10、n+1n+1nn2S2121)(21)12 (2nnn1131133?(T ) = = ( ) 所以 i1i+1i+122211221221i1i?1?i【点睛】S与a始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式nn放缩的技巧 ?Sa是首项为S各项均为正数且公比为的前n项和为【文】设数列S，若q1nnn的等比数列. ?aa（用S（）求数列和q表示）；的通项公式 1nna?a与2a的大小，并证明你的结论（）试比较. 1n?2nn?n?1S(q?Sq0)S （） 是各项均为正数的等比数列，解析n1nn?2当 =S； 当n=1时，aqS(q?1)?2时,a?S?S?n111nn?1n(

11、n?1)S?1a? ?nn?2S(q?1)q(n?2)?1（）当n=1时， 31 a?2a?a20,q?)?q?S?S(q?1)?2S(q?1)?S(?aa?2a231 1211324n?2时， 当3?n?2.1?Sqq? 1?n2nnq)(Sq?q?1)q1?a?a2a?S(q?1)q?2?S(111n?2n11nn?2?0,q0,S 1当q=1时， 3.2a?a?1)a?0,?(q1?nn?2n0?q?1时, 当3.2a?a)?0,?a(q?11?n?2nnq?1时, 当3.aa?2a?0,?(q?1)1n?2nn?a?a?2an?2时,若q?1,则a?a?2a; n=1综上可知：当时，当

12、2131n?2nn?q?1,则a?a?2a.;2a?,则aa?0?q?1 若若 1n?n2?n1?nnn?223y?x?3ax?bx(a?0)引切线，切于向曲线O以外的【范例3】由坐标原点O(x,y)(x,y），P如此进行下去，再由P引此曲线的切线，点P切于P以外的点21112121得到点列 P. yx,(nnnx与x(n?2)的关系式； 求：（）1nn?x的通项公式； （）数列 nn?P的极限位置的坐 时，（）当 n2 （）由题得 解析?bax?3x?f6(x)x,y)?(x)(x?x)(x?l:y?y?f0), （的切线为过点P111111113223l?a.),x?bx)(3x?6ax?

13、bx(?x?3ax?)?(? 过原点 得 111111112?)yx,(x)(xf?x):ly?y? 的P又过点（nnnnnnn?)yx,(x)(x?xy?y?f)l 因为过点P （ n-111n?nnn1n?nn?1n 页）9页（共4第 点列、递归数列和数学归纳法 5 专题 22x?xx?2x?3a(x?x)(x?x)?0. 整理得n?nn1n?1n?11nnn2(x?2x?3a)?0,由x?x得x?2x?3a?(x?x)0.nnn?1n?1n?1n?nn1 312).?a(n?x?x? 1?nn221 （）由（I）得).?a?a?(xx 1nn?2a1?的等比数列 所以数列x公比为-a是以

14、n 2211an1n?.?x?1?(?x?a?(?)a nn2221n,a)1?(?,x,xx,x而猜出x?. （法2）通过计算再用数学归纳法证明 n213421 （）333n.2a?ab?a)?aab?3a?limy?f(,)aa1?(?limx?lim? nn2?n?nn?3P点?).a?2a,ab 的极限位置为（n?(x)(xf?x)l:y?y?的应用，从而得出递推式 【点睛】注意曲线的切线方程11111?2na1,2,?n?1?,n?,S?n?anaS，已知 【文】数列项和为的前 1nnnn2?n2n?SSS ，并求关于与的表达式；的递推关系式（）写出nn?1nS?/1?nnnRfpx

15、p?b?f?x,bT（）设项和，求数列的前 nnnnnn?221n?n)n(nSn?1?Sn?2?S?S?na?，解析 由得 1nnnn?nn?1n?221?S?S1?n?S?nSn(n?1)2?n，所以 ，对成立即 1nn?1n?n1nn?2?13n?1nnn1S?1?S?SS?S?1S?由， 1n?22nn?n?1112nnn?21n?12n11n?anS?2S?1S?S 相加得，又，所以， 11n1n2n1n?1?n 当时，也成立Sn?n/1nn?1n?fxxxnpb?fp?（）由 ，得 nnn1n?nn1n23?nppT?2p?3p?1)p?(n? 而，n234nn?1np?1)p?3

16、p?(pT?p?2pn， nn)?pp(1n?123n?1nn?1nppp?p?p?p?np?(1P)T?. np?121?nCAx)x,2P(，a，(，0)y和抛物线：x x*)nb(N设点4【范例】nnnnnnn1x 4n，由以下方法得到：2其中a nn1n?2 页）9页（共5第 点列、递归数列和数学归纳法 5 专题 2的距离是到Px，0)axb上，点A(1，点P(x，2)在抛物线C：yx x2112 111212nC)(x,2P上，点b x：A到C上点的最短距离，点yx在抛物线ann11n1?1?nnAACPx 上点的最短距离 ，0)到到的距离是(nnn1nn? ()求x及C的方程 12

17、x是等差数列 )证明 (n2-7x+b. C：y=x解：()由题意,得A(1,0), 11 22222.)x?(x1)?y?b?(x?1)7(x? C|AP|=上任意一点,则设点P(x,y)是1112222?7x?bx)(2x?7).(x)?2(x?1)?2(f f (x)=(x-1), +(x则-7x+b)令112?0?(xf)?7x?b)(2x?7)?2(x?1)?2(x0. 由题意得, 即2222122 -7x2=x+b 又P(x,0)在C上, 1221222-7x+14. 故C方程为y=x解得x=3, b=14. 121()设P(x,y)是C上任意一点,则 1 22222.)?b?a(

18、x?x)x?(x?x)?y?(x |AP|=nnnnnn2222?ax?b)(2xx)?2(x?a)gx(x)?2(?, 则+(x,+ax+bn)令g(x)=(x-x)nnnnnn2?0)g?(x?ax?b)(2x)?2(x?a)2(x?x=0, 由题意得,即1?nn?nn?1n?11nnn?1n2nn?x?ax?2b)=0(n1), +a(2x(x又-x)+2,nn+1n+1nn1n?1n?nn+1n a=0, +2 (1+2(*) )x- x即n n+1n下面用数学归纳法证明x=2n-1. n 当n=1时,x=1,等式成立. 1 假设当n=k时,等式成立,即x=2k-1. kk+1ka=0

19、, 知(1+2(*) )x-x+2则当n=k+1时,由(*)kk+1kka2x?1kk?2k?1x?又a=-2-4k-. ,k 1?k1?kk?122?1即当n=k+1,时等式成立. +成立,xN是等差数列. 由知,等式对nn【点睛】注意第（1）小题其实是第（2）小题的特例，对于求数列的通项公式，归纳猜想证明是十分常用的手段 ?*a).?N2a(na,a?3,a?3?a?1 已知数列满足【文】n21n?1n?2n?aa?是等比数列；）证明：数列 （In?1n?a的通项公式；（II）求数列 n?b1b?1b?1b?*bb),?1)N(44.4n?a?(是等差数列 证明）若数列（II满足nn21n

20、nn?a?3a?2a,?a?a?2(a?a), 解析 （I）证明： n?n11n2n?n?2n?1n?a?a*1?2n?n).?N?2(?a?1,a3,?n? 21a?an1n?a?aa?a?2为首项，是以2为公比的等比数列 12nn?1*na?a?2(n?N), I）得（II）解：由（n1n?a?(a?a)?(a?a)?.?(a?a)?a 1n1nn?2?n1n?21 页）9页（共6第 点列、递归数列和数学归纳法 5 专题 ?1n?n*n2?222?1n2?N1?().?.?. nb?b)(b?b?.b?1b1b?b?1,2?4?,?1)?44.4?(a ）证明： （IIIn1n2nn21n

21、,nbb)?n?2(b?b?.? nn21.b?(n?1)b2(?b?.?b?b)?(n?1) 1?1n12nn,?1)b?nb2(b?1)?(n ，得n1n?n?10.?nb?2?(n?1)b 即 n?n10.?b?2nb?(n?1) 1nn?2?0,?nb?nb?2nb0,b?2b?b? ，得即 n1nn?2?n1n?n?2?*b?),N?bb?b(n?b 是等差数列 nn?n12?1nn? 自我提升 S?S?S?n12?TSaaTa令，项和为，1. ，称设数列为数列的前，n nn21nnnaaaaaa，的“理想数”已知数列为，那么数列2， ，2004的“理想数”，2500211na A）

22、理想数”为（的“500 (D) 2008 (C) 2006 (B) 2004 (A) 2002 满足以下运算性质：nN*2. 数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n-1_ 的代数式表示为 3则2n2用含n，(1) 22 = 1(2) ( 2n + 2) 2 = 3(2n 2)* * * 1?;?0?a2a,? nn6?2a?a?a ） 若数列a，则满足B 的值为（若 3. ?n 201n?117?1.a?1,?2a nn?2?1365 (D) (C) (B) (A) 7777现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛，60颗大小相同的球形弹子，4. 弹子棋共有(B) 使剩下的弹子尽可能少，那么

23、剩余的弹子有 颗D）11 （5 （C）颗 0（A）颗 （B）4颗然后再步，一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进35. 步的距1后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以，那=00）表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P（n离为1个单位长，令P（ ） C么下列结论中错误的是（P(103)0为常数，x=1, x=2. 211?nn（1）设a=xx，求数列a 的通项公式； nn+1nn 页）9页（共7第 点列、递归数列和数学归纳法 5 专题 limx ，当变化时，求f ()= ()的取值范围. （2）设fnn?xx?xax?nn?1?n1nn?x?x

24、?x?,?a? 1 （）由题得解析 1?n?n?212nn?1?1?11?,1?又a?xx?的等比数列， 是首项为1，公比为an 121?11n?1)a?(? n?1(2)x?x?(x?x)?(x?x)?(x?x)?1?a?a?a.?1?112nn131nn22 ?3?112?.?|?1.?limx?1又?0,?|? n1?2?1?n?1 ?1?32(1?2?)1?(,2)f)(?2? 0时 当 ?2?22? (文) 设曲线与一次函数yf（x）的图象关于直线 yx对称，若f (-1)=0，且点 an?1)1,n?P(在曲线上，又a= a 21 nan（1）求曲线C所对应的函数解析式； （2）求数列a d的通项公式 n解析：（1）yx-1 (2) a （n1）！ n k(x?(0,+?),k?N，k1)（理）过P（1，0）做曲线C：y=x的切线，切点为Q，81+设Q在x轴上的投影为P，又过P做曲线C的切线，切点为Q，设Q在x轴上的投21112影为P，依次下去得到一系列点Q、Q、Q、Q的横坐标为a，求证： n232n1（）数列a是等比数列； nn?1a?； （） nk?1nni?2a?a?a?a?k?k(注:). （） n12iai?11i?ik?1k?kx,Q(a,ay)， 解：（）若切点是nnnkk?1).ax?y?a?ka(