选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿

1、选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿1、两个相关的概念、两个相关的概念 对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同不同“值值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量，也称为属性变量或定性变量，它们的取值为分类变量，也称为属性变量或定性变量，它们的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别。一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别。（1）分类变量：）分类变量： 定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有定量变量的取值一定是

2、实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义。特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义。（2）定量变量：）定量变量： 例如身高、体重、考试成绩等，张明的身高是例如身高、体重、考试成绩等，张明的身高是180cm，李立的身高是李立的身高是175cm，说明张明比李立高，说明张明比李立高5（cm）选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿研究两个变量的相关关系：定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、 宗教信仰、国籍等等。宗教信仰、国籍等等

3、。两种变量：独立性检验独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心分类变量的之间是否有关系在日常生活中，我们常常关心分类变量的之间是否有关系2 2定定量量变变量量回回归归分分析析（画画散散点点图图、相相关关系系数数r r、变变量量 相相关关指指数数R R 、残残差差分分析析）分分类类变变量量独立性检验独立性检验2 2定定量量变变量量回回归归分分析析（画画散散点点图图、相相关关系系数数r r、变变量量 相相关关指指数数R R 、残残差差分分析析）分分类类变变量量独立性检验独立性检验 吸烟与肺癌列联表吸烟与肺癌列联表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟

4、77757775424278177817吸烟吸烟20992099494921482148总计总计98749874919199659965为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了地调查了99659965人，得到如下结果（单位：人）人，得到如下结果（单位：人）列联表列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是在不吸烟者中患肺癌的比重是 在吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大吸烟者患肺癌的可能性大0.54%0.54%2.28%2

5、.28% 与表格相比，二维条形图能更直观与表格相比，二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况。地反映出相关数据的总体状况。1) 通过图形直观判断两个分类变量是否相关：通过图形直观判断两个分类变量是否相关：二维条二维条形图形图2)通过图形直观判断两个分类变量是否相关：通过图形直观判断两个分类变量是否相关：患肺癌患肺癌比例比例不患肺癌不患肺癌比例比例等高条等高条形图形图 独立性检验H H0 0： 吸烟吸烟和患肺癌之间没有关系和患肺癌之间没有关系 H H1 1：吸烟吸烟和患肺癌之间有关系和患肺癌之间有关系通过数据和图表分析，得到通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患肺癌有关结论是：吸烟与患肺癌

6、有关结论的可靠结论的可靠程度如何？程度如何？ 不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟a ab ba+ba+b吸烟吸烟c cd dc+dc+d总计总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d吸烟与患肺癌的列联表：吸烟与患肺癌的列联表：选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟a ab ba+ba+b吸烟吸烟c cd dc+dc+d总计总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d吸烟与患肺癌的列联表：吸烟与患肺癌的列联表：如果如果“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”，则在吸烟者中不患肺，则在吸烟者中不患

7、肺癌的比例应该与不吸烟中相应的癌的比例应该与不吸烟中相应的比例应差不多比例应差不多，即，即|ad-bc|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强. .2 22 2n n（a ad d- -b bc c）K K = =( (a a+ +b b) )( (c c+ +d d) )( (a a+ +c c) )( (b b+ +d d) )构造一个随机变量构造一个随机变量其中n=a+b+c+d分析：若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应该很小。根据数据计

8、算得到K2的观测值为 独立性检验 吸烟与肺癌列联表吸烟与肺癌列联表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟7775427817吸烟吸烟2099492148总计总计9874919965通过公式计算通过公式计算2242 209956.6327817 2148 9874 91K9965(7775 49）选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿在在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：2(6.635)0.01P K 也就是说，在也就是说，在H H0 0成立的情况下，对随机变量成立的情况下，对随机变量K K2 2进行多次进行多次观测，观测值超

9、过观测，观测值超过6.6356.635的频率约为的频率约为0.010.01，是一个小概，是一个小概率事件率事件. .现在现在K K2 2的观测值为的观测值为56.63256.632，远远大于，远远大于6.6356.635，所，所以有理由断定以有理由断定H H0 0不成立，即认为不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系吸烟与患肺癌有关系” 56.632k 但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有即我们有99的把握认为的把握认为“吸烟与患肺癌有关系吸烟与患肺癌有关系”.选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿 利用随机变量利用随机变量K

10、K2 2来确定在多大程度上可以认为来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的的方法称为两个分类变量的独立性检验独立性检验. .独立性检验：独立性检验：如果如果 ，就判断，就判断H0不成立；不成立； 否则否则,就判断就判断H0成立成立.6.635k (6.635)0.01P k 即在即在 成立的情况下，成立的情况下，K K2 2 大于大于6.6356.635概率非常概率非常小，近似为小，近似为0.010.010H选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿2 22 2n n（a ad d- -b bc c）K K = =( (a a+ +b b

11、) )( (c c+ +d d) )( (a a+ +c c) )( (b b+ +d d) )构造一个随机变量构造一个随机变量 作为检验在作为检验在多大程度上多大程度上可以认为可以认为“两个两个变量有关系变量有关系”的标准的标准 。0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.706)(02kKP 0k)(02kKP 0k)(02kKP 0k0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828)(02kKP 0k0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.8

12、28)(02kKP )(02kKP 0k)(02kKP 0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060k)(02kKP 选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿独立性检验的基本思想：独立性检验的基本思想： ( (类似于数学上的反证法，对类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”这一结论成立可信程度的判断这一结论成立可信程度的判断) )：（1 1）假设该结论不成立，即假设结论）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量两个分类变量没有关系没有关系”成立成立. .（2 2）在假设条件下，计算构造的随机变量）在假设条件下，计

13、算构造的随机变量K K2 2，如果由，如果由观测数据计算得到的观测数据计算得到的K K2 2很大，则在一定程度上说明假很大，则在一定程度上说明假设不合理设不合理. .（3 3）根据随机变量）根据随机变量K K2 2的含义，可以通过（的含义，可以通过（2 2）式评价假）式评价假设不合理的程度，由实际计算出的设不合理的程度，由实际计算出的k6.635k6.635，说明假设，说明假设不合理的程度约为不合理的程度约为99%99%，即，即“两个分类有关系两个分类有关系”这一结这一结论成立的可信程度约为论成立的可信程度约为99%.99%.选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿 设要判断的结论为：

14、设要判断的结论为：H1：“X与与Y有关系有关系” 1、通过列联表和二维条形图，可以粗略地判断两个变、通过列联表和二维条形图，可以粗略地判断两个变量是否有关系。量是否有关系。不足之处：是不能给出这种判断的可靠程度，即不能不足之处：是不能给出这种判断的可靠程度，即不能给出出现这个结论犯错误的概率给出出现这个结论犯错误的概率aabccd2、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。独立性检验的一般步骤：2x2列联表y1y2总计总计x1aba+bx2cdc+d总计总计a+

15、cb+da+b+c+d选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿 利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能较精确地给出这种判断的可靠程度能较精确地给出这种判断的可靠程度. .具体作法是：具体作法是：（1 1）根据实际问题需要的可信程度确定临界值）根据实际问题需要的可信程度确定临界值k k0 0；（2）由观测数据计算得到随机变量）由观测数据计算得到随机变量K2的观测值的观测值k；（3）如果）如果k k k0 0 ，就推断，就推断“X与与Y有关系有关系”，这种犯，这种犯错误的概率不会超过相应的概率；否则就说样本观测错误的概率不会超过相应的概率

16、；否则就说样本观测数据没有提供数据没有提供“X与与Y有关系有关系”的充分证据的充分证据.选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445 k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.502()P Kk（1 1）如果）如果k10.828k10.828，就有，就有99.9%99.9%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（2 2）如果）如果k7.879k7.879，就有，就有99.5%99.5%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关

17、系”；（3 3）如果）如果k6.635k6.635，就有，就有99%99%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（4 4）如果）如果k5.024k5.024，就有，就有97.5%97.5%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（5 5）如果）如果k3.841k3.841，就有，就有95%95%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（6 6）如果）如果k2.706k2.706，就有，就有90%90%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”；（7 7）如果）如果k=2.706k=2.706，就认为没有充分的证据显示，就认为没有充分的证据显

18、示 “X X与与Y Y有关系有关系”. .临界值临界值选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿 打鼾不仅影响别人休息打鼾不仅影响别人休息,而且还可能与患某种疾病有关而且还可能与患某种疾病有关,在某一在某一次调查中次调查中,其中每一晚都打鼾的其中每一晚都打鼾的254人中人中,患心脏病的有患心脏病的有30人人,未患心脏未患心脏病的有病的有224人；在不打鼾的人；在不打鼾的1379人中人中,患心脏病的有患心脏病的有24人人,未患心脏病未患心脏病的有的有1355人人,利用图形判断打鼾与患心脏病有关吗利用图形判断打鼾与患心脏病有关吗?【解解】根据题目所给的数据得到如下根据题目所给的数据得到如下2

19、2列联表：列联表：患心脏病患心脏病 未患心脏病未患心脏病总计总计每一晚都打鼾每一晚都打鼾30224254不打鼾不打鼾2413551379总计总计5415791633相应的等高条形图如图相应的等高条形图如图: 图中两个深色的高分别表示每一晚都打鼾和不图中两个深色的高分别表示每一晚都打鼾和不打鼾的人中患心脏病的频率打鼾的人中患心脏病的频率,从图中可以看出从图中可以看出,每一每一晚都打鼾样本中患心脏病的频率明显高于不打鼾晚都打鼾样本中患心脏病的频率明显高于不打鼾样本中患心脏病的频率样本中患心脏病的频率,因此可以认为打鼾与患心因此可以认为打鼾与患心脏病有关系脏病有关系.选修12：独立性检验的基本思想及

20、其初步应用修改稿【题后点评题后点评】在等高条形图中展示列联表数据的在等高条形图中展示列联表数据的频率特征频率特征,比较图中两个深色条的高可以发现两者比较图中两个深色条的高可以发现两者频率不一样而得出结论频率不一样而得出结论.这种直观判断的不足之处这种直观判断的不足之处在于不能给出推断在于不能给出推断“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”犯错犯错误的概率误的概率.选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿 在一次天气恶劣的飞行航程中在一次天气恶劣的飞行航程中,调查了男女乘客在飞机上晕调查了男女乘客在飞机上晕机的情况机的情况:男乘客晕机的有男乘客晕机的有24人人,不晕机的有不晕机的有31人

21、人;女乘客晕机的有女乘客晕机的有8人人,不晕机的有不晕机的有26人人.请你根据所给数据判定请你根据所给数据判定:在天气恶劣的飞行航程在天气恶劣的飞行航程中中,男乘客是否比女乘客更容易晕机男乘客是否比女乘客更容易晕机?【题后点评题后点评】解决一般的独立性检验问题的步骤：解决一般的独立性检验问题的步骤：(1)通过所给列联表确定通过所给列联表确定a，b，c，d，n的值的值(2)利用利用K2求随机变量求随机变量K2的观测值的观测值k.(3)得出两个变量得出两个变量X与与Y是否有关系是否有关系选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿例1.秃头与患心脏病 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性

22、病人中，有214人秃顶；而 另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用 图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在 什么范围内有效？解：根据题目所给数据得到如下列联表1-13：患心脏病患心脏病不患心脏病不患心脏病总计总计秃顶秃顶214175389不秃顶不秃顶4515971048总计总计6657721437 根据联表1-13中的数据，得到221437(214597175451)16.3736.635.3891048665772K所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿 为考察高中生的性别与是否喜

23、欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：喜欢数学课程喜欢数学课程不喜欢数学课程不喜欢数学课程总计总计男男3785122女女35143178总计总计72228300解：在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下K2应该很小，并且例2.性别与喜欢数学课 由表中数据计算K2的观测值k 4.513。在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？2(3.841)0.05,P K而我们所得到的K2的观测值k 4.513超过3.841，这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为

24、“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”。选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿思考：例1、2的结论是否适用于普通的对象？ 在掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，就可以模仿例1中的计算解决实际问题，而没有必要画相应的图形。图形可帮助向非专业人士解释所得结果；也可以帮助我们判断所得结果是否合理例1这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体例2的结论只适合被调查的学校。大家要注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）独立性检验基本的思想类似反证法独立性检验基本的思想类似反证法( (1)1)假设结论不成立假设结论不成立, ,即即“两个分类变量没有关系两个分类变量没有关

25、系”. .(2)(2)在此假设下随机变量在此假设下随机变量 K K2 2 应该很能小应该很能小, ,如果由观测数据如果由观测数据计算得到计算得到K K2 2的观测值的观测值k k很大很大, ,则在一定程度上说明假设则在一定程度上说明假设不合理不合理. .(3)(3)根据随机变量根据随机变量K K2 2的含义的含义, ,可以通过可以通过评价该假设不合理的程度评价该假设不合理的程度, ,由实际计算出的由实际计算出的, ,说明假设合理的程度为说明假设合理的程度为99.9%,99.9%,即即“两个分类变量有关两个分类变量有关系系”这一结论成立的可信度为约为这一结论成立的可信度为约为99.9%.99.9

26、%.选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿122列联表与等高条形图列联表与等高条形图(1)分类变量的定义分类变量的定义变量的不同变量的不同“值值”表示个体所属的表示个体所属的_，像这，像这样的变量称为分类变量样的变量称为分类变量(2)22列联表的定义列联表的定义一般地，假设有两个分类变量一般地，假设有两个分类变量X和和Y，它们的取值，它们的取值分别为分别为_和和_，其样本频数列联表，其样本频数列联表(称为称为22列联表列联表)为：为：不同类别不同类别x1，x2y1，y2选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿y1y2总计总计x1ababx2cdcd总计总计acbdabcd（3

27、）与表格相比，图形更能直观地反映出两个分）与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用类变量间是否相互影响，常用_展示展示列联表数据的频率特征列联表数据的频率特征.等高条形图等高条形图选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿abcd选修12：独立性检验的基本思想及其初步应用修改稿 打鼾不仅影响别人休息打鼾不仅影响别人休息,而且还可能与患某种疾病有关而且还可能与患某种疾病有关,在某一在某一次调查中次调查中,其中每一晚都打鼾的其中每一晚都打鼾的254人中人中,患心脏病的有患心脏病的有30人人,未患心脏未患心脏病的有病的有224人；在不打鼾的人；在不打鼾的1379人中人中,患心脏病的有患心脏病的有24人人,未患心脏病未患心脏病的有的有1355人人,利用图形判断打鼾与患心脏病有关吗利用图形判断打鼾与患心脏病有关吗?【解解】根据题目所给的数