第6章 求解椭圆型流动与换热问题的原始变量法

1、传热与流体流动的数值计算1/31马良栋马良栋2008年3月24日第第6章章 求解椭圆型流动与换热问题的求解椭圆型流动与换热问题的原始变量法原始变量法传热与流体流动的数值计算2/31求解流动与换热问题的方法求解流动与换热问题的方法分离式求解分离式求解：u, v, p 各类变量独立地进行求解，即在一组各类变量独立地进行求解，即在一组给定的代数方程系数下，先用迭代法求解一类变量而给定的代数方程系数下，先用迭代法求解一类变量而保持其他变量为常数，如此依次求解各类变量。保持其他变量为常数，如此依次求解各类变量。传热与流体流动的数值计算3/316.1 6.1 流场求解中的两个关键问题流场求解中的两个关键问

2、题一、压力梯度的离散一、压力梯度的离散22dudpd uudxdxdx 1111112222iiiiiiiiiuuppuuuuxxx 不包含不包含pi，称为，称为2- 压差。压差。动量离散方程无法检测出附加在其上面的动量离散方程无法检测出附加在其上面的锯齿形锯齿形压力场压力场。传热与流体流动的数值计算4/31一、压力梯度的离散（续）一、压力梯度的离散（续）不包含不包含pi, j动量离散方程无法检测出附加动量离散方程无法检测出附加 在其上面的在其上面的棋盘形压力场。棋盘形压力场。采用采用2- 压差构造的离散格式压差构造的离散格式 无法检测出不合理压力场。无法检测出不合理压力场。压力梯度离散必须用

3、压力梯度离散必须用中心差分中心差分！ 且只能用且只能用1- 压差压差！交叉网格！交叉网格！同位网格！同位网格！1,1,1,1 ijiji ji jpppp传热与流体流动的数值计算5/31二、压力的求解二、压力的求解压力没有控制方程。压力没有控制方程。压力与速度的关系隐含在连续性方程中，压力与速度的关系隐含在连续性方程中，如果压力场是正确的，则据此压力场解如果压力场是正确的，则据此压力场解出的速度场必满足连续性方程。出的速度场必满足连续性方程。压力与速度耦合问题：压力与速度耦合问题：1、如何构造求解压力场的方程？、如何构造求解压力场的方程？2、在假定初始压力分布后，如何构造计算、在假定初始压力分

4、布后，如何构造计算压力修正值压力修正值的方程？的方程？传热与流体流动的数值计算6/316.2 6.2 交叉网格及动量方程的离散交叉网格及动量方程的离散一、交叉网格上速度分量位置的安排一、交叉网格上速度分量位置的安排u,v, p(其他标量场及物性参数其他标量场及物性参数)分别存储于三套网格上分别存储于三套网格上 主控制容积 u 控制容积 v 控制容积epepppxxnpnpppyy传热与流体流动的数值计算7/31二、交叉网格上动量方程的离散二、交叉网格上动量方程的离散特点：(1)积分用的控制容积是u, v各自的控制容积。 (2)压力梯度项从源项中分离出来。neneppespspdxdyppdyp

5、pyx eenbnbpeea ua ubppannnbnbpnna va vbppa传热与流体流动的数值计算8/31三、交叉网格上的插值三、交叉网格上的插值1、界面上的流量、界面上的流量 ue北界面上的流量北界面上的流量2、界面上的密度、界面上的密度3、界面上的扩导（、界面上的扩导（ue北界面上的扩导）北界面上的扩导）wewepewewppppxxxxfffuyuyxxxxeeeepeexxxxeeeen ennnnnnnnepnenexxxxdyyyyyy n eneneefvxvx传热与流体流动的数值计算9/31四、采用交叉网格的注意事项四、采用交叉网格的注意事项1、三类变量的节点编号方、

6、三类变量的节点编号方法法速度矢量箭头所指向的主节点的编号为该速度的编号。传热与流体流动的数值计算10/312、与边界相邻的速度控制容积与内部速度控制容积不同、与边界相邻的速度控制容积与内部速度控制容积不同3、与边界相邻的速度控制容积中的压差计算、与边界相邻的速度控制容积中的压差计算11,3,2,3,2jjjjlppppl传热与流体流动的数值计算11/316.3 求解求解navier-stokes方程的压力修正方法方程的压力修正方法一、压力修正方法的基本思想一、压力修正方法的基本思想1、假设一个压力场，记为p*。2、利用p*求解动量离散方程，得出相应的速度u*, v*。3、利用质量守恒方程来改进

7、压力场，要求与改进后的压力场相对应的速度场能满足连续性方程。4、以p*+p ，u*+u ，v*+v 作为本层次的解，并据此开始下一层次的迭代计算。关键问题：关键问题：(1)如何获得压力修正值p ，使与p*+p 相对应的u*+u ，v*+v 能满足连续性方程？(2)获得了p 后，如何确定u ，v ？传热与流体流动的数值计算12/31二、速度修正值的计算公式二、速度修正值的计算公式eenbnbpeea ua ubppa *eeenbnbnbppeeeauuauubppppa*eenbnbpeea ua ubppaeenbnbpeea ua uppa得：得：*eeeeepeuuuudppeepeea

8、 uppaeepeepeeauppdppa*nnnnnpnvvvvdpp速度修正方程传热与流体流动的数值计算13/31三、求解压力修正值的代数方程三、求解压力修正值的代数方程0uvtxy00ppewnsx yuuyvvxt 压力修正值方程ppeewwnnssa pa pa pa pa pb对连续性方程积分：pewnsaaaaa, , , eeewwwnnnsssady ady adx adx0*ppwesnbx yuuyvvxt 传热与流体流动的数值计算14/31四、压力修正值方程的边界条件四、压力修正值方程的边界条件b为一个控制容积不满足连续性的剩余质量的大小，可作为收敛判据。 rmax=m

9、ax(b(i, j) rsum= (b(i, j)传热与流体流动的数值计算15/316.4 simple算法的计算步骤及举例算法的计算步骤及举例simple：semi-implicit method for pressure linked equationsclear ：coupled and linked equations algorithm revised一、一、simple算法的计算步骤算法的计算步骤(1) 假定一个速度分布（u0，v0），以此计算动量离散方程中的系数及常数项；(2) 假定一个压力场p* ；(3) 依次求解两个动量方程，得u*，v* ；(4) 求解压力修正值方程，得p

10、；(5) 根据 p 改进速度值；(6) 利用改进后的速度场求解与速度场耦合的变量；(7) 利用改进后的速度场重新计算动量离散方程的系数, 用改进后的压力场作为下一层次迭代计算的初值, 重复(3)(7)直到收敛。传热与流体流动的数值计算16/31二、二、simple算法应用举例算法应用举例用用simple算法确定算法确定假定：60, 40, 20, 70.7, 0.6wsenwwpsspppuvuppvpp, , pwspuv*0.7 602028, 0.6 402012wsuv连续性方程wsenuvuv*, wwwwpsssspuudppvvdpp280.7, 120.6wpspupvp*40

11、1.327 10 201030pppppppppp*20pp 280.721, 120.66wpspupvp传热与流体流动的数值计算17/316.5 simple算法的讨论及收敛判据算法的讨论及收敛判据一、一、simple算法的讨论算法的讨论1、simple算法的简化假定算法的简化假定 (1)速度场u0，v0与压力p*的假定各自独立地进行。 说明：说明：随着迭代的进行两者间会逐渐趋于协调。 (2)速度修正值计算式略去了邻点速度修正值的影响。 说明：说明：迭代趋于收敛时，邻点速度修正值已无影响。 (3)采用线性化的动量方程，离散方程系数及b为定值。 说明：说明：迭代趋于收敛时，两迭代层次之间的量

12、趋于对应相等。 简化不影响收敛的解，但会影响收敛速度及健壮性。简化不影响收敛的解，但会影响收敛速度及健壮性。传热与流体流动的数值计算18/312、p 边界条件的假定边界条件的假定 (1)边界法向速度已知。 (2)边界压力已知。令压力修正值方程与边界相应的系数为零，相当于“绝热型” 边界条件。要求要求：计算区域满足总体质量守恒。3、压力参考点的选取、压力参考点的选取不给定绝对值。传热与流体流动的数值计算19/314、速度与压力修正值的亚松弛、速度与压力修正值的亚松弛p修正速度是合适的，但修正压力则被夸大。亚松弛：为限制相邻两层次之间的变化，以利于非线性问题迭代收敛（避免发散）。*pppp0000

13、 nb nbppnb nbppnb nbnb nbppppppppabaabaababaa01ppppnb nbaaab传热与流体流动的数值计算20/31二、流场迭代求解收敛的判据二、流场迭代求解收敛的判据1、内迭代与外迭代内迭代：在一组确定的系数及源项下的迭代计算。外迭代：从一个层次改进系数及源项到下一层次的迭代计算。2、终止内迭代的判据（p方程） (1)规定次数，如24次 (2) (3)( )kppr1 22( )kpeewwnnssppra pa pa pa pba p( )(0) 0.25 0.05kpppprrrr传热与流体流动的数值计算21/313、终止非线性问题迭代的判据（外迭代

14、）(1)特征量在连续若干个层次迭代中相对偏差。(2)连续性方程余量的代数和rsum或最大绝对值rmax。(3)连续性方程余量范数的相对值。(4)动量方程余量范数。()( )()k nkmmk nmnununusummaxsummax , , , mmrrrrqq2pmbq1 222eenbnbepeina ua ubappu传热与流体流动的数值计算22/316.6 simple算法的发展算法的发展一、一、simpler算法（算法（patankar, 1980） simple算法的速度场与压力场各自独立地假定，不协调。 设想：p用来修正速度，压力场的改进用别的方法。1、已知速度分布计算压力场ee

15、nbnbepea ua ubappenbnbeepeeua ubudppa eeepeuudppnnnpnvvdpp假拟速度传热与流体流动的数值计算23/311、已知速度分布计算压力场（续）压力方程边界条件与p方程相同。压力poisson方程ppeewwnnssa pa pa pa pa pbpewnsaaaaa, , , eeewwwnnnsssady ady adx adx0ppwesnbx yuuyvvxt 传热与流体流动的数值计算24/312、simpler算法的计算步骤(1) 假定一个速度场u0，v0，计算动量离散方程的系数；(2) 根据已知的速度计算假拟速度 ；(3) 求解压力方程

16、；(4) 把解出的压力作为p*，求解动量方程，得u*，v* ；(5) 求解压力修正值方程，得p ；(5) 根据 p 修正速度，但不修正压力；(6) 利用改进后的速度场求解与速度场耦合的变量；(7) 利用改进后的速度场重新计算动量离散方程的系数, 重复(2)(7)直到收敛。优点：初始的压力场与速度场相协调，压力不必亚松弛。缺点：多解一个压力poisson方程。 , uv传热与流体流动的数值计算25/31二、二、simplec算法（算法（1984）计算步骤与simple基本相同，仅有两点差别： (1) 以 代替simple中的 ； (2) p 不再亚松弛。eenbnbepea ua uappenb

17、enbnbeepeaauauuappeepeenbauppaannpnnnbavppaaeenbaaaeea a传热与流体流动的数值计算26/31三、不同算法的比较三、不同算法的比较性能指标：性能指标：经济性（收敛快慢，占用内存多少） 健壮性（robustness，鲁棒性） 是否可以在很宽的参数范围内得到收敛的解。比较结果比较结果： (1) 与问题有关。 (2) simple算法健壮性稍差。 （能获得收敛解的松弛因子变化范围较小） (3) 在三维问题计算中多采用simple算法。传热与流体流动的数值计算27/316.7 加速加速simple系列算法收敛速度的方法系列算法收敛速度的方法一、选择合

18、适的松弛因子 应尽可能大，一般取0.70.8，也可模糊控制。二、显式修正步法 u*+u ，v*+v 满足连续性方程，但不满足动量方程。 用动量方程构造出u、v的显式计算式。三、加速simpler算法收敛速度的方法(msimpler)11.1upu1111ee 即 e：时步倍率传热与流体流动的数值计算28/316.8 开口系统流场计算中出口法向流速的确定开口系统流场计算中出口法向流速的确定一、出口边界条件的处理方法一、出口边界条件的处理方法1、局部单向化2、充分发展的假定 边界值更新法边界值更新法 附加源项法附加源项法（比边界值更新法快） 充分发展假定要求出口截面前有一段足够的距离。 适用于出口截面无回流的情形。0n,1,2*,1,20 i mi mi mi mby