空间与轴对称问题有限元分析

1、空间及轴对称问题有限元空间及轴对称问题有限元概述概述空间问题空间问题( (四面体四面体、六面体类六面体类) )轴对称问题轴对称问题轴对称问题轴对称问题非轴对称荷载非轴对称荷载概概 述述 三个方向尺寸属于同一数量级，所受荷载或形三个方向尺寸属于同一数量级，所受荷载或形体复杂，不可能像上一章那样简化成体复杂，不可能像上一章那样简化成平面问题平面问题处处理，这时必须按空间问题求解。理，这时必须按空间问题求解。 与平面分析不同，空间有限元分析有如下两个与平面分析不同，空间有限元分析有如下两个困难：困难：1 1）对空间物体进行离散化时不像平面问题那样）对空间物体进行离散化时不像平面问题那样直观，人工进行

2、离散时很容易产生错误；直观，人工进行离散时很容易产生错误；2 2）未知量的数量剧增。）未知量的数量剧增。 建立网格自动生成前建立网格自动生成前处理程序处理程序 采用高阶单元来提采用高阶单元来提高单元精度高单元精度 平面图形绕面内一轴旋转所产生的空间物体，平面图形绕面内一轴旋转所产生的空间物体，称为轴对称物体，是一类特殊的空间问题。称为轴对称物体，是一类特殊的空间问题。空间问题空间问题 1 1 常应变四面体单元形函数常应变四面体单元形函数 与平面三角形单元相对应，四面与平面三角形单元相对应，四面体单元内任一点可用体单元内任一点可用“体积坐标体积坐标”来表示。来表示。各子四面体各子四面体体积体积

3、与三角形单元一样，体积坐标为与三角形单元一样，体积坐标为ti =vi /v ,三个是三个是独立的，它有独立的，它有“本本1，它，它0，总和，总和1”的性质。的性质。p123四面体四面体总体积总体积 ( (右旋右旋体积正体积正) )111222333444111161xyzxyzvxyzxyz1234p234p124p1342224441333111161xyzxyzvxyzxyz1113332444111161xyzxyzvxyzxyz1114443222111161xyzxyzvxyzxyz1112224333111161xyzxyzvxyzxyzp 剩下来的工作基本和三角形常应剩下来的工作

4、基本和三角形常应变单元类似。变单元类似。作业：自学单元列式内容。作业：自学单元列式内容。空间问题空间问题 2 2 十结点（二次）四面体单元形函数十结点（二次）四面体单元形函数 类似于平面六结点二次三角形单元，类似于平面六结点二次三角形单元，采用试凑法建立结点的形函数。采用试凑法建立结点的形函数。t1t2t3o12345678n1=a785234=a(t1-1/2)t1 为使为使n1满足本点为满足本点为1，可得，可得a=2，代回后得代回后得n1 =t1 (2t1-1) 余者类似，也可余者类似，也可按如下通式按如下通式得到：得到：ipjiij=jiii4ist ,t ,t ,tn =st ,t ,

5、t ,t12341123式中式中p为形函数阶次，分子为不通过为形函数阶次，分子为不通过i点的平面方程点的平面方程左端项，分母中括号内为左端项，分母中括号内为i点体积坐标。点体积坐标。请大家请大家自行验自行验证！证！空间问题空间问题 3 3 形成四面体的对角线划分方法形成四面体的对角线划分方法 先划分成六面体再分为四面体先划分成六面体再分为四面体1243568714671246143748761 1）六面体划分为）六面体划分为5 5个四面体个四面体a a5 5型型14671467间连间连6 6根对角根对角线线 1567空间问题空间问题 3 3 形成四面体的对角线划分方法形成四面体的对角线划分方法

6、 1 1）六面体划分为）六面体划分为5 5个四面体个四面体1243568712352568243835872358b b5 5型型23582358间间连连6 6根对根对角线角线 相邻六面体相邻六面体必须一个为必须一个为a5另一个另一个为为b5共同点共同点相对面对角线相对面对角线相互空间交叉相互空间交叉空间问题空间问题 3 3 形成四面体的对角线划分方法形成四面体的对角线划分方法 2 2）先划为五面体再划分为）先划为五面体再划分为6 6个四面体个四面体12435687124356435687连连47、76、636874、5673、4763连连23、25、632351、3562、3642a a6

7、6型型以折面以折面35643564分分空间问题空间问题 3 3 形成四面体的对角线划分方法形成四面体的对角线划分方法 2 2）先划为五面体再划分为）先划为五面体再划分为6 6个四面体个四面体12435687连连35、52、633562、5673、2351连连47、46、633764、6874、3642a a6 6型型以折面以折面23762376分分243687123567两种两种a6划分划分结果完全相同结果完全相同空间问题空间问题 3 3 形成四面体的对角线划分方法形成四面体的对角线划分方法 2 2）先划为五面体再划分为）先划为五面体再划分为6 6个四面体个四面体12435687连连23、35

8、、452453、4753、2351连连45、46、674562、5674、6874b b6 6型型以折面以折面24752475分分245687124357空间问题空间问题 3 3 形成四面体的对角线划分方法形成四面体的对角线划分方法 2 2）先划为五面体再划分为）先划为五面体再划分为6 6个四面体个四面体12435687连连47、76、544753、5674、6874连连32、25、542351、4352、4562b b6 6型型以折面以折面34653465分分124356435687两种两种b6划分划分结果也完全相同结果也完全相同作业：作业：p.95给出了由六面体给出了由六面体8个角个角点点

9、号，按式点点号，按式(4.1.25)求求a6和和a5型型四面体结点号的方法。请考虑四面体结点号的方法。请考虑b6和和b5型的计算公式。型的计算公式。空间问题空间问题 4 4 六面体类单元的形函数六面体类单元的形函数 1 1）八结点单元）八结点单元12345678类似平面问题矩形线性单元，由试类似平面问题矩形线性单元，由试凑法可建立形函数如下：凑法可建立形函数如下：in0000001 1=1+=1+1+1+1+1+ 8 82 2）二十结点单元）二十结点单元和平面问题一样，基于和平面问题一样，基于试凑法，可以根据上述试凑法，可以根据上述八八结点低阶单元形函数结点低阶单元形函数构造各顶点形函数。构造

10、各顶点形函数。123456789101112141720作业：作业：32结点三次单元结点三次单元空间问题空间问题 5 5 五面体类单元的形函数五面体类单元的形函数 1 1）试凑法建立六结点形函数）试凑法建立六结点形函数用于与六面体单元联合，解决边界用于与六面体单元联合，解决边界形状不规则物体的分析。形状不规则物体的分析。11(1,2,3)2inlii课堂练习：建立课堂练习：建立15结点五面体单元形函数。结点五面体单元形函数。2 2）三维等参元列式）三维等参元列式 基本思想和平面问题一样，具基本思想和平面问题一样，具体列式参看体列式参看p.101p.104。l1l2312645112inli+3

11、轴对称问题轴对称问题 工程中有一类结构，它们的几何形状、约束条件及工程中有一类结构，它们的几何形状、约束条件及作用的荷载都对称于某一固定轴作用的荷载都对称于某一固定轴( (可视为子午面内平可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果面物体绕轴旋转一周的结果) )，其力学分析称为轴对，其力学分析称为轴对称问题。典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。称问题。典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。1 1 离散化离散化 由于由于可视为子午面内平面物体绕轴旋可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果转一周的结果，2 2 应力与应变应力与应变 对轴对称问题进行分析一般取柱对轴对称问题进行分析一般取柱坐标系，对称轴为

12、坐标系，对称轴为z轴，径向为轴，径向为r 轴，环向为轴，环向为轴。轴。 因此轴对称问题分析可在子午面内因此轴对称问题分析可在子午面内划分单元，实际是取子午面内图形绕对称轴旋转所划分单元，实际是取子午面内图形绕对称轴旋转所得得“圆环形单元圆环形单元”对物体进行离散。对物体进行离散。 因此可用的单元因此可用的单元与平面问题一样。与平面问题一样。轴对称问题轴对称问题 在柱坐标下轴对称问题的几何方程为在柱坐标下轴对称问题的几何方程为根据具体单元根据具体单元, ,代入所建立的位移模式代入所建立的位移模式, ,即可得应变矩即可得应变矩阵阵b。0010rzrzurrwuzzwurruwzrzr 轴向位移轴向

13、位移径向位移径向位移 教材上教材上有推导有推导的示意的示意图，参图，参考弹性考弹性力学。力学。由于算子中有由于算子中有1/r，所以三角形环单元所以三角形环单元b不再是常不再是常数矩阵。数矩阵。轴对称问题轴对称问题 根据具体单元，即可得应变、应力矩阵等。根据具体单元，即可得应变、应力矩阵等。ed10101-1-1-1-10101-1-1-1-= =1+1-21+1-210101-21-22 1-2 1- d = 0式中式中对称对称对线弹性问题，在上述应变分量条件下，物理方程为对线弹性问题，在上述应变分量条件下，物理方程为 以三角形环单元为例，其位移模式为以三角形环单元为例，其位移模式为12223

14、2(1,2,3)eeiinnnnl idiiin轴对称问题轴对称问题 根据轴对称问题的算子矩阵，单元应变矩阵为根据轴对称问题的算子矩阵，单元应变矩阵为t123tt00100200eeeiiiiiiiiiiinnnbgcrrzbcbnnzrbbb ba n123t1111211212(1)(1)(1 2 )/( , ),/(1),(1 2 )/2/(1)rzrzeeeiiiiiiiiiiiiiiiiibagabagabga ceaccaca bgarbc z rg r zaadbsssss应力矩阵：应力矩阵： 由于应变矩阵的特点，应力分量中除剪应力为由于应变矩阵的特点，应力分量中除剪应力为常量外

15、，其余三项正应力均不再是常数。常量外，其余三项正应力均不再是常数。轴对称问题轴对称问题 由于由于b b 中含有坐标变量，因此积分运算较平面中含有坐标变量，因此积分运算较平面问题复杂，精确积分参见问题复杂，精确积分参见zienkiewicz (finite zienkiewicz (finite element method, 5th edelement method, 5th ed，2000)2000)。 教材上对三角形环单元具体介绍了教材上对三角形环单元具体介绍了ke和和fee的有的有关计算过程。请自学相关内容。关计算过程。请自学相关内容。t2dekr ab db 单元刚度矩阵仍可按照平面问

16、题的方法建立，但单元刚度矩阵仍可按照平面问题的方法建立，但需注意体积积分应在整个环上进行。需注意体积积分应在整个环上进行。 实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对于三角形环单元用形心处坐标代替应变矩阵具体对于三角形环单元用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标变量。中的坐标变量。如何进一步改进积分精度？如何进一步改进积分精度？轴对称问题等参元分析轴对称问题等参元分析 教材上教材上p.111p.111具体给出了单刚和等效荷载结果具体给出了单刚和等效荷载结果。t12;uwnne12dnnii单元位移场：单元位移场：单元描述：单元描述：tt1122;erzrz

17、rzernrriiiiiiiiiiiinnrzrzjrznnrz11112221223;iiiiiiinnnnnhjjhjjhn ri圆柱坐标系下圆柱坐标系下雅可比矩阵：雅可比矩阵：t132210;(1,2,)00ihhhihhe12ebbbb应变矩阵：应变矩阵： 如果轴对称体上作用的非轴对称荷载，如烟囱上作如果轴对称体上作用的非轴对称荷载，如烟囱上作用的风荷载及地震荷载等，此时结构的位移、应变用的风荷载及地震荷载等，此时结构的位移、应变和应力将不再是轴对称的，需按照空间问题求解。和应力将不再是轴对称的，需按照空间问题求解。轴对称问题非轴对称荷载轴对称问题非轴对称荷载此时求解费用将大大增加，如

18、何进行简化？此时求解费用将大大增加，如何进行简化？ 采用半解析有限元方法，将此类问题化为若干采用半解析有限元方法，将此类问题化为若干轴对称问题叠加进行求解。此处将轴对称体上作用轴对称问题叠加进行求解。此处将轴对称体上作用的一般荷载的一般荷载p p( (r,zr,z, ,) )沿三个坐标轴方向分解，并沿沿三个坐标轴方向分解，并沿方向展开成付氏级数：方向展开成付氏级数：011011011( , , )( , )( , )cos( , )sin( , , )( , )( , )cos( , )sin( , , )( , )( , )sin( , )cosnniiiinniiiinniiiir r z

19、r r zr r zir r ziz r zzr zz r ziz r zit r zt r zt r zit r zi轴对称轴对称对称对称反对称反对称扭转扭转轴对称问题非轴对称荷载轴对称问题非轴对称荷载非轴对称荷载的分解：非轴对称荷载的分解： r0、z0 与与无关，是无关，是轴对称荷载；轴对称荷载；t0 与与无关、沿无关、沿 方向，是方向，是扭转荷载；扭转荷载；ri(r,z)cosi等是关于等是关于=0平面的对称荷载；平面的对称荷载；ri(r,z)sini等是关于等是关于=0平面的反对称荷载；平面的反对称荷载；对称对称反对称反对称轴对称问题非轴对称荷载轴对称问题非轴对称荷载将位移作类似的分解

20、：将位移作类似的分解： u0、w0 轴对称位移；轴对称位移；v0 扭转位移；扭转位移；ui(r,z)cosi、 wi(r,z)cosi 、vi(r,z)sini是关于是关于=0平面对称的位移；平面对称的位移；ui(r,z)cosi 、wi(r,z)cosi、 vi(r,z)cosi是关于是关于=0平平面反对称的位移。面反对称的位移。011011011( , , )( , )( , )cos( , )sin( , , )( , )( , )cos( , )sin( , , )( , )( , )sin( , )cosnniiiinniiiinniiiiu r zu r zu r ziu r ziw r zw r zw r ziw r ziv r zv r zv r ziv r zi轴对称轴对称对称对称反对称反对称扭转扭转轴对称问题非轴对称荷载轴对称问题非轴对称荷载 对称荷载作用下的计算：对称荷载作用下的计算： 对称荷载引起的位移是对称的：对称荷载引起的位移是对称的：111t11111( , )coscos00( , )cos(0cos0)( , )sin00sinijinnmiijjiijiijnniimmmiiiuuu r ziiww r ziinwvv r ziivnnuvnnie ei33iuii n sym11tttt11coscos00( , , )cos