椭圆离心率专题.doc

1、椭圆离心率专题1 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为1200，则此椭圆的离心率 e为2 Fi, F2分别是椭圆=1(a b 0)的左、右焦点,O为坐标原点，以OR为半径的圆与该左半椭圆的两个交点A B,且；F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为3 若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率 为4 以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是5 椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，椭圆的离心率是2 2X V6 椭圆二2 = 1(ab0)的左、右焦点分别是Fi、F2,过F2作倾斜角为120。的直线a b与椭圆的一个交点为 M若MF垂直于x轴，则椭圆的

2、离心率为 2 27直线x-2y + 2= 0经过椭圆 令 匕 =1(a b0)的一个焦点和一个顶点，则该椭a b2 28 已知椭圆x- 爲=1 ( a0, b0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,若a bBF丄BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。9 以Fi、F2为焦点的椭圆2 2xy12.2丄aba b 0 )上一动点 巳当.匕F1PF2最大时-PF1F2的正切值为2,则此椭圆离心率 e的大小为2 2 10对于椭圆 笃 2 =1(a b .0,ch*a2-b2)，定义e仝为椭圆的离心率，椭圆 a ba离心率的取值范围是e (0,1)，离心率越大椭圆越“扁”，离心率越小

3、则椭圆越2 2“圆”若两椭圆的离心率相等，我们称两椭圆相似已知椭圆- =1与椭圆4 m2 2X y 1相似，则m的值为m 911如图,椭圆中心在坐标原点,f为左焦点,当？B丄；B时，其离心丰丫率为壬1,此类椭圆被称为“黄金椭圆” 类比“黄金椭圆”,可2推算出”黄金双曲线”的离心率 e等于12 以等腰直角ABC的两个顶点作为焦点，且经过另一顶点的椭圆的离心率为2 213 .直线x 2y 2 =0经过椭圆笃y2 =1(a b o)a b的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于14 .已知正方形 ABCD勺四个顶点在椭圆-22 _y_ =( a b .0)上，AB/ X轴，AD过左a b焦点F,则

4、该椭圆的离心率为 .15 已知正方形 ABCD，则以A, B为焦点，且过C, D两点的椭圆的离心率为 16 .已知m,n,m+n成等差数列， m2 2n, mn成等比数列，则椭圆 =1的离心率为m n2 217 椭圆务E =1(a b 0)满足 a ba _ 3 b，离心率为e,则e2的最大值是19 .若椭圆x2 my2 =1的离心率为，则它的长半轴长为220 .已知2P是以F2为焦点的椭圆笃a2b2= 1(ab 0)上的一点，若PF1 PF21站卩越匚,则此椭圆的离心率为2 223 .如图椭圆 笃爲=1 ( ab0)的上顶点为A,左顶点为B, F为右焦点,过F作平 a b行与AB的直线交椭圆

5、于 C D两点作平行四边形 OCED, E恰在椭圆上.(1)求椭圆的离心率；参考答案1. D【解析】由题意得:二 tan 6( =ab2a2 一 3a2，即31 -e2,6e。选 D。32. D【解析】本题考查直线方程，椭圆的标准方程和几何性质 椭圆的左焦点Fi和一个顶点B分别是直线x2y2=0与x轴和y轴的交点；所以在方程x-2y，2 =0 中，令 y=0 得 F(-2,0),令 x = 0 得 B(0,1);则椭圆中c = 2,b =1,; a = Jb?= J5;所以椭圆离心率为 =.故选 Da V553. D【解析】连接AF1则AF1F2为直角三角形，角 AF2F1为30, AF1 =

6、 c , AF2 - 3c , 所以 e 二 2c =、3-1。v3c +c4. Cx2y2a a【解析】不妨设椭圆的方程为評舒1，由题意得椭圆上的点P坐标为”，代入椭圆方程可得1 a222222224T1，即3b， a =3b =3(a -c)，二 2a =3c，.6e =35. B【解析】略6. 2 、3【解析】不妨设|F1F2|= 1. V直线MF的倾斜角为120/ MFF = 60| MF = 2, | MF = 3 , 2a= | MF| + | MF| = 2 +3 , 2c= IF1F2I = 1 , e= = 2、. 3 .a【解析】直线x 2y+ 2 = 0与坐标轴的交点为(

7、2, 0) , (0,1)，依题意得,c = 2, b= 1? a= . 5 ?2 2 2 2 2 2 2【解析】|AB| =a +b , |BF|= a, |FA|= a+c，在 RtABF中，（a + c） =a +b +a化简得：c2+ac-a2=0,等式两边同除以 a2得：e2，e_1=0，解得：e=玄-29.-PF-F2的正切值为2，即【解析】当 F-PF2最大时P为椭圆与y轴的交点，e，则椭圆离心率2 .2 2 2a b c = a5 2 c21he KUF*9F*a25 o510. 6【解析】11.75+1【解析】猜想出“黄金双曲线”的离心率e等于一=.事实上对直角 ABF应用勾

8、股定2小22222222理，得 AF| =|BF +|AB ,即有(a+c)2 =(b2+c2)+(a2+b2),注意到b2二c2 -a2, e = ,变形得e2 -e -1 = 0,从而e =a点评：本题通过圆锥曲线的有关知识考查类比推理，属于难题212. 2 或 2 一1【解析】略13.2.55【解析】略14.,5 -1【解析】略【解析】略16.丄2【解析】由2n = 2m + n* n2 =m2nm _ 222二，椭圆冬乞=1的离心率为上 n = 4mn17. 23【解析】V318.3【解析】因为2ca 2a |PFi | | PF?|于是在 PFF2中，由正弦定理知sin 60e= s

9、in90 sin30 319. 1,或2【解析】当m 1时,x2=1,a =1 ；当 0 : m : 1 时，2,2ca b彳 31 -m , m 4a21,a420. 3【解析】设 |PR Fn, IPF2 Fa 则 A21 22，r12 s 2*5r2 =(2c)，e = -3-2-121. e-2【解析】由题设得：2c二2a 2b=ab,c4 二 a2Ce1=0 ,e2，即e =.5-1.5 -1e 谆,1);(2)(i)所求椭圆方程为|16=1 , ( ii )当94. 94 丄亍0)- (0,)时,A、B两点关于点P、Q的直线对称。c4 =a2 a2 -c2 ,展开后等式两边同除以a

10、4得：e4 =1-e2 ,即e4【解析】(I )设M (xo, yo)22x0y0M G. -0? =1a b(22 a -) c又 FiM F2M =0(xoc, y)(Xo-c, y) = 02 2 2 2 由得y二c -X。代入式整理得X。2a 、2又 0 土 x0 士 a . 0 士 a (22)二 ace2 _ 丄，又0 e 12e彳1)(n) (i )当 e-时，设椭圆G方程为:22b2汁1设H (x, y)为椭圆上一点，则I HN |2 = x2 (y -3)2 = (y 3)2 2b2 18,其中一 b 乞 y 乞 b若0 : b : 3,则当y = -b时，I HN |2有最

11、大值b2 6b 9由 b2 6b 9 = 50得b=-35.2 (舍去) 若b 3，当y= 3时，|HN|2有最大值2b2+1822由 2b+18=50 得 b =1622所求椭圆方程为y 13216(ii )设 A (X1, y 1), B (X2, y2), Q ( x。，y)，则由 OQ的直线对称k)=O2 -32解得疋：:：47,又k = 02Q0或0*上2 2j94J94故当k(，0) 一 (0,)时，A B两点关于点P、Q的直线对称。22(ii )另解；设直线I的方程为y=kx+by = kx bI 由x2 y2得132162 2 2(1 2k )x 4kbx 2b - 32 =

12、0(*)设 A(Xi, yi)，B(X2，y2)，Q(x, y),贝UXiX222bk21 2k二 kx0 bb21 2k又直线PQL直线I直线PQ方程为1丄73y xk 3将点Q( X0, y0)代入上式得,1y0X0k将代入b 3(1 2k2)3T X1, X2是(*)的两根2 2 2 2 2-江=(4kb)2 -4(1 2k2)(2b2 _32) =8 16(1 2k2) _8b2 _ 0247代入得k2 : 一,又k = 029494当k，(,0)(0,)时，A B两点关于点P、Q的直线对称。222 223.) (1) e =-=a 2(2)故椭圆方程为1142【解析】(1) T焦点为F(c, 0), AB斜率为,故CD方程为y=b(x c).于椭圆联立后消aa去y得2x2 2cx b2=0. / CD的中点为G(-bC),点E(c,虫)在椭圆上，