均匀带电薄圆盘场强分布的研究

1、各自位矢为r=er ，0二&0。所以r = r - rerr - 8订0由球坐标基矢 与直角坐标基矢（e ey，ez）之间的变换关系为1均匀带电薄圆盘场强分布的研究黎印中（贵州师范大学物理与电子科学学院贵阳550001）摘要：通过对均匀带电细圆环空间电场的求解。在利用电场的叠加原理，导出均匀带电薄 盘在场点与源点的距离大于圆盘半径时，电场的级数表达式。关键词：细圆环；电场；薄圆盘；叠加原理；级数表达式Uniformly charged thin disc field distribution ofAbstract: Based on a un iformly charged ring solu

2、ti on of the electric field of space.The use of electric field superposition principle, derived the presence of a uniformly charged thin disc-point distance from the source point is larger than disc radius, the electric field of the series expressi on.Key words: fine ring; electric field; thin disk;

3、 superposition principle; series expression1引言在大学物理教材上，均匀带电薄圆盘作为一个典型的带电模型，常常需要求其空间的电场分布。本文借助文献2求出的均匀带电细圆环电场的空间分布， 通过电场的叠加原理，导出均匀带电薄圆盘在以圆盘的中心为球心，以圆盘的半 径为球半径的球外空间的电场分布。2均匀带电细圆环的电场分布的级数解设圆环的半径为r。，电荷线密度为。选择在球坐标系中，如图所示，由对 称性可知，带电细圆环的电场分布关于 z轴对称。因此，电场分布与无关。为了计算的方便，只求在 xoz平面的任意一点 的p处的电场，就可以代表整个空间的电场 分布。在xo

4、z平面内任取一场点p（ r，寸,0）， 在圆环上任取一电荷元dq，源点dl（r0,?）ex =er sin v cos e coscos$ -e sin ey 二er sin sinco sine ? cos :ez 二ecos 二 -e。sin 二所以p点的ex , ey , ez分别为=er sin v e。costey =e .ez =ecost -e。cos又ro -rocos ex rosin 8 汀ocos hsin。e。cos。】 rsin e=r 0cos sin 0er r0cos cos 0ee r0sin er =r ro=er r”r厂er -rocos siner r

5、ocos cose。rosin e =r -rcos sin= er -r cos，cosy。-rsin e又在直角坐标系中 p(rsin 。,0,rcos 。) , dl(r0cos，0sin ,0)。所以 p, dl 之间 的距离 | r F J(r sin 日 一 r0 cos f +(r0 sin f + (r cos日 f1=r2 r02 -2rr0 sin cos2令 A= r2r022rrsin 二卜 1 1所以 | r |= A2 1 - BCOS: 2 ,而电荷元 dq= rod ，dq在p点产生的电场dEdE 二虫丄 r d r3g 厂Q 厂4A；1-Bcos(3)又dE在

6、球坐标下的三个分量为dEr 二r0 r - r0 sin cos ddE.334 0A2 1 - Bcos 22r0 cos r cos d334 ； A2 1 - Bcos 2 r02sin d :(1)(2)dE 334二；0 A2 1 -Bcos : 2:70colf 寸diCXICXI:+ UOS8 8)占+ (9s88)+ 9S88X +逹28冷70g-寸&S8 j e9 好 9S8 0y 3US8 8L)。餐寸 fhp- e j e e 层DS8 0v9S8H-U5H CQ+ u(宅 8 巴占 + ;VS88)L-co(L UCXI)(L+ UCXI) be ”00CXI 7+8

7、巴丁+ 9S88OI+ T 二 &S88 L) 099 卜 NC99co8 L) &匣LV。+(9)(9)(寸)MCO |CsLo0 JCO | CsLY9-UWQco |CX1 ,貝 寸CDSooCXIoco 1 CXIogCXIo/山2rrosin rcos3巴=4二;0A2I -Bcos 2 1 - Bcos 2 j 32n3 o r 1Bcos Pd j rosinvcos 1 -r o 1 3(Bcos V-52(Bcos )2 一 -Dn(Bcos )nd3 心 5 需(Bcos )20(Bcos )ndro2 二 r4二;0A2ro34二;0A2ro34二;0A2ro34二；0A

8、2roBcosr0 sinr J cos 1(Bcos )空r 1 4 B2 1PnBnCn 2二1 2!222 一3 ro Sine r *0聲 +2Bco列4 二;oA2% 3 r 1 十送(DnBnCn)L _rosin|3B 1+7533B3 +DkBkC + 壮厘I .5之2324 2一B2 coS 护 + + DnBn coS卅 + d4%A2 - - e -L，rJ 2丁 2丁 (DnBnCn)-rsin八2二 以BkC“ 4 岚 A2-6k435r +rL (DnBnCrsiZ E (DkBkC“y 2qA2 心处心35-oO-noO* k2均匀带电薄圆盘的电场分布又均匀带电薄

9、圆盘是由无数均匀带电细圆环组成， 用电场叠加原理，球出组 成薄圆盘的所在细圆环在 P点处的场强，就可代表整个圆盘在空间中的电场分布 了。设均匀带电薄圆盘的电荷面密度为（7 ,圆盘的半径为a距圆心ro处，宽度为 dro的细圆环的电荷线密度为 入dro，于是P点的电场为【+ R33： r5%汗o o J2 o(r2ro2) 2err弟一db a2or3(1 乌)2r乙 ro血2 o(r2 ro2) 2B2D2)nBro吨B 2 呼orc.ooF 显BC)db 3r23严462or3(1 苛)2k；Z do2又I 1时rr2j35(2j 1)(r0、j字)j!2d0j!2（严122伫2(T 二4r0

10、2 r2：42j+2葺弘沪心“电1b0j!2j(r2)j (2j 2)1a+ . H0cr 壬2 0r2 j 02(Tj 3 5(2j 1a2j223r02 9(102rj!2j(r2)j(2j 2)od z3n =2,4,6)32(DnBnCn) dr。crr02 3 r0)32 r壬 arr0DnCnn =2,4,6,02$r3 (1+ 02r 2n尸n 1、-DnCn2 r00 a送0n =2,4,6,02屛(1DnBnCn dr02rr0 sin -(-3 2 23 r r)2 0odzn = 2,4,6, -2；0r2n 3nn 1 sin 71 r r02 n 3_ (1如 2 r

11、2dr0:2nT；DnCn sinn 二 r *2n =2,4,6 -n 1r0r02 n 32 (1 青)2 r2dr04-2+cxl士 uw0)7 二E + UCXII)(g 十 ucxll)(col+ UCXII)$ -dr cxllul 9uu_SUOUQOLud: 9甲 ucxl.tcxl+u+罕鑫 L0丄犁&丁 C+&C+&二寸+U %0 令+&?& 冷)+:+ylp:0W)Z H0O+ Ab) 0 N十&|:- &IQ+ 石)-0 沁 r0snk 135DkBkCkdr02祁r2 咐 2k135/书52koDkC+1sink+1 日厂(_1)J (2k+3(2k+5)(2k+2j

12、-2) J ,1,2j!2J(r2)J1k 2J 3ak 2j 3所以CTEr=22 pr j 卫,1,2,.n =2,4,6 二+ Z 亠J =0,1,2- 0k 4,3,5k_1k 1送 2oDkCk+Sin廿 rJ 1,2 ；oJ 3 5； 2 (2j1)(-1)Jj!22nJL二DnCnsinJ rQOza2J2(r2)J (2j 2)j (2n 3)(2n 5)(2n 2j-2)(T)k 1 -_k J3j!2J(r2)J(2k 3)(2k 5)(2k 2j-2)v1)j!2j(r2)j1n 2J 2an 2j 21k 2J 3ak 2j 3E.2cos320A2皿 DkibQO-z

13、 k =1,3,5； DkCk 产202r03 r2 r 22r r02rrsin 日I。2 丿2k 一1 r 一k %DkCk 比 co出 sink 日53,50k 2r01+0r2k+3dr0k 丸3,5 2kr 來 P：DkCk . 1 cob sink 二 j =0,1,2j (2k 3)(2k 5)(2k 2j -2)ak 2j 3j!2j (k 2j 3) (r2)j/ si3 d=01 - Bcos 2n2r。E34- 0A2求解是在r2/r2小于1的情况下进行的，所以本文求出电场分布并不适用于 任何情况。如果以圆盘的中心为球心，以圆盘的半径为半径作球的话， 本文求出 的电场只使

14、用于球外。3讨论本文通过积分的方法求出了均匀带电薄圆盘的电场分布级数形式解，但是具有局限性，它只使用于以圆盘的中心为球心，以圆盘的半径为半径作球的球外部 分。均匀带电薄圆盘中心轴线上无穷远处的电场， 在中心轴线上有0 =0,r为z所以E=0Er2 .2；0Z j工 (-1)= 0,1,2,3 5(2j1) a2j 2j!2j(r2)j (2j2)a _a2 3a41= I+-，2 気2z2 8z4这与教材上的一致。当带电薄圆盘的半径趋于无穷大时，可以把它看成是无限大带电薄圆盘，它的电场就近似认为E =、2 p参考文献：1尹真.电动力学M.2版.北京：科学出版社，2005.2李秀燕，陈赐海.带电

15、细圆环与导体球壳系统的场分布J.大学物理，2007, 26 (11):37-38.3江俊勤.也谈均匀带电圆环的电场分布J.大学物理，2007，26 (11): 39424施建兵，朱卓宇，冯玉英，孙越泓 译;美M.R.施皮格尔 著.微积分M .1版.,北 京：科学出版社,2002 . 梁灿彬，秦光戎，梁竹健原著；梁灿彬修订.电磁学M . 2版.北京：高等教育出版社,2004.5 .四川大学数学系高等教学教研室编高等数学M . 3版,第一册.北京：高等教育出版社,1995 .7四川大学数学系高等教学教研室编.高等数学M . 3版,第二册.北京：高等教育出版社,1996 .致谢此论文是在我的导师徐梅老师的亲切关怀和悉心指导下完成的，徐梅老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予细心的指引和教导，使我对于洛伦兹力和安培力的关系有了比较深刻的认识 ，并最终得以完成毕业论 文,她严肃的科学态度，严谨的治学精神