[高三数学]高考文科数学专题复习——函数与导数

1、2009 年高考文科数学试题分类汇编函数与导数一、选择题1.（09 年福建 2） 下列函数中，与函数 有相同定义域的是1yx a b c d( )lnf xx1( )f xx( ) |f xx( )xf xe【分析】本题考查函数的定义域.【解析】函数的定义域为（0，+） ，函数定义域为（0，+） ，函数1yx( )lnf xx的定义域为，函数和的定义域都为 r,故选 a.1( )f xx0 x ( ) |f xx( )xf xe2.（09 年福建 8） 定义在 r 上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上， f x2,0下列函数中与的单调性不同的是 f xa b. 21yx| 1yxc. d32

2、1,01,0 xxyxx,0 xxexoyex【分析】本题考查函数的图像与性质。【解析】由偶函数的图像与性质知，函数在上是减函数，由二次函数的图像 f x2,0知函数在上是减函数，21yx2,03.(广东卷 4)若函数( )yf x是函数1xyaaa（0，且）的反函数，且(2)1f，则( )f x ax2log bx21 cx21log d22x 【答案】a【解析】函数1xyaaa（0，且）的反函数是( )logaf xx,又(2)1f,即log 21a,所以,2a ,故2( )logf xx,选 a.4.(广东卷 8)函数xexxf) 3()(的单调递增区间是 a. )2 ,( b.(0,3

3、) c.(1,4) d. ), 2( w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】d【解析】 ( )(3)(3)(2)xxxfxxexexe,令( )0fx,解得2x ,故选 d5.（浙江 8）若函数2( )()af xxaxr，则下列结论正确的是（ ）aa r，( )f x在(0,)上是增函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ba r，( )f x在(0,)上是减函数ca r，( )f x是偶函数da r，( )f x是奇函数c 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问【解析】对于0a 时有 2f xx是一个偶函数6

4、. （2009 北京 4）为了得到函数3lg10 xy的图像，只需把函数lgyx的图像上所有的点 （ ） a向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 b向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 c向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 d向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度【答案答案】c.w【解析解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. alg31lg103yxx ，blg31lg103yxx ，c3lg31lg10 xyx ，d3lg31lg10 xyx .故应选 c.7. (2009 山东卷 6)函数xxx

5、xeeyee的图像大致为( ). 【解析】:函数有意义,需使0 xxee,其定义域为0|xx,排除 c,d,又因为22212111xxxxxxxeeeyeeee ,所以当0 x 时函数为减函数,故选 a. 答案:a.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.8. （09 山东 7） 定义在 r 上的函数满足= ，则( )f x( )f x0),2() 1(0),4(log2xxfxfxx的值为( )(3)fa.-1 b. -2 c.1 d. 2【解析】:由已知得,2( 1)log

6、 5f 2(0)log 42f2(1)(0)( 1)2log 5fff,故选 b.2(2)(1)(0)log 5fff 22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2fff 答案:b.【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.9. (2009 山东卷文 12)已知定义在 r 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x ,且在区间0,2上是增函数,则( ). a.( 25)(11)(80)fff b. (80)(11)( 25)fffc. (11)(80)( 25)fff d. ( 25)(80)(11)fff【解析】:因为)(xf满足(4)( )f xf x ,所以(8)(

7、)f xf x,所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则) 1()25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在 r 上是奇函数， (0)0f,得0)0()80( ff,) 1 () 1()25(fff,而由(4)( )f xf x 得) 1 ()41 ()3()3()11(fffff,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所以0)0() 1 ( ff,所以0) 1 ( f,即( 25)(80)(11)fff,故选 d. 答案:d.【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 10.（2009 全国卷文 2）

8、定义在 r 上的函数满足= ( )f x( )f x，则的值为( )0),2() 1(0),4(log2xxfxfxx(3)fa.-1 b. -2 c.1 d. 2 答案：答案：b解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数 x0 可知可知 ac 错错,原函数原函数 y0 可知可知 d 错，错，选选 b.11.（2009 全国卷文 3）函数 y=22log2xyx的图像 （a） 关于原点对称 （b）关于主线yx 对称 （c） 关于y轴对称 （d）关于直线yx对称答案：答案：a解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（解析：本题考查对数函数及对称知识，由

9、于定义域为（-2，2）关于原点对称，又）关于原点对称，又 f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选 a。12.（2009 全国卷文 7）设2lg ,(lg ) ,lg,ae bece则（a）abc （b）acb （c）cab （d）cba答案：答案：b解析：本题考查对数函数的增减性，由解析：本题考查对数函数的增减性，由 1lge0,知知 ab,又又 c=21lge, 作商比较知作商比较知 cb,选选 b。13. （09 年安徽文 8）b,函数的图象可能是a2() ()yxaxb 【解析】可得2,() ()0 xa xbyxaxb为的两个

10、零解.当xa时,则( )0 xbf x 当axb时,则( )0,f x 当xb时,则( )0.f x 选 c。【答案】c14. （2009 江西卷文 2）函数234xxyx的定义域为a 4,1b 4, 0)c(0,1d 4, 0)(0,1答案：d【解析】由20340 xxx得40 x 或01x,故选 d. 15. （2009 江西卷文 5）已知函数( )f x是(,) 上的偶函数，若对于0 x ，都有(2( )f xf x），且当0,2)x时，2( )log (1f xx ），则( 2008)(2009)ff的值为a2 b1 c1 d2答案：c【解析】1222( 2008)(2009)(0)(

11、1)loglog1ffff,故选 c.16.（2009 江西卷文 11）如图所示，一质点( , )p x y在xoy平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在x轴上的投影点( ,0)q x的运动速度( )vv t的图象大致为 a b c d答案：byxo( , )p x y( ,0)q xo( )v tto( )v tto( )v tto( )v tt【解析】由图可知，当质点( , )p x y在两个封闭曲线上运动时，投影点( ,0)q x的速度先由正到 0、到负数，再到 0，到正，故a错误；质点( , )p x y在终点的速度是由大到小接近 0，故d错误；质点( , )p x y在开始时沿直线运

12、动，故投影点( ,0)q x的速度为常数，因此c是错误的，故选b.17.（2009 江西卷文 12）若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于 a1或25-64 b1或214 c74或25-64 d74或7答案：a【解析】设过(1,0)的直线与3yx相切于点300(,)x x，所以切线方程为320003()yxxxx即230032yx xx，又(1,0)在切线上，则00 x 或032x ，当00 x 时，由0y 与21594yaxx相切可得2564a ，当032x 时，由272744yx与21594yaxx相切可得1a ，所以选a.18. （2009 天津卷文

13、5）设3 . 02131)21(, 3log, 2logcba，则a b c b d 21 ,得(3)( 2)(1)fff,故选 a.30.（2009 陕西卷文 12）设曲线1*()nyxnn在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为nx,则12nxxx的值为(a) 1n (b) 11n (c) 1nn (d) 1答案:b解析: 对1*()(1)nnyxnnynx求导得,令1x 得在点（1，1）处的切线的斜率1kn,在点（1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1)nnyk xnx ,不妨设0y ,1nnnx则1212311.23411nnnxxxnnn, 故选 b.31.（2009 全国

14、卷文 6）已知函数( )f x的反函数为( ) 10g xx2l gx，则 )1()1(gf（a）0 （b）1 （c）2 （d）4【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令1lg21 x得1 x，即1)1( f，又1)1( g，所以2)1()1( gf，故选择 c。32.（2009 湖北卷文 2）函数)21,(2121xrxxxy且的反函数是a.)21,(2121xrxxxy且 b.)21,(2121xrxxxy且c.) 1,()1 (21xrxxxy且 d.) 1,()1 (21xrxxxy且【答案】d【解析】可反解得111( )2(1)2(1)yxxfxyx 故 故且可得原函数中 yr、

15、y-1 所以11( )2(1)xfxx 且 xr、x-1 选 d33.（2009 福建卷文 11）若函数 f x的零点与 422xg xx的零点之差的绝对值不超过 0.25， 则 f x可以是a. 41f xx b. 2(1)f xx c. 1xf xe d. 12f xin x解析解析 41f xx的零点为 x=41, 2(1)f xx的零点为 x=1, 1xf xe的零点为x=0, 12f xin x的零点为 x=23.现在我们来估算 422xg xx的零点，因为g(0)= -1,g(21)=1,所以 g(x)的零点 x(0, 21),又函数 f x的零点与 422xg xx的零点之差的绝

16、对值不超过 0.25，只有 41f xx的零点适合，故选 a。34. （2009 重庆卷文 10）把函数3( )3f xxx的图像1c向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像2c若对任意的0u ，曲线1c与2c至多只有一个交点，则v的最小值为（ ）a2b4c6d8【答案】b解析根据题意曲线 c 的解析式为3()3(),yxuxuv则方程33()3()3xuxuvxx，即233(3)0ux uuv，即3134vuu 对任意0u 恒成立，于是3134vuu 的最大值，令31( )3 (0),4g uuu u 则233( )3(2)(2)44g uuuu 由此知函数( )g u在（0，

17、2）上为增函数，在(2,)上为减函数，所以当2u 时，函数( )g u取最大值，即为 4，于是4v 。35. （09 辽宁文 12）用用 min,表示表示,三个数中的最小值三个数中的最小值abcabc 设=（0),则的最大值为( )f xmin2 ,2,10 xxxx( )f x（a） 4 （b） 5 （c） 6 （d） 736.二、填空题1. （2009 北京 12）已知函数3 ,1,( ),1,xxf xxx若( )2f x ，则x . .w.w.k.s.5【答案答案】3log 2.w【解析解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考查.由3

18、1log 232xxx，122xxx 无解，故应填3log 2.2. （09 山东文 14）.若函数=（0 且1）有两个零点，则实数的( )f xxaxaaaa取值范围是 .【解析】: 设函数且和函数,则函数(0,xyaa1a yxa=（0 且1）有两个零点, 就是函数且与函数( )f xxaxaaa(0,xyaa1a 有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因yxa10 a1a为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的(1)xyaayxa上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是.1|aa答案: 1|aa【命题立意】:本题考查了指数

19、函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.3.（2009 辽宁卷文 15）若函数2( )1xaf xx在1x 处取极值，则a 【解析】f(x)222 (1)()(1)x xxax开始 s=0,t=0,n=0 ts s=s+5 n=n+2 t=t+n 输出 t 结束 是 否 f(1)34a0 a3【答案】34.（09 福建文 15）若曲线 2f xaxinx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .解析解析 解析：由题意该函数的定义域0 x ，由 12fxaxx。因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0 x

20、范围内导函数 12fxaxx存在零点。解法 1 （图像法）再将之转化为 2g xax 与 1h xx存在交点。当0a 不符合题意，当0a 时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当0a 如图 2，此时正好有一个交点，故有0a 应填,0或是|0a a 。5. （2009 重庆卷文 12）记3( )log (1)f xx的反函数为1( )yfx，则方程1( )8fx的解x 【答案】2解法 1 由3( )log (1)yf xx，得13yx，即1( )31fxx，于是由318x ，解得2x 解法 2 因为1( )8fx，所以3(8)log (8 1)2xf解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程1

21、20axx在0,内有解，显然可得21,02ax 6.（2009 江苏卷 3）函数32( )15336f xxxx的单调减区间为 . 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。2( )330333(11)(1)fxxxxx，由(11)(1)0 xx得单调减区间为( 1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。7.（2009 江苏卷 9）在平面直角坐标系xoy中，点 p 在曲线3:103c yxx上，且在第二象限内，已知曲线 c 在点 p 处的切线的斜率为 2，则点 p 的坐标为 . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。 231022yxx ，又点 p 在第二象限内，2x 点 p 的坐标为（-2，

22、15）8.（2009 江苏卷 10）已知512a，函数( )xf xa，若实数m、n满足( )( )f mf n，则m、n的大小关系为 . 【解析】考查指数函数的单调性。 51(0,1)2a，函数( )xf xa在 r 上递减。由( )( )f mf n得：m1()讨论 f(x)的单调性;()若当 x0 时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用

23、导数及函数的最值，由恒成键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。立条件得出不等式条件从而求出的范围。解： （i）)2)(2(4)1 (2)(2axxaxaxxf w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由1a知，当2x时，0)( xf，故)(xf在区间)2 ,(是增函数； 当ax22时，0)( xf，故)(xf在区间)2 , 2(a是减函数； 当ax2时，0)( xf，故)(xf在区间),2(a是增函数。 综上，当1a时，)(xf在区间)2 ,(和),2(a是增函数，在区间)2 , 2(a是减函数。 （ii）由（i）知，

24、当0 x时，)(xf在ax2或0 x处取得最小值。 aaaaaaaf2424)2)(1 ()2(31)2(23 aaa2443423 af24)0(由假设知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m , 0)0(, 0)2(1fafa 即. 024, 0)6)(3(34, 1aaaaa 解得 1a6故a的取值范围是（1，6）6. （09 安徽文 21） （本小题满分 14 分） 已知函数，a0，2( )1lnf xxaxx （）讨论的单调性;( )f x（）设=3，求在区间1，上值域，其中 e=2.71828是自然对数的底数。a( )f x2e【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，

25、即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数( )f x在21,e上的值域。【解析】(1)由于22( )1af xxx 令2121(0)tytattx得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当280a ,即02 2a时, ( )0f x 恒成立.( )f x在(,0)及(0,)上都是增函数.当280a ,即2 2a 时w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由2210tat 得284aat或284aat w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2804aax 或0 x 或284aax又由220tat 得222288884422aaaaaaaatx 综上当02 2a时

26、, ( )f x在(,0)(0,)及上都是增函数.当2 2a 时, ( )f x在2288(,)22aaaa上是减函数, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在2288(,0)(0,)(,)22aaaa及上都是增函数.(2)当3a 时,由(1)知( )f x在1,2上是减函数.在22,e上是增函数.又(1)0,(2)23 20ffln2222()50f eee w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 函数( )f x在21,e上的值域为22223 n2,5lee8. .（2009 江西卷文 17） （本小题满分 12 分）设函数329( )62f xxxxa （1）对于任意实数x，( )f

27、xm恒成立，求m的最大值；（2）若方程( )0f x 有且仅有一个实根，求a的取值范围 解：(1) 2( )3963(1)(2)fxxxxx, 因为(,)x ,( )fxm, 即 239(6)0 xxm恒成立, 所以 81 12(6)0m , 得34m ，即m的最大值为34 (2) 因为 当1x 时, ( )0fx ;当12x时, ( )0fx ;当2x 时, ( )0fx ; 所以 当1x 时,( )f x取极大值 5(1)2fa; 当2x 时,( )f x取极小值 (2)2fa; 故当(2)0f 或(1)0f时, 方程( )0f x 仅有一个实根. 解得 2a 或52a .9. （2009

28、 天津卷文 21） （本小题满分 12 分）设函数0) ,( ,) 1(31)(223mrxxmxxxf其中（）当时，1m曲线）（，在点（11)(fxfy 处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数)(xf有三个互不相同的零点 0，21,xx，且21xx 。若对任意的,21xxx，) 1 ()(fxf恒成立，求 m 的取值范围。【答案】 （1）1（2）)(xf在)1 ,(m和),1 ( m内减函数，在)1 ,1 (mm 内增函数。函数)(xf在mx1处取得极大值)1 (mf，且)1 (mf=313223 mm函数)(xf在mx1处取得极小值)1 (mf，且)1 (mf=313223m

29、m【解析】解：当1) 1 (,2)(,31)(12/23fxxxfxxxfm故时，所以曲线）（，在点（11)(fxfy 处的切线斜率为 1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）解：12)(22mxxxf，令0)(xf，得到mxmx1,1因为mmm11, 0 所以当 x 变化时，)(),(xfxf的变化情况如下表：x)1 ,(mm1)1 ,1 (mm m1),1 ( m)(xf+0-0+)(xf极小值极大值)(xf在)1 ,(m和),1 ( m内减函数，在)1 ,1 (mm 内增函数。函数)(xf在mx1处取得极大值)1 (mf，且)1 (mf=313223 mm函数)(xf在mx1

30、处取得极小值)1 (mf，且)1 (mf=313223mm（3）解：由题设， )(31) 131()(2122xxxxxmxxxxf所以方程13122mxx=0 由两个相异的实根21,xx，故321 xx，且0) 1(3412m，解得21)(21mm，舍因为123, 32,221221xxxxxx故所以若0)1)(1 (31) 1 (,12121xxfxx则，而0)(1xf，不合题意若,121xx 则对任意的,21xxx有, 0, 021xxxx则0)(31)(21xxxxxxf又0)(1xf，所以函数)(xf在,21xxx的最小值为 0，于是对任意的,21xxx，) 1 ()(fxf恒成立的

31、充要条件是031) 1 (2 mf,解得3333m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，m 的取值范围是)33,21(【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。10. （2009 四川卷文 20） （本小题满分 12 分）已知函数32( )22f xxbxcx的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx。（i）求函数( )f x的解析式；（ii）设函数1( )( )3g xf xmx，若( )g x的极值存在，求实数m的取值范围以及函数( )g x取得极值时对应的自变量x的值.【解析解析】 （i）

32、由已知,切点为(2,0),故有(2)0f,即430bc 又2( )34fxxbxc，由已知(2)1285fbc得870bc 联立，解得1,1bc .所以函数的解析式为32( )22f xxxx 4 分（ii）因为321( )223g xxxxmx令21( )34103g xxxm 当函数有极值时，则0 ，方程2134103xxm 有实数解， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由4(1)0m ，得1m .当1m 时，( )0g x有实数23x ，在23x 左右两侧均有( )0g x，故函数( )g x无极值当1m 时，( )0g x有两个实数根1211(21),(21),33xmxm( )

33、, ( )g x g x情况如下表：x1(,)x1x12( ,)x x2x2()x ( )g x+0-0+( )g x极大值极小值所以在(,1) m时，函数( )g x有极值；当1(21)3xm时，( )g x有极大值；当1(21)3xm时，( )g x有极小值； 12 分11.（2009 湖南卷文 19） （本小题满分 13 分）已知函数32( )f xxbxcx的导函数的图象关于直线 x=2 对称.（）求 b 的值；（）若( )f x在xt处取得最小值，记此极小值为( )g t，求( )g t的定义域和值域。解: （）2( )32fxxbxc.因为函数( )fx的图象关于直线 x=2 对称

34、，所以226b，于是6.b （）由（）知，32( )6f xxxcx，22( )3123(2)12fxxxcxc .（）当 c 12 时，( )0fx，此时( )f x无极值。 （ii）当 c0,得：223232()()033aaaaxxxa讨论得：当26(,)22a时，解集为( ,)a ;当62(,)22a 时，解集为223232( ,)33aaaaa;当22,22a 时，解集为232,)3aa.19(09 高考数学文 21)（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2小题满分 10 分 .有时可用函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0.1 15ln,6,( )4.4,64axaxf xxx描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知