匀速圆周运动万有引力定律

1、匀速圆周运动万有引力定律万有引力定律一 教法建议 【抛砖引玉】“万有引力定律”是与“牛顿运动定律”并列的经典力学.的最基本、最重要 的定律。本单元的教学可分为理论.与应用两个密切相关的部分，我们作如下的教学建 议。1. “万有引力定律”的教学在进行这一理论知识的教学虽不易采用实验观察的引入法，但却可以采用物.理学史的叙述引入法，可以激发学生求知欲。首先介绍17世纪开普勒发现的行星运动三定律（教师可以把三定律的条文写 出来，并略作说明，但不宜深究，也不必作题 ），说明这是人类对行星运动的运. 动学研究成果，而尚未了解行星运动的动力原因。接下来介绍牛顿对行星运动的动力学.研究，他认识到：地球对地面

2、上物体的 引力、行星对卫星的引力、太阳对行星的引力，都是同一种性质的力，称之为“万 有引力”。随后介绍牛顿根据“牛顿运动定律”、 “匀速圆周运动定律”和“开普勒行 星运动定律”推导出了 “万有引力定律” 宇宙间的一切物体都是互相吸引的。 两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离平方成正比。 其数学表达式为：F 二 G2r（附）目前的高三物理课本没有给出“万有引力定律”的推导过程，这样可以 减轻学生的学习负担，也不会影响后面的“应用”。如果学校中学生的基础较好 且求知欲较强，教师也可在课堂上或课外学科小组活动中给学生讲述下列的推导 过程（这只是简化的推导，更全面深刻的知识需待

3、大学时学习 ）：设：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动， 行星到太阳的距离是R，行星 绕太阳运动的周期是T,行星做圆周运动所需的向心力是由太阳的引力 F提供的。则：根据牛顿第二定律、向心力计算式、 角速度计算式可以进行下列的推导222 24 兀 RmF 二 ma 二 mR m（ t ） R 二 丁2根据“开普勒第三定律”可得：T2上K将式代入式可以推导出下式：2 mF =4 K 2R2设：常数J =4-2K则式可以简化为：j.R2经科学研究知道卩是一个与太阳质量M有关的量。（卩被称为太阳的高斯常 数）因此卩可以表达为卩=GM , G是一个常量，被称为“引力常量”。将卩=GM代入式可以导出：Mm

4、F = G 2 R这就是太阳对行星引力的计算式，如果推广到宇宙间任意的两个物体， 就可 写成课本上的“万有引力定律”的普遍表达式：F = G 2r最后介绍卡文迪许测定“引力常量 G”的方法和原理（学校若有“卡文迪许 扭秤”模型，给学生观看讲述效果更好），并给出“引力常量G”的数值：G = 6.67 101牛 米1千克22. “万有引力定律”应用的教学课本上讲述“万有引力定律在天文学上的应用”有两项教学目的：一是培养 学生把万有引力定律和匀速圆周运动规律联系起来综合.解题的能力；二是使学生 了解人类发现海王星和冥王星的历史， 从而体会到在理论研究基础上的科学预见. 性的重大意义。课本中的“地球上

5、物体所受重力的变化” 一节虽被列为选学内容，但我们认 为这部分内容对学生很有启发性， 特别是对重力实质的认识是非常重要的，还是 应当在课堂上讲授的。课本上“宇宙速度、人造地球卫星” 一节，既介绍了现代科技中“航天技术” 的初步知识又能够培养和提高学生的解题能力，教师在教学中可以适当地发挥。 （我们在后面也提供了一些知识和习题，供学生阅读和练习，供教师参考。）【指点迷津】1“万有引力定律”是否无条件的绝对正确？近代科学研究中对“万有引力 定律”有何新的见解？近代理论研究指出了“万有引力定律”存在的问题。1971年日本东京大学教授伊藤安仪经过研究提出了：引力常量G与距离r有关。1976年美国东华盛

6、顿州立大学 D R 朗通过实验说明：万有引力定律在近 距离内是不正确的。但是，我们要指出：日本和美国的科学家所指出的问题都是限于“厘米”以 内的近距离的，而地于天体之间的极大距离.r的情况下，引力常量G仍可看作是 不变的，所以“万有引力定律”在处理远距离.问题时，仍然基本上是正确的，这 就像“牛顿运动定律”在处理宏观低速.运动问题时仍然正确一样。这里我们仅是给同学们介绍一些现代物理研究动态，请不要因此而不敢用万 有引力定律解题。（中学解答的万有引力问题都是远距离的）2. 重力就是地球对物体的引力吗？重力是实际力还是效果力？严格地说，重力只是地球对物体引力的一个效果分力.，不是实际力。（地球 对

7、物体的万有引力才是实际力）因为处于地球上的物体要随着地球的自转而做圆周运动，所以就需要向心力，这个向心力就来源于地球引力的一个分力， 而剩下的另一个分力就是重力了。从高三物理课本图3 21可以看出：重力mg与地球对物体的引力F的大小 和方向都不相同。那么为什么在处理问题时我们经常把重力这个效果分力近似地当作地球引2 JT力这个实际力呢？这是因为地球自转的角速度非常小 （根据二，而地球自转 的周期T=24小时=8.64X 104秒由此可知3的值很小的了。）据F二m，可知物体 随着地球做圆周运动所需的向心力也是很小的。既然地球引力的这个分力很小， 则另一个分力就较大了。因此高三物理课本图321中的

8、平行四边形的力的分解 图若按比例画应是一个十分狭窄的平行四边形，因此虽然 mg不是F，但是mg 的大小和方向都十分近似 于F，这就是在平常处理问题时常把 mg当作F的根据。但是，地球自转轴与地面的两个交点 地理南极和地理北极是例外的，因为它们位于转轴上，所以圆周半径r=0，于是F =m2=0,也就是说对于这两点 地球引力F不需分解，因此这两点的重力就是地球对物体的引力了。最后还有一事是同学们.应当注意的：你们在高一和高三学物理时，都是先学“重力”、后学“万有引力定律”的。当初为了既保证概念的正确性，又不能超 越知识的顺序，所以采用了这样一种叙述方法一一由于地球的吸引而使物体受到 的力，叫做重力

9、。（而绝不是说地球对物体的引力就是重力）现在我们学过了万有 引力定律，再回顾思考上述的文字时，就应当这样理解一一物体所受的地球引力 F有一个分力mg，使物体受到竖直下拉的效果，这个效果力被称为重力。（重力这个竖直下拉的效果如不受其它力干扰时就会使物体产生重力加速度；如果受到悬线的平衡时就会激起悬线的张力；如果受到地面或桌面等托住时就会激起支持 力；注：张力和支持力的实质都是弹力）3. 既然地球受到太阳的引力而绕着太阳转动，为什么太阳受到地球的引力却 不绕着地球绕动？力是物体之间的相互.作用，因此地球与太阳之间存在着大小相等、方向相反、 彼此相互作用的力。但是地球与太阳的质量却是相差极大的，由于

10、地球的质量小，所以围绕着太阳转动；由于太阳的质量很大，则不能围绕着地球转动。仅仅如上解释，同学们是不会满意的，也不可能深入地理解。因此我们在本 单元稍后的一个栏目“思维体操”中，将对此问题进行定量的推导，以比较严格 的数学表达论述其中的道理，请关心此事的读者认真的阅读。二.学海导航【思维基础】例题1.假如一个作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则（A）根据公式v=er，可知卫星运动的线速度将增大到原来的 2倍。v21（B）根据公式F二m ，可知卫星所需的向心力将减小到原来的 -。r2(C) 根据公式F =G肆，可知地球提供的向心力将减小到原来的 -。r4(D) 根

11、据上述(B)和(C)中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的2。2思维基础：本题所提供的选项中已罗列出了各有关的公式，在解答过程时需要认真思考的是各公式使用的条件.，请注意以下内容：在使用v=eor分析问题时，不能只看到r与v的关系，还需考虑因r的变化 而引起的万有引力F的变化。2在使用F分析问题时，不能只看到r与向心力的关系，还需考虑万有r引力是否变化？线速度是否变化？地球对人造卫星的引力是向心力的来源，应用F来计算；人造卫星r2绕地球作圆周运动是向心力的效果，应用F=m来计算。r解题思路：解答这个问题不应靠想象和猜测， 而应通过踏实地推导才能正确 地选出答案。在推导的顺序上，可选择

12、变量较少且不易出差错的选项入手。由于公式F =G啤 中，G、M、m都是不变的量，因此推导 F和r的关系 r不易出错。设人造地球卫星原来的圆周运动半径为 ri，所受到的地球引力为Fi； 当人造地球卫星的轨道半径增为r2=2ri时所受到的地球引力为F2，贝MmFi =GpMm Mm 1 Mm 1F2=GyGGSFl公式联系起来，可以写出下列二式:由此可知：选项(C)是正确的。Mm v：G-2 m ririMm G-2 m 一2D将r2=2ri代入式可得：-Mm v； G jr 二 m -4r12r1将、两式相除可导出:1v21 幺42即:4台V222Vi 1 2V2 巧W由此可知：选项(D)也是正

13、确的。 既然(D)是正确的，那么其结果不同的(A)显然是不正确的。“卫星所需的向心力”与“地球提供的向心力”应当是一致的。既然(C)是正确的，那么与其结果不同的(B)显然是不正确的。建议：请同学们想想是否还有其它的推导方法？是否有比上面讲述的更简便 的方法？【学法指要】例题2.两颗人造卫星A、B地球作圆周运动，周期之比为 Ta : Tb=1 : 8,求:(1) 两颗人造卫星的轨道半径之比 Ra： Rb= ?(2) 两颗人造卫星的运动速率之比 Va : Vb=? 启发性问题1你能推导出人造地球卫星运行周期的公式吗？2. 你知道两颗人造卫星的轨道半径与运行周期之间的比例关系吗？3. 你知道两颗人造

14、卫星的运动速率与运行周期和轨道半径之间的比例关系 吗？分析与说明：1. 设人造卫星的周期为T、轨道半径为R、地球的质量为M、卫星的质量为 m、万有引力常量为G。由于人造卫星所需的向心力来源.于地球对卫星的万有引力，我们可以写出下 式：Mm 2 G 2 m RR22-将，二代入上式可得：Mm2 二 2Gr m()2RRT由上式可以化简为：GM4:R34 二 2R3.GM =2：这就是人造地球卫星运行周期的计算公式。由此式可看出：运行周期与卫星的质量m无关。轨道半径越小周期就越短，运动周期 T与R3成正比。Mm2对于人造卫星A可以写出下式：2 二 2二 m：） Rata可导出:GM 4二2RT =

15、T：同样的推导方法对于人造卫星2GM 4RA=yrB也可写出下式:将、两式相除:GMrB4 二T；GMRA4 二TA化简后可得：RLT_还可变化为：tARb: TB2根据2二 R2RaVb a八,对于A、B两颗卫星可以写出下列二式:2：二 RbTb将、两式相除:Ta2兀RaVavB 2RbTb经化简后可得：Va Ra Tb=VB RB TA求解过程：在“分析与说明”中推导出的关系式我们就直接应用，不在重复 推导了。(1)根据前面推导出的式，并将已知量代入就可得出两颗人造卫星轨道半 径之比：答：Ra : Rb=1 : 4(2)根据前面推导出的式，并将已知量代入就可得出两颗人造卫星运动速 率之比：

16、VaRaTa_ 8_ 2VBRBTB 411答：VA : Vb=2 : 1【思维体操】在本单元的“指点迷津”中我们所提出的第3个问题“为什么太阳受到 地球的引力却不绕着地球转动？” 现在要通过解答下面这个例题，对此问题作进 一步的说明。例题3.如图320所示：质量分别为 mi和m2的两 颗星围绕着一个共同的圆心 0在两个半径不同的同心圆 轨道上作匀速圆周运动，并且它们之间的距离总是恒定 不变也为L,求这两颗星运行的轨道半径ri和匕。（圆心 0处无物体）“准备活动”（解题所需的知识与技能）1. 由于圆心0处无物体存在，所以这两颗星作圆周图 3- 20运动所需的向心力只能由它们之间的万有引力互相提

17、供. m2给mi的引力Fi使mi作圆周运动；mi给m2的引力F2使m2作圆周运动。而且根据牛顿第三定律可知：Fi=F2，且方向相反，分别作用在mi、m2两颗星上。2. 由于这两颗星之间的距离总是恒定不变为 L,所以这两颗星的运行周期就 必须相等，即：Ti=T2。3. 由于Fi和F2承担着向心力的任务，所以它们都必须永远指向圆心 0,又 因两颗星的距离总是L,所以两颗星的连线必须始终通过圆心 0,于是：ri + r2=L。 （这在附图已经显示出了）4. 在解题过程中还需运用下列的导出关系式：222兀24兀mrF=m r=m（）r = 2“体操表演”（解题的过程） 根据前面的导出关系式可以写出下列

18、二式：r2miri F i2Ti 4 兀2m2r2F22根据“准备活动：I”分析出的Fi=F2，则可写出下式224 miri 4 讥“根据“准备活动：2”分析出的Ti =T2可以将上式中的Ti2与T22消去（并将等式 两边的4n2也消去），于是写出了下式：m 二 m2r2再把“准备活动：3”分析出的ri、匕与L的关系式写在下面：A r2 二 L由式导出r2=L ri代入式：miA = m2( L -rj miA = m2 L - m2ri (m1 m2 )r m2 Lm2ri- Lg +m2由式导出ri=L r2代入式mi (L - r2) = m2r2 m L - mr2 二 m2 r2m1

19、二 D =Lmh +m2导出的两个式就是本题的答案(m1 m2 )r2 = m L但是我们若对两个进行讨论，还能受到 更大的启发，获得更多的知识，请接看下面“整理运动”中的讨论内容。“整理运动”（解题后的思考）1. 当mi m2时（注意:必须是远远地大于）:则:根据两个式可以得出rif0; 2L这种情况说明：质量小的 m2星围绕着质量很大的mi星作圆周运动，而且 mi星近似地处于圆心处。由此可知：地球绕着太阳转，而太阳并不绕着地球转 的原因。（注意：这只是给中学生看一种简化的、理想化的论证。由于太阳系内 还有其它许多行星存在，它们都与太阳之间存在着相互作用，而且太阳也不是绝 对不动的，所以实际

20、比上述的讨论要复杂得多。对此特别有兴趣的同学，今后在 大学中学习天体力学和天文学等知识时，就会有更深入的了解。）2. 当mi=m2时，根据两个式推论L贝U： A = $ = 这种情况如图32I所示：两颗星围绕着一个无物 存在的共同圆心，在同一圆轨道上运动，在天文学上称 为“双星运动”。图 3-21三.智能显示【心中有数】1. 万有引力定律表达式：F =Gmim：2，其中万有引力恒量G =6.67 ION m2.kg2该公式适用于质点间的相互作用，当物体间的距离远大 于物体本身的大小时，公式也近似的适用，距离 r应为物体质心间的距离。2. 物体的重力随离地面高度h的变化情况：物体重力近似等于地球

21、对物体的 万有引力，即等于GMm（R h）2，可见重力随h的增大而减小。3. 设地面附近的重力加速度为go,离地面高度为h处的重力加速度为g,不 考虑地球自转的影响，则有Mmmgo 二G-rtMmm(R h)2R2可得 go g0(R h)2 04分析天体运动时，把天体运动近似看成匀速圆周运动，万有引力提供所需Mm v22 22的向心力，即 G2m m - r = m() r =m(2二f) r。rrT（1）测出卫星围绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T,可计算天体的质量Mm 2. 2M或密度p，由G戸5）r，得4 二2r3mv GT2R3当卫星绕天体表面做匀速圆周运动时GT2（2）卫星运行的

22、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系2|G-MA = m得v = JGM，可见v与VF成反比（r越大，v越小）rr. rG-Mm = 2r得o =JGMM，可见3与加尸成反比（r越大，3越小） r-= 口（罕）2得t =2兀丿土；可见T与Jr3成正比（r越大,T越大）由由由3 rGM【动脑动手】（一）.选择题1. 航天飞机在进入绕地球做匀速圆周运动的轨道后，若有一宇航员走出机 外，他将A. 向着地球方向落向地球B. 做平抛运动C. 由于惯性做匀速直线运动D. 绕地球做匀速圆周运动，像一个人造卫星2. 若已知某行星绕太阳公转的半径为 r，公转周期为T,万有引力怛量G， 则由此可求出A. 某行星的

23、质量B.太阳的质量C.某行星的密度D.太阳的密度3. 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，则卫星的速度V、角 速度3、周期T与r的关系分别是A. v与r成正比，T与r成正比B. v与r成反比，T与 r3成正比C. 3与 r3成反比D. 3与r3成正比4. 绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星中有一与内壁相接触的物体，则这 个物体A. 受到地球的万有引力和卫星内壁的支持力的作用B. 受到地球的万有引力和向心力的作用C. 只受到地球万有引力的作用D. 物体处于完全失重状态，不受任何力的作用5人造地球卫星由于空气阻力的作用，轨道半径不断地缓慢减小，下列说明 中正确的是A. 卫星的运行速率不

24、断减小B. 卫星的运动速率不断增大C. 卫星的运行周期不断变大D. 卫星的运行周期不断减小6.人造地球卫星运行时其轨道半径为月球轨道半径的13，则该卫星运行的周期大约是A. 1天至4天之间B. 4天至8天之间C. 8天至16天之间D. 16天至20天之间7若取地球的第一宇宙速度为8km/s,某行星的质量是地球的6倍，半径是地 球的1.5倍，这个行星的第一宇宙速度约为A. 2km/s B.4km/s C.16km/s D.32km/s8有两颗人造地球卫星，它们的质量之比是mi : m2=12，它们运行线速度的大小之比是V1 : V2=1 : 2，那么A. 它们运行的周期之比是T1 : T2=8

25、: 1B. 它们的轨道半径之比是r1 :匕=4 : 1C. 它们的向心力大小之比是 F1 : F2=1 : 32D. 它们的向心加速度大小之比是 a1 : a2=16 : 19两颗靠得较近的天体称为双星，它们以两者连线上某点为圆心做匀速圆周 运动，因而不致于由于万有引力作用而吸引在一起，下列说法中正确的是A. 它们所受向心力之比与其质量成正比B. 它们做匀速圆周运动的角速度之比是 1 : 1C. 它们做匀速圆周运动的轨道半径之比与其质量成反比D. 它们做匀速圆周运动的线速度大小与其质量成反比10.某人在一星球上以速度vo竖直上抛一物体，经t s后物体落回手中。已知 星球半径为R，那么使物体不再

26、落回星球表面，沿水平方向抛出物体的速度至少B. 2vRt11. 一颗小行星环绕太阳做匀速圆周运动, 则轨道半径是地球公转半径的4倍,A. 它的线速度是地球公转线速度的2倍B. 它的线速度是地球公转线速度的12C. 它的环绕周期是4年D. 它的环绕周期是8年12. 地球半径为R,地球表面处的重力加速度为go,在距地心4R处的重力加 速度为g,则g : go为A. 1 : 2B.1 : 4C.1 : 9 :D.1 : 1613. 关于人造地球卫星所受的向心力与轨道半径r的关系，下列说法中正确的是A. 由F =GM m r2可知，向心力与r2成反比B. 由 W/ 可知，向心力与r成反比C. 由F =

27、mr可知，向心力与r成正比D. 由F=mv可知，向心力与r无关14. 用m表示地球同步卫星的质量， 半径，go表示地球表面处的重力加速度, 同步卫星的万有引力的大小h表示它离开地面的高度，Ro表示地球3 0表示地球自转的角速度，则地球对A.等于零3(C.等于m .屜00D. 以上结果都不正确15. 宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，飞船原来的线速度为V1,周期为假设在某时刻飞船向后喷气做加速动作后，进入新的轨道做匀速圆周运动，运动的线速度为V2,周期为T2,则A. V1 V2,T1 T2B. V1 V2J1 v T2C. V1 v V2,T 1 T2D. V1 v V2,T1 v T216. 某星

28、球的质量为地球的9倍，半径是地球的一半。若在地球上 h高处平 抛一物体，物体的落地点与抛出点的水平距离为 60m,那么在该星球上，从同样 高度以同样的初速度平抛物体，物体的落地点与抛出点的水平距离为A. 10mB.15mC.40mD.90m17. 关于人造地球同步卫星，下列说法中正确的是A. 周期为24hB. 卫星离地面的高度是一个与卫星质量无关的常量C. 绕地球运行方向是自西向东D. 卫星运行速率与地球表面物体的自转速率相同18. 关于“亚洲一号”同步通讯卫星，下列说法中正确的是A. 已知它的质量是1241 03kg ,若使它的质量增加3倍，则它的轨道半径将变为原来的2倍B. 它运行的线速度

29、大于7.9km/sC. 它运行的线速度小于4km/sD. 它距地面高度约为地球半径的5倍，它的向心加速度约为地面重力加速度 的%619. 地球同步卫星到地心的距离r可由r3 口 m， b的单位是s，c的单位是 m/s2，贝UA. a是地球半径，B. a是地球半径，C. a是赤道周长，D. a是地球半径， 加速度2人2等求出，已知式中a的单位是b地球自转周期，c是地球表面处的重力加速度b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力20. 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动其速率A. 一定等于 7.9km/s

30、B. 等于或小于7.9km/sC. 一定大于 7.9km/sD. 介于 7.911.2km/s21. 根据第一宇宙速度的数值估算地球半径的大小，计算公式为 ，数值为。22. 地球绕太阳公转的轨道半径 r=1.49X 1011m,公转周期T=3.16X 107s,万有引力恒量G=6.67X1011N m2/kg2，则计算太阳质量的表达式 M=，其数值约为kg.（取1位有效数字）23. 空间探测器进入某行星的万有引力范围之内以后，在靠近该行星表面的上只做匀速圆周运动，测得运动周期为 T,则这个行星的平均密度p =.24. 火星的质量是地球质量的110,火星的半径是地球半径12，地球上发射一 颗人造

31、地球卫星的速度至少为7.9 X 103m/s，那么在火星上发射一颗火星卫星的速度至少是。25. 木星的公转周期约为12年，设地球到太阳的距离为1单位（称为1天文单位），则木星到太阳的距离为 天文单位。（三）.计算题26. 人造卫星绕地球做匀速圆周运动， 若轨道距地面的高度等于地球半径 1.5 倍，地球半径为6.4X 106m，地面附近的重力加速度g。二二2ms2，求这颗人造地 球卫星的周期是多少？27. 宇航员站在一行星表面的上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到行星表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为.3 L o已知

32、两落地点在同一水 平面内，该行星的半径为 R，万有引力常数为G，求该行星的质量。28. 所谓“双星”就是在宇宙中有两颗相对距离较近的星球，离其它星球较远，质量分别为m和M，相距为d,如果它们的保持距离d不变，共同绕其连线 上某点O,各自做匀速圆周运动，求 O点的位置。【创新园地】29. 太阳距离银河系中心约 2.5X 104光年，太阳绕银河系中心运动的轨道可 视为圆，运动的周期约1.7X 108年。太阳光射到地球上需历时约 500s，由此可 估算银河系质量是太阳质量的多少倍？（取两位有效数字）30. 将来人类离开地球到宇宙中去生活，有人设计了宇宙村，它是一个圆环形的密封建筑，人们生活在圆环的边上。为了使人们在其中生活不致于有失重感，