必修四_平面向量知识点梳理

1、 必修四必修四 平面向量平面向量知识点梳理知识点梳理知知识识网网络络平面向量加法、减法加法、减法 数乘向量数乘向量坐标表示坐标表示两向量数量积两向量数量积零向量、单位向量、零向量、单位向量、共线向量、相等向量共线向量、相等向量向量平行的充要条件向量平行的充要条件平面向量基本定理平面向量基本定理两向量的夹角公式两向量的夹角公式向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件两点的距离公式两点的距离公式向量的概念向量的概念解决解决图形图形的平的平行和行和比例比例问题问题解决解决图形图形的垂的垂直和直和角度角度,长度长度问题问题向量的初步应用向量定义：向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫

2、向量。重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量： 长度为长度为0的向量，记作的向量，记作0.（2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的向量个单位长度的向量.（3）平行向量：）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量的非零向量.（4）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.一、平面向量概念一、平面向量概念几何表示几何表示 : 有向线段有向线段向量的表示向量的表示字母表示字母表示 : aAB 、等坐标表示坐标表示 : (x，y)若若 A(x

3、1,y1), B(x2,y2)则则 AB = (x2 x1 , y2 y1)一、平面向量概念一、平面向量概念a向量的模（长度）向量的模（长度）1. 设设 = ( x , y ),则则2. 若表示向量若表示向量 (x1,y1)、B (x2,y2) ，则，则 ABa22yx 221221yyxx一、平面向量概念一、平面向量概念1.向量的加法运算向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则平行四边形法则坐标运算坐标运算:则则a + b =重要结论：重要结论：AB+BC+CA= 0设设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)( x1 + x2

4、 , y1 + y2 )AC OC一、平面向量概念一、平面向量概念2.向量的减法运算向量的减法运算1）减法法则：）减法法则：OAB2）坐标运算）坐标运算:若若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )则则a b= 3 3.加加法减法运算律法减法运算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：）交换律：2）结合律：）结合律：BA(x1 x2 , y1 y2)OAOB =一、平面向量概念一、平面向量概念练习_;_;_;_;_.ABBDBABCBCCAODOAOAOB 填空：AD BA ADBA CA ,120| | 3|oABa ADbDABababab 练习、如图已知向

5、量，且，求和120oabADBCO|ba|DB|ba|AC|baDBbaAC3|AB|AD|ABCDADAB，故，由向量的加减法知，故此四边形为菱形由于，为邻边作平行四边形、解：以120oabADBCO33 3| |sin60322oAODODAD 由于菱形对角线互相垂直平分,所以是直角三角形，33|ba|3|ba|，所以3|AC|ADC60DAC120DABOO是正三角形，则所以，所以因为return4.实数实数 与向量与向量 的积的积定义定义：坐标运算：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的伸长或缩短！若若 = (x , y), 则则(x , y)= ( x , y)一、平

6、面向量概念一、平面向量概念则则|aaa.ba存在唯一实数存在唯一实数 ，使得，使得结论结论: 设表示与非零向量同向的单位向量设表示与非零向量同向的单位向量.aaba与定理定理1:两个非零向量两个非零向量平行平行(方向相同或相反方向相同或相反)一、平面向量概念一、平面向量概念向量垂直充要条件的两种形式向量垂直充要条件的两种形式:0)2(0)1 (2121yyxxbabababa二、平面向量之间关系向量平行向量平行(共线共线)充要条件的两种形式充要条件的两种形式:0)0),(),(/)2(;)0(/) 1 (12212211yxyxbyxbyxabababba（3）两个向量相等的充要条件是两个向量

7、的）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等坐标相等. 即即: 那么那么 ),(11yxa ),(22yxb 2121yyxxba且三、平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 ，有且只有有且只有一对实数一对实数 使使21, ee,21a2211eea1、平面向量数量积的定义：、平面向量数量积的定义：bacos|ba 2、数量积的几何意义：、数量积的几何意义：|cos.aabab等于 的长度与在方向上的投影的乘积OABB1(四四) 数量积数量积abba）（1）（）（）（b

8、ababa2cbcacba ）（34、运算律、运算律:2121yyxxba3、数量积的坐标运算、数量积的坐标运算5、数量积的主要性质及其坐标表示：、数量积的主要性质及其坐标表示： 0012121yyxxbaba 反向时，当同向时，当时，当babababababa/.221212,) 3(yxaaaaaa 222221212121cos4yxyxyyxxbaba),(是两个非零向量ba baba5babababa有：、证明对任意例 . 1结结论论显显然然成成立立。有有一一个个为为，若若证证明明, 0)1(:ba,bAB, aOA, 0ba)2( 作作都都不不为为，若若baOB 则则他他两两边边之

9、之差差，其其他他两两边边之之和和，大大于于其其边边小小于于不不共共线线时时，由由三三角角形形一一，当当 baABOAOBABOA bababa ABOAOBba 同同向向，则则，若若ABOAOBba 反反向向，则则，若若abOBAbababababa 或或共共线线时时，、综上所述：原命题成立综上所述：原命题成立. |31|31|.,MNONOMbaCDCNBCBMCODABbOBaOAOADB，表示、，用，且交于与，中，已知平行四边形CNDBMOA解解: baOBOABAbaBABCBM61616131babBMOBOM6161ba6561. |31|31|.,MNONOMbaCDCNBCBM

10、CODABbOBaOAOADB，表表示示、，用用，且且交交于于与与，中中，已已知知平平行行四四边边形形 CNDBMOACDODCNOCON3121)(baODODOD32326121ba3232baOMONMN6121例例3、 已知已知a=(3,-2) ， b=(-2,1)， c=(7,-4)，用用a、b表示表示c。解：解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b4.,OA OB 例例 如如图图不不共共线线(),APtAB tR ,.OA OBOP 用用表表示示:,APtAB 解解 OPOAAP

11、OAtAB ()(1).OAt OBOAt OAtOB O A B P (1).OPt OAtOB ()OPOAt OBOA APtAB 另解另解:可以试着将可以试着将,OA OBOP 用用， 表表示示出出来来. .APtAB 说明：说明：(1) 本题是个重要题型：设本题是个重要题型：设O为为平面上任一点，则：平面上任一点，则：A、P、B三点共线三点共线 (1).OPt OAtOB 或令或令 = 1 t， = t，则，则 A、P、B三点共线三点共线 (其中其中 + = 1).OPOAOB (2) 当当t = 时，时， 常称常称为为OAB的中线公式的中线公式(向量式向量式)121()2OPOAO

12、B 例例5.设设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，求证：求证：A、B、D 三点共线。三点共线。 分析分析要证要证A、B、D三点共线，可证三点共线，可证 AB=BD关键是找到解：解：BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5bAB=2 BD A、B、D 三点共线三点共线AB BD且且AB与与BD有公共点有公共点B例例6.设非零向量设非零向量 不共线，不共线， 若若 试求试求 k. ba, bakc),(Rkbkad,/dc解：解： ,/dc由向量共线的充要条件得：由向量共线的充要条件得： ,dc即即 ),(bkabak又又 不共线不共线 ba,由平

13、面向量的基本定理由平面向量的基本定理 11kkk.1,2 ,1 ,22.abxababx例7 已知向量分别求出当与平行和垂直时实数 的值222,3)1(2 )/ /(2);27(2 )(2)22ababxababababx解：=（1+2x，4）,（时，3(1+2x)-4(2-x)=0,x=时，（1+2x)(2-x)+4 3=0.x=- 或解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y），（），（211321( AB)4 ,3(yxDC ，得得由由DCAB )4 ,3()2 , 1(yx yx4231 22yx），的的坐坐标标为为（顶顶点点22D 例例8 已知已知 ABCD的三个顶点的三个顶点

14、A、B、C的坐的坐标分别为（标分别为（2，1）、（）、（ 1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标的坐标例例9. 已知已知A(2，1)，B(1，3)，求线段，求线段AB中中点点M和三等分点坐标和三等分点坐标P，Q的坐标的坐标 .解：解：(1) 求中点求中点M的坐标，由中点公式可知的坐标，由中点公式可知 M( ，2)21(2) 因为因为 =(1，3)(2，1) =(3，2)ABOBOA 131 ( 2,1)(3,2)35 ( 1, )3OPOAAB 232 ( 2,1)(3,2)37 (0, )3OQOAAB 例例10.设设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足满足(

15、1) 为何值时为何值时,点点P在直线在直线y=x上上?(2)设点设点P在第三象限在第三象限, 求求的范围的范围.APABAC 解解: (1) 设设P(x, y)，则，则 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以所以x=5+5，y=7+4. 21解得解得 =(2) 由已知由已知5+50,7+40 ,所以所以1. 例例1111（1 1）已知）已知 = =（4 4，3 3），向量），向量 是是垂直于垂直于 的单位向量，求的单位向量，求 . .abab./)2 , 1 (,102的坐标，求，且）已知（ababa.43)5 ,(),0 , 3(3的值求，的夹角为与，且）已知（kbakba.

16、532222222).54,53()54,53(1kbb）；（，）或（，）（或）答案：（解：解：设点 B 的坐标为（x,y） ， 则)2, 5(),(yxAByxOB ABOB x（x-5）+y（y-2）=0 即 x2+y2 5x 2y=0 又 ABOB x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10 x+4y=29 由、解得：272323272211yxyx或 点B的坐标为)23,27(或)27,23( )27,23(AB或)23,27(AB 例例13、已知已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为边上的高为AD。（1）求证：）求证：ABAC；（2）求点

17、）求点D和向量和向量AD的坐标；的坐标；（3）求证：）求证：AD2=BDDC解：（解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) ABAC=(-3)2+(-6)(-1)=0 ABAC（2）D(x,y) AD=(x-2,y-4) BC=(5,5) BD=(x+1,y+2) ADBC ADBC=0 5(x-2)+5(y-4)=0 又又B、D、C共线共线 5(x+1)-5(y+2)=0 x+y-6=0 x= D( , ) x-y-1=0 y= AD=( ,- )272527252323（3）AD=( ,- ) BD=( , ) DC=( , ) |A

18、D| = + = BDDC= + = AD =BDDC21294923232921492949492922例例13、已知已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为边上的高为AD。（1）求证：）求证：ABAC；（2）求点）求点D和向量和向量AD的坐标；的坐标；（3）求证：）求证：AD2=BDDC例例14.14.已知已知a a=(2,3),=(2,3),b b=(-4,7),=(-4,7),则则a a在在b b上的投影为（上的投影为（ ） A. A. B. B. C. C. D.D. 解析解析 设设a a和和b b的夹角为的夹角为，| |a a|cos|cos=

19、 C1351356565|b|ba.56565137)4(73)4(22221121 )54,53(222）即（babbaabababa 120 180,0 21cosbaba3 32222babbaaba解：解：212121,60 ?2,32?.oe eaeebeeab 例16、设为两个单位向量?且夹角为若求 与 的夹角解：解： 22222121211222244aeeeeee ee 222112144cos604 14 1 1172eeee 7a同理可得同理可得 7b22121211227232622a beeeeee ee 712cos277a bab =120. 0,(cos ,sin

20、 ),aabcabc例17 若向量则 与 一定满足( )以上都不对以上都不对 D. )()( C.0 B. A.cbcbcbab ).()(0)(1sincos, 12222cbcbcbcbcbcb 解解 答案答案 CABACABACABACBCABCABACABAC 例18(06陕西)已知非零向量与满足1(+)=0且=则为( )2A,三边均不相等的三角形, B直角三角形,C,等腰非等边三角形, D等边三角形,60 ,ABACAABACAABACABACAABACA 解析:+在的平分线上,由题意得的平分线垂直于边BC,1故又=1 1cos=2故选D.ABC,(),ABCPA PBPB PCPC

21、 PAABCABCD 例19(05湖南)已知P是所在平面上一点,若则P是的 外心, 内心, 重心, 垂心.()0,:,PA PB PB PCPB PA PCPB CAPB CAPA BCPC ABP 解 析 :由得同 理 可 得故为 垂 心 ,选 D.ABCP减区间；的单调递试求若记设例)(, 0. 1)( ),R( )2sin3,(cos ),1 ,cos2(20. xfxbaxfxxxbxa.32,6)( 32623622613626,0)62sin(2)2cos212sin23(22cos2sin31)(,2sin3cos2(1) 2的单调递减区间为故即由xfxxxxxxxxxbaxfx

22、xba 解析解析 【例例2323】已知向量已知向量a a=(cos =(cos x x,sin ,sin x x),), b b=(cos ,-sin )=(cos ,-sin )，且，且x x . . (1) (1)求求a ab b及及| |a a+ +b b|;|; (2) (2)若若f f( (x x)=)=a ab b-|-|a a+ +b b| |，求，求f f( (x x) )的最大值和最小值的最大值和最小值. .23232x2x43，,2cos2sin23sin2cos23cos) 1 (xxxxxba解解 xxxxxxxxxxxxcos,4,3|,cos|22cos22)2sin23(sin2cos23cos2sin23sin2cos23cos22）（|ba|)-,(ba0 0|a a+ +b b|=2cos |=2cos x x. .(2)(2)由由(1)(1)可得可得f f( (x x)=cos 2)=cos 2x x-2cos -2cos x x=2cos=2cos2 2x x-2cos -2cos x x-1-1=2(cos =2(cos x x- )- )2 2- .- .x x ， cos cos x x11，当当cos cos x x= = 时，时，f