曲线积分与曲面积分复习课好PPT学习教案

1、会计学1曲线积分与曲面积分复习课好曲线积分与曲面积分复习课好（3）计算直接计算法第一类：从小参数到大参数；第二类：从起点参数到终点参数。化为对L的定位参数的定积分。注意：先化简；间接计算法用两类曲线积分的联系；用Green公式及其推论、Stokes公式.第二类与定向有关。第1页/共19页 LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合非闭闭合 DdxdyyPxQI)(非闭补充曲线再用公式基本方法ttytytxQtxtytxPId)()(),()()(),(: )()(ttyytxx第2页/共19页2、曲面积分（1）概念 dSMf)(第一类第

2、二类.)( dxdyMf（2）两类曲面积分的联系,)( dydzMf ,)(dzdxMf SddSn0dS)cos,cos,(cos ),(dxdydzdxdydz 第3页/共19页（3）计算直接计算法第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参 数）的二重积分；第二类：将对x、y的曲面积分化为对x、y的二重积分。注意：先化简；间接计算法用两类曲面积分的联系；用高斯公式。第二类与定向有关。第4页/共19页3、Green公式、Gauss公式、Stokes公式（1）建立了不同维数积分间的联系注意： 定向。（2）公式及其推论在计算曲线积分、曲面积分中的应用注意：条件。第5页/共19页例例 1 1 计算计算

3、 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其 中中L为由点为由点)0 , 0(O到点到点)1 , 1(A的曲线的曲线xy2sin . . 思路: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合非闭闭合 DdxdyyPxQI)(非闭补充曲线再用公式二、例题第6页/共19页解xyP2 由于由于xxQ2 ,xQyP 有有xyo11A 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 例例 1 1 计算计算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其 中中L为由点为由点)0 , 0(O到点到点)1 , 1(A的曲线的曲线xy2sin

4、 . . 第7页/共19页例例 2 2 计算计算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, , L为由为由)0 ,(a到到)0 , 0(的上半圆周的上半圆周0,22 yaxyx. . 解myeyPx cosyexQxcos xQyP 有有xyo)0 ,(aAMmxQyP 但但 AMOAOAOAOALIdxdy)yPxQ(D 0 Ddxdym.82am 第8页/共19页在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面，其中其中求求1 C),( ,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例3xyoz111 解),1 , 1, 1(

5、 n的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos ),(31xzyxfI dSzyx)(31 dS31方程方程.21 dSzzyxfyzyxf),(31),(231 第9页/共19页所截部分外侧所截部分外侧被平面被平面为锥面为锥面求求2, 1, 222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例4解 21220rdrrd.215 xyDdxdyyx)(22dxdyzI 2对称性对称性41:22 yxDxy第10页/共19页例例 5 5 求求yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , , ：曲线：曲线)31(01 yxyz绕绕 y 轴的旋转曲面轴的旋转曲面, ,

6、法向量与法向量与y轴正向夹角恒大于轴正向夹角恒大于2 . . 解221 xzy 旋旋转转面面方方程程为为 *I dvyyy)4418( *2)31(2dzdx dv zxDdzdx)(16 322 .34 xyzo132 *第11页/共19页,)(lim)(10 niiiMfdMf .)()(, badxxfdMfbaR 上区间上区间.),()(,2 DdyxfdMfDR 上区域上区域三、 各种积分之间的联系定积分二重积分积分概念的联系第12页/共19页 dVzyxfdMfR),()(,3 上区域上区域.)()(,32 dsMfdMfRR 上（有向）曲线上（有向）曲线或或.),()(,3 Sd

7、SzyxfdMfSR 上（有向）曲面上（有向）曲面曲面积分曲线积分三重积分.),()( SdxdyzyxfdMf .)()( dxMfdMf 第13页/共19页计算上的联系)(),(),()()(21面积元素面积元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdVzyxf)()(),(),(2121),(),( baLdxyxyxfdsyxf21)(,),( baLdxdxxyxfdxyxf)()(,),(投投影影元元素素,),( baDxdydzzyxfdx或或,),(),(),(21 yxzyxzDdzzyxfdxdyxy或或)(体体积积元元素素d

8、V弧弧长长元元素素）（ds第14页/共19页 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR)(,(,),(其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsRQPRdzQdyPdxLL)coscoscos( )(面面积积元元素素dS)(投投影影元元素素dxdy第15页/共19页理论上的联系1. 定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿-莱布尼茨公式2. 二重积分与曲线积分的联系)( )(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式第16页/共19页3. 三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式4. 曲面积分