二阶系统的性能指标分析

1、邢台学院物理系自动控制理论课程设计 报告书设计题目 : 二阶系统的性能指标分析 专业 : 自动化班级 :学生姓名 : 学号 :指导教师 :2013 年 3 月 24 日邢台学院物理系课程设计任务书专业： 自动化 班级：学生姓名学号课程名称自动控制理论设计题目二阶系统的性能指标分析设计目的、 主要内容（参数、方 法）及要求目的：通过对二阶系统的性能指标分析得知，系统三方面性能对系统结构和参数的要 求往往是相互制约的，工程中通过在系统加一些附加装置来改善二阶系统的性能。通 过本次课题来了解改善方法。1 二阶系统性能指标概述2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统和典型三阶系统3.1 二阶系统传递函数标

2、准形式及分类3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算3.4 改善二阶系统动态性能的措施4 二阶系统性能的 MATLAB仿 真工作量2周进度安排3 周至 4 周3月11至3月13日收集资料， 3月 14至 3月22编写， 3月23至3月24日制图主要参考 资料1 谢红卫. 现代控制系统 . 高等教育出版社， 20072 胡寿松. 自动控制原理 . 科学出版社， 20073 黄忠霖 . 自动控制原理的 MATLAB实现. 国防工业出版社， ,20074 自动控制原理及其应用（黄坚第二版）高等教育出版社指导教师 签字系主任签字2013 年 3 月 24 日摘要二阶

3、系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。 例如，他励直流电动机 RLC电路等都是二阶系统的实例。二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中 具有普遍的意义。控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标， 动态性能指标又可 分为随动性能指标和抗扰性能指标。稳态过程性能稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值 本次课程设计以二阶系统为例，研究控制系统的性能指标。关键词 ：二阶系统 性能指标 稳态性能指标 动态性能指标 稳态误差 调节时间目录1. 二阶系统性能指标概述 12. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。 13. 二阶系统的时间响应及动态性能 43.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分

4、类 43.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 53.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 73.3.4 改善二阶系统动态性能的措施 144. 二阶系统性能的 MATLAB仿 真 185 总结及体会 19参 考 文 献. 191.二阶系统性能指标概述二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。 例如，他励直流电动机 RLC电路等都是二阶系统的实例。二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中 具有普遍的意义。控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标， 动态性能指标又可 分为随动性能指标和抗扰性能指标。稳态过程性能 稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值2. 应用模拟电路来模拟

5、典型二阶系统。12l 是典型二阶系统原理方块图，其中 T01 秒； T10.1 秒；K1 分别为 10；5；2.5 ；1。图 2 1 二阶系统开环传递函数为：G(S)其中，开环增益闭环传递函数：W(S)T1S2KSK其中，K1T0S(T1S 1)K1S(T1S 1)1T2S2 2T S 1n2S2 2 nSn21T1T0nT21)22)23)24)1)当 01。即欠阻尼情况时，二阶系统的阶跃响应为衰减振荡，如图 22 中曲线所示。(t 0)(2 5)e ntC(t) 1 sin( dt 0)12式中： d n 1tg峰值时间可由式( 2 5)对时间求导数，并令它等于零得到：tp超调量 Mp：由

6、 M p C(t) 1 求得(26)27)调节时间 ts ，采用 2允许误差范围时，近似的等于系统时间常数4 的四n倍，即ts28)2)当 1 ，即临界阻尼情况时，系统的阶跃响应为单调的指数曲线，如图 22 中曲线所示。 输出响应 C(t) 为C(t) 1 e nt (1 nt) (t 0)29)调节时间 ts 可由下式求得C(t) 1 e nts(1 nts ) 0.98(210)(3)当 1，即过阻尼情况时，系统的阶跃响应为单调的指数曲线：n e S1t e S2tC(t) 1 n (e e )(t 0)(211)2 2 1 S1S2式中S1 ( 2 1) n ； S2 ( 2 1) n

7、；当 远大于 1 时，可忽略 -S1的影响，则C(t) 1 e ( 1) nt212)这时调节时间 t s近似为：4ts213)图 2 2 二阶系统阶跃输入下的动态响应2 1) n图23是图 21的模拟电路及阶跃信号电路图H1H2510K1u100K510KU1200K1uU210KU3-C(t)图 2 3 二阶系统模拟电路图 开环传递函数为1G(S)0.12S100.1S 1500S(S 10)其中 n 500 22；10 0.2242 5003.二阶系统的时间响应及动态性能3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图 3- 所示其中 K ， 函数为T 为环节参数。系统闭

8、环传递化成标准形式(s)3-5)(s)(s) 2 KT1s2 s Kn2s2 2 nsn21 型)T 2s2 2T s 11 型)3-6)式中， TT1，KnT1 TK1 ，2 K1T1、 n 分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征 参数。二阶系统的首 1 标准型传递函数常用于时域分析中， 频域分析时则常用尾 1 标准型。二阶系统闭环特征方程为D(s) s2 2 ns n2 0 其特征特征根为1,2 n n 1 若系统阻尼比 取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表 3-3 。表 3-3 二阶系统(按阻尼比 )分类表分类特征根特征根分布模态

9、1过阻尼1,2 n n 1e 1te 2t1临界阻 尼1,2 ne nt te nt01欠阻尼1,2 n j n 1 2e nt sin 1 2 nt e nt cos 1 2 nt0零阻尼1,2 j nsin nt cos nt数学上， 线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。 通解由微分 方程的特征根决定， 代表自由响应运动。 如果微分方程的特征根是 1， 2， , n 且无重根，则把函数 e1t，e 2t， ,e nt称为该微分方程所描述运动的模态，也 叫振型。如果特征根中有多重根 ，则模态是具有 tet，t2e t, 形式的函数。 如果特征根中有共轭复根 j ，则其共轭复模态

10、e( j )t 与e( j )t可写 成实函数模态 e t sin t 与e t cos t 。每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态， 线性系统自由 响应则是其相应模态的线性组合。过阻尼二阶系统动态性能指标计算设过阻尼二阶系统的极点为1 1 2 1 n1 2 1 nT2(T1 T2 )系统单位阶跃响应的拉氏变换C(s) (s)R(s)n21(s 1T1)(s 1T2) st0图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间1特性（T1 T2 ）2 T1 T2进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应tte T1e T2h(t) 1 TTT2 1 T1 1T1T23-7)过阻尼二阶系统单位阶跃响应

11、是无 振荡的单调上升曲线。根据式（ 3-7 ）， 令 T1 T2 取不同值， 可分别求解出相应的 无量纲调节时间 ts T1，如图 3-7 所示。 图中 为参变量，由s2 2 ns n2 (s 1T1)(s 1T2)可解出当 T1 T2（或 ）很大时，特征根 21T2 比 1 1T1 远离虚轴，模态 e t T2很快衰减为零，系统调节时间主要由过阻尼二阶系统近似看作由11 T1 对应的模态 e t T11确定的一阶系统，估算其动态性能指标决定。此时可将 图 3-7 曲线体现 了这一规 律性。图 3-8 给出系统单 位阶跃响 应曲线。例 3-4角速度随动系统结构图如图 3-9 所示。图中， K

12、为开环增益， T 0.1s 为伺服电 动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间 ts 1s，问K 应 取多大？解 根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短， 应取阻尼比 1。由图 3-9 ，令闭环特征方程s21sK(s 1)2s22 s120TT T1T1T12比较系数得T1 2T 2 0.1 0.2K T T12 0.1 0.22 2.5查图 3-7 ，可得系统调节时间 ts 4.75T1 0.95 s，满足系统要求。欠阻尼二阶系统动态性能指标计算1欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法 欠阻尼二阶系统的极点可以用如图 3-10 所示的两种形式表示。 （1）直角坐标表示1,2 j d

13、n j （2）“极”坐标表示2ncos sin 12欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应3-8)3-9)由式（ 3-5），可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为C(s) (s)R(s)1 s 2 n s (sn )2 (1 2 ) n22n21s2 2 ns n2 s2n2) n2sn21s (sn)2 (1 2 ) n21 2 (sn)2 (12)系统单位阶跃响应为h(t) 1 e nt cos 1 2 nt e nt sin 1 2 nt121 e 1 2cos 1 2 ntsin 1 2 nt123-10)系统单位脉冲响应为k(t) h(t) L 1 (s) L 1(sn )2 (1 2) n21 n

14、 2 e nt sin 1 2 nt(3-11)典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图 3-11 所示。响应曲线位于两条包络线1 e nt 1 2 之间，如图 3-12 所示。包络线收敛速率取决于n(特征根实部之模)，响应的阻尼振荡频率取决于 1 2 n (特征根虚部)。响应的初 始值 h(0) 0 ，初始斜率 h(0) 0，终值 h( ) 1。83 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算1）峰值时间 tp：令h（t） k（t） 0 ，利用式（ 3-11）可得sin 1 2 nt 0 即有 1 2 nt 0, , 2 , 3 , 由图 3-1 ，并根据峰值时间定义，可得3-12)2）超调量 0 0：将式

15、（ 3-12 ）代入式（ 3-10）整理后可得h(tp ) 1 e12 h(t p) h( ) 100 e 1 100h( )3-13)可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量3-13 所示。00 只与阻尼比 有关，两者的关系如图9图 3-13 欠阻尼二阶系统 % 与的关系曲线3）调节时间 ts ：用定义求解系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按阶跃响应的包络线进入 计算调节时间。令 e nt1 e 1125误差带的时间12可解得tsln0.05 1ln(1 2)2n0.3 0.8 )3-14)e nt0.053.5nn式（3-12）（3-14）给出典型欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式。可见，

16、典型欠阻尼二阶系统超调量00 只取决于阻尼比 ，而调节时间 ts则与阻尼比和自然频率 n均有关。按式（ 3-14 ）计算得出的调节时间 t s偏于保守。 n 一定 时，调节时间ts实际上随阻尼比 还有所变化。图3-14 给出当T 1 n时，调节 时间 t s与阻尼比 之间的关系曲线。可看出，当0.707（ 45 ）时，ts 2T ，实际调节时间最短， 00 4.3200 5，超调量又不大， 所以一般称0.707 为“最佳阻尼比”。104典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系根据式（ 3-13 ）、式（ 3-14 ）及式（ 3-8 ）、式（ 3-9 ），可以进一步讨论系统 动态

17、性能、系统参数及闭环极点分布间的规律性。当 n 固定， 增加（ 减小）时，系统极点在 s 平 面按图 3-15 中圆弧轨迹（ I ）移动，对应系统超调量减小；同时由于极点远离虚轴，n 增加，调节时间 t s减小。图 3-16（a） 给出 n =1， 改变时的系统 单位阶跃响应过程。当 固定， n 增加时，系统极点在 s平面按图 3-15 中的射线轨迹（ II ）移动，对应系统超调量 不变；由 于 极 点 远离 虚 轴 ， n 增 加， 调节 时间 ts 减 小 。 图 3-16（b） 给 出 了 =0.5（ 60 ）， n 变化时的系统单位阶跃响应过程。11般实际系统中， T是系统的固定参数，

18、不能随意改变，而开环增益 K 是各环节总的传递系数，可以调节。 K 增大时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中的垂 直线(III )移动，阻尼 变小，超调量 会增加。图 3-16(c) 给出 T 1，K 变 化时系统单位阶跃响应的过程。12(a) n=1, 改变时的阶跃响应； (b) =0.5， n改变时的阶跃响应； (c)T=1,K 改变时的阶跃响应 图 3-16 二阶系统单位阶跃响应 综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使二阶系 统的闭环极点位于 45 线附近，使系统具有合适的超调量，并根据情况尽量 使其远离虚轴，以提高系统的快速性。掌握系统动态性能随参数及极点位

19、置变化的规律性， 对于分析设计系统是十 分重要的。133.3.4 改善二阶系统动态性能的措施采用测速反馈和比例加微分控制方式，可以有效改善二阶系统的动态性能。例 3-8 在如图 3-22（a） 所示系统中，分别采用测速反馈和比例加微分控制， 系统结构图分别如图 3-22（b） 和（c） 所示。其中 Kt 0.216 。分别写出它们各自的 开环传递函数、闭环传递函数，计算出动态性能指标（ ，ts ）并进行对比分 析。解 图 3-22（a）、b）中的系统是典型欠阻尼二阶系统， 其动态性能指标（ % ， t s ）按式（ 3-13）、式（ 3-14 ）计算。而图 3-22（c） 表示的系统有一个闭环

20、零点， 不符合上述公式应用的条件。将各系统的性能指标的计算及比较列于表 3-6 中。 图 3-22 所示的系统可以用表 3-7 中相应的公式（或用 MATLA）B 计算其动态性能 指标。可以看出， 采用测速反馈和比例加微分控制后， 系统动态性能得到了明显表 3-6 原系统、测速反馈和比例加微分控制方式下系统性能的计算及比较系统结构图图 3-22(a)图 3-22(b)图 3-22(c)开环 传递函数10G(a)(s)s(s 1)G (s) 10(Kts 1)G(b)(s) s(s 1)G(c) (s) 10(Kts 1)(c) s(s 1)闭环 传递函数(a) (s)2s s 10(b) (s

21、)10(b)(s) s2 (1 10Kt )s 10(c)(s)2 10(Kt s 1)(c)(s) s2 (1 10Kt)s 10系 统 参 数0.1580.50.5n3.163.163.16开零点-4.63-4.6314环极点0，-0，-0，-闭环零点-4.63极点-0.5 j3.12-1.58 j2.74-1.58 j2.74动态性能tp1.011.151.05006016.323ts72.22.1从物理本质上讲，图3-22(b) 系统引入速度反馈， 相当于增加了系统的阻尼， 使系统的振荡性得到抑制，超调量减小；图 3-22(c) 所示系统采用了比例加微分 控制，微分信号有超前性，相当于

22、系统的调节作用提前，阻止了系统的过调。相 对于原系统而言，两种方法均可以改善系统的动态性能。实际使用中， 比例加微 分装置一般串联在前向通道信号功率较弱的地方， 需要放大器进行信号放大； 而 反馈则是从大功率的输出端反馈到前端信号较弱的地方，一般不需要信号放大。 从效果上看，由于比例加微分环节是高通滤波器，会放大噪声， 影响系统正常工 作；而测速反馈不会有这样的问题。从经济角度考虑，比例加微分实现简单，费 用低；测速反馈装置价格高。实际采用哪一种方法，应根据具体情况适当选择。1加开环零点对系统动态性能的影响比较图 3-22(a) 和(b) 所示两系统的开环传递函数可以看出，后者比前者多 一个开

23、环零点，因而影响了系统的闭环特征多项式，改变了闭环极点的位置 (见 图 3-23 )。显然，图3-22(b) 所示系统闭环极点 (b)较图 3-22(a) 所示系统闭环极 点 (a)远离虚轴(相应调节时间 ts 小)，且 角小(对应阻尼比 较大，超调量 较小)，因而动态性能优于图 3-22(a) 所示系统。 附加开环零点是通过改变闭环极点(改变模态)来影响闭环系统动态性能的。2附加闭环零点对系统动态性能的影响图 3-22(b) ， (c) 两系统有相同的开环传递函数，只是闭环传递函数中后者 较前者多一个闭环零点。 附加闭环零点不会影响闭环极点， 因而不会影响单位阶 跃响应中的各模态。 但它会改变单位阶跃响应中各模态的加权系数， 由此影响系 统的动态性能。15附加闭环零点是通过改变单位阶跃响