二次根式的概念与性质

1、二次根式的概念与性质编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1. 学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，并利用它们进行计算和化简2. 重点：；，及其运用3. 难点：利用，解决具体问题.二、知识要点梳理知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a 0)?的式子叫做二次根式， “”称为二次根号要点诠释：二次根式的两个要素：根指数为2；被开方数为非负数.知识点二：二次根式的性质1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5.商的算术平方根的性质：.要点诠释：二次根式 (a 0) 的值是非负数，其性质 可以正用亦可逆用， 正用时去掉根号起到化简的作用

2、； 逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式， 有利于在实数范围内进行因式分解.知识点三：代数式形如 5， a， a+b，ab， x3，这些式子，用基本的运算符号( 基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方) 把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 (algebraic expression).三、规律方法指导1. 如何判断一个式子是否是二次根式？(1)必须含有二次根号，即根指数为2；(2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义.2. 如何确定二次根式在实数范围内有意义？要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数. 要确定被开方数中所

3、含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围. 当二次根式作为分母时要注意分母不能为零.经典例题透析类型一：二次根式的概念1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、(x 0) 、(x 0，y 0) 思路点拨： 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0解：二次根式有：、(x 0) 、(x 0，y 0) ；不是二次根式的有：、2、当 x 是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨： 由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以 3x-1 0， ?才能有意义解： 由 3x-1 0，得： x当 x时，在实数范围内有意义总结升华： 要

4、使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数举一反三【变式 1】 x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？(1)； (2)；解： (1)由 0，解得： x 取任意实数 当 x 取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义 .(2)由 x-10，且 x-1 0，解得： x 1 当 x 1 时，二次根式在实数范围内都有意义.【变式 2】当 x 是多少时，+在实数范围内有意义？思路点拨： 要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的 2x+3 0 和中的 x+1 0解： 依题意，得由得： x -由得： x -1当 x -且 x-1 时，+在实数范围内有意义类型二：二次根式的性质3、计算：

5、(1)(2)(3)(4)(5)(b 0)(6)思路点拨： 我们可以直接利用(a 0) 的结论解题解：(1)(2)=；(3)；(4)=； (5)；(6)举一反三【变式 1】计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨： (1) 因为 x 0，所以 x+10；(2)a2 0；(3)a 2+2a+1=(a+1) 2 0；(4)4x2-12x+9=(2x) 2-2 2x 3+32=(2x-3) 2 0所以上面的 4 题都可以运用的重要结论解题解： (1)因为 x 0，所以 x+1 0；(2) a2 0，；(3) a2+2a+1=(a+1) 2又(a+1) 2 0， a2+2a+10，=a2+2a+1

6、；(4) 4x2-12x+9=(2x)2-2 2x 3+32=(2x-3)2又(2x-3) 2 02 0，2 4x -12x+9=4x -12x+9.4、化简 :(1)； (2)； (3)； (4).思路点拨： 因为 (1)9=32， (2)(-4)2=42， (3)25=52， (4)(-3)2=32，所以都可运用去化简解： (1)=3；(2)=4；(3)=5；(4)=3.5、填空： 当 a 0 时，=_；当 a0 时，=_，? 并根据这一性质回答下列问题(1) 若=a，则 a 可以是什么数？(2) 若=-a ，则 a 可以是什么数？(3) a，则 a 可以是什么数？思路点拨： =a(a 0

7、) ，要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( ) 2”中的数是正数，因为，当a 0 时，=，那么 -a 0(1) 根据结论求条件；(2) 根据第二个填空的分析，逆向思想； (3) 根据 (1) 、(2) 可知，而要大于 a，只有什么时候才能保证呢？解： (1) 因为，所以 a 0；(2) 因为，所以 a 0；(3) 因为当 a 0 时，要使，即使 a a 所以 a 不存在；当a0 时，要使，即使 -a a，即 a 0；综上， a0.类型三：二次根式性质的应用6、当 x=-4 时，求二次根式的值 .思路点拨： 二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相

8、同.解： 将 x=-4 代入二次根式，得=.7、 (1) 已知 y=+5，求的值(2) 若+=0，求的值解：(1) 由可得，(2)8、在实数范围内分解因式：(1)x 2-5 ； (2)x3-2x ；解: (1) 原式.(2) 原式.学习成果测评基础达标一、选择题1. 下列式子中，不是二次根式的是( )ABCD2. 已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是 ( )A 5BCD以上皆不对3.( 福建省福州市 ) 若代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ( )A x0B x 0C x 0D x 0 且 x 14的值是 ()A0BC 4D 以上都不对5 a0 时，、，比较它们的结果，下面四个

9、选项中正确的是( )ABCD6.( 辽宁省大连市 )如图，数轴上点N 表示的数可能是()ABCD二、填空题1. 若，则 x = _.2. 若有意义，则 的取值范围是 _.3 -=_4.=_.5.=_.6. 若，则_.7. 若，则_ ；若，则_.8. 化简：=_.9.计算： (1)=_；(2)=_；(3)=_。10.( 内蒙古鄂尔多斯市) 如图，在数轴上，A、B 两点之间表示整数的点有_个三、解答题1. 求下列二次根式中字母 a 的取值范围：(1)，(2)；(3).2. 某工厂要制作一批体积为3的产品包装盒，其高为，按设计需要，? 底面应做成正方形，试问底面边1m长应是多少？能力提升一、选择题1

10、. 使式子有意义的未知数x 有 ( )个A 0B 1C 2D无数2.( 山西省临汾市 )若，则与 3 的大小关系是 ( )ABCD3. 下列计算正确的是( )ABCD4.( 福建省厦门市 )下列四个结论中，正确的是( )A.B.C.D.二、填空题1. 若，则_.2若是一个正整数，则正整数m的最小值是 _3. 已知实数在数轴上的对应点如图所示，则_.三、解答题1. 当 x 是多少时，+x2 在实数范围内有意义？2. 若+有意义，求的值 .3.( 北京市海淀区 )已知实数x， y 满足，求代数式的值 .4. 已知，求 x+y 的值 .综合探究1.( 福建省南安市 )观察分析下列数据，寻找规律：0，

11、3， 2，3，那么第10 个数据应是 _.2.( 江苏省苏州市 ) 等式中的括号应填入_.3先化简再求值：当a=9 时，求 a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+(1-a)=1 ；乙的解答为：原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_ 4.若时，试化简.5在实数范围内分解下列因式:(1)；(2).答案与解析基础达标一、二、2.4.6.7.8.9.(1)；(2)6 ； (3)-6三、1. 解： (1)由 a+1 0， 得 a -1字母 a 的取值范围是大于或等于-1 的实数。(2) 0，得 1-2a 0，即 a字母 a 的取值范围是小于的实数。(3)因