中南大学线性代数试卷

1、考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设为四阶方阵，其中为的第个列向量,令，则 。2、设为三阶方阵，为的伴随矩阵，且，则 。3、设，且，则 。 4、若阶方阵有特征值，则必有特征值 。 5、若二次型经正交变换化为，则 。二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是阶方阵，则的必要条件是（ ）。（a）中两行（列）元素对应成比例； （b）中有一行元素全为零； （c）任一行元素为其余行的线性组合； （d）必有一行元素为其余行的线性组合。2、设是阶对称阵，是阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（）（a）； （b）； （c）； （d）。3、设向量组当（ ）时，向量组线性相

2、关。（a）5（b）4（c）3（d）24、设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解向量， 为任意常数，则非齐次线性方程组的通解为（ ）。（a） ； （b） ； （c）； （d）。5、设方阵是正定矩阵，则必有（ ）。 （a）； （b）； （c）； （d）。三、（本题8分） 计算行列式 ，其中。四、（本题12分） 设，且，求矩阵及， 其中为的伴随矩阵，为单位矩阵。五、（本题14分） 设向量组不能由向量组线性表示。 （1）求向量组的一个极大无关组； （2）求的值； （3）将向量用线性表示。六、（本题14分） 设齐次线性方程组（）为，已知齐次线性方程组（）的通解为。（1）求方程组（）的基础解系；（

3、2）问方程组（）和（）是否有非零公共解？若有，则求出所有非零公共解，若没有，则说明理由。七、（本题14分） 设矩阵，（1）已知的一个特征值为 求； （2）求方阵，使为对角阵。八、（本题8分） 试证明：阶矩阵的最大特征值为，其中。参考答案一、填空题（本题15分，每题3分） 1、0； 2、； 3、4； 4、； 5、1。二、选择题（本题15分，每题3分） 1、d； 2、b； 3、a； 4、c； 5、b.三、（本题8分） 解：从第一行开始，每行乘后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：原式=。四、（本题12分）解：由，得：，可逆，故；由于，。五、（本题14分） 解：（1） 令，则线性无关， 故是向量组的

4、一个极大无关组；（2）由于4个3维向量 线性相关，若线性无关，则可由线性表示，与题设矛盾；于是线性相关，从而。（3）令，。六、（本题14分）解：（1） ，所以方程组（）的基础解系为：；（2）设，即，故上述方程组的解为，于是方程组（）和（）所有非零公共解为：。七、（本题14分）解：（1），将代人上式，得；（2）由（1）得，显然为实对称阵，而令，显然也是实对称阵，是单位阵，由，得的特征值，属于对应的特征向量为，单位化：，属于对应的特征向量为， 单位化：，取，则有。八、（本题8分）证明：由 得的特征值，故的最大特征值是。考试试卷2闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、若n阶

5、行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为 。2、若a为4阶矩阵，且=，则= 。3、设a=，且r（a）=3，则k= 。 4、已知向量,=（1,2,3），=（1，），设a=，则a= 。 5、设a为n阶方阵，为a的伴随矩阵，e为n阶单位阵，若a有特征值必有特征值 。二、选择题（本题15分，每题3分）1、设a，b,c为n阶方阵，e为n阶单位阵，且abc=e，则下列各式中（ ）不成立。 （a） cab=e (b) (c) bca=e (d)2、设a,b均为n阶非零矩阵，且ab=o，则它们的秩满足（ ）。 （a）必有一个等于零 （b）都小于n (c) 一个小于n，一个等于n （d）都等于n3、下列

6、命题中正确的是（ ）（a）在线性相关的向量组中，去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关（b）在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关（c）任何n+k个n维向量（k）必然线性相关（d）若只有全为零时，等式才成立，且线性无关，则线性无关4、设，则=（ ）时，有为的基 （a） （b） （c） （d）5、设二次型的矩阵为，且此二次型的正惯性指数为3，则（ ）（a） k8 ( b) k7 (c) k6 (d) k5三、（10分）计算n阶行列式,并求该行列式展开后的正项总数。四、（10分） 设=,且，求矩阵，其中的伴随矩阵，为单位矩阵。五、（本题14分） 设有向量组 ，(1)求该向量

7、组的秩；(2)求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。六、（本题14分） 设向量，（1）求3阶方阵的特征值与特征向量；（2）求一正交矩阵为对角矩阵。七、（本题14分）设矩阵，（1）问；（2）当a是正交矩阵时，求方程组的解。八、（本题8分） 证明：线性无关的充要条件是 其中。参考答案一、 填空：（每小题3分，共计15分）1、0 ； 2、； 3、 -3；4、 ； 5、。二、选择：（每小题3分，共计15分）1、d 2、b 3、c 4、d 5、a三、（本题10分）（练习册p117）解： ， 设展开式中正、负项总数分别为则，于是正项总数为。四、（本题10分）解：由，得：,

8、 可逆，故 ； 由于 。五、（本题14分）解：将矩阵化为最简形阶梯形矩阵 ， （1）； （2）为所求的一个最大线性无关组，且。六、（本题14分）解： a=，（1） a的特征值为0,0,3； 由ax=0得对应的0的特征向量为k,k,l为不全为零的任意常数，由得对应3的特征向量为c，c为任意非零常数。（2） 将正交化，得，再单位化，得，将单位化得，为所求正交阵。使 七、（本题14分）解：（1）若a是正交矩阵，则a的列向量两两正交，故有解得时a是正交矩阵。 （2） 八、（本题8分） 证：记矩阵 由于，从而得线性无关。考试试卷3闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设，矩阵，

9、则 。2、设为阶矩阵，如果有阶可逆矩阵，使 成立，则称与相似。3、元非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 。 4、已知二次型，则二次型对应的矩阵。 5、设4阶方阵满足：，(其中是单位矩阵)，则的伴随矩阵必有一个特征值为 。二、选择题（本题15分，每题3分）1、已知4阶方阵的伴随矩阵为，且的行列式，则（ ）。 （a） 81 (b) 27 (c) 12 (d) 9 2、设、都是阶方阵，且与有相同的特征值，并且、都有个线性无关的特征向量，则（ ）。 （a） 与相似 (b) (c) ，但 (d) 与不一定相似，但3、设阶方阵为正定矩阵，下面结论不正确的是（ ）（a）可逆 （b）也是正定矩阵（c）

10、（d）的所有元素全为正4、若阶实方阵，为阶单位矩阵，则（ ）。（a） （b） （c） （d）无法比较与的大小5、设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。（a） ( b) (c) (d) 三、（10分）计算阶行列式，的主对角线上的元素都为，其余位置元素都为，且。四、（10分） 设3阶矩阵、满足关系：，且，求矩阵。五、（10分） 设方阵满足（其中是单位矩阵），求。六、（12分） 已知向量组： ，(1)求向量组的秩；(2)求向量组的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表出。七、（14分）设矩阵与矩阵相似，（1）求；（2）求正交矩阵，使。八、（14分） 设

11、有线性方程组为（1）证明：若两两不等，则此方程组无解；（2）设，且已知是该方程组的两个解，其中，写出此方程组的通解。参考答案二、 填空：（每小题3分，共计15分）1、； 2、； 3、；4、 ； 5、。二、选择：（每小题3分，共计15分）1、b 2、a 3、d 4、c 5、c三、（本题10分）（见教材p44习题第5题）解：后面列都加到第1列，得四、（本题10分）解：。五、（本题10分）(见练习册p118第五大题第1小题和典型题解p173例7)解： ，或。六、（本题12分）(见教材p89习题3第2题，或典型题解p178例6)解：将矩阵化为最简形阶梯形矩阵 ， （1）； （2）为所求的一个最大线性无关组，且，。七、（本题14分）(见典型题解p190例14)八、（本题14分）(见