【教案】高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章1.1.1空间向量及其线性运算-1教学设计

1、课程基本信息课题空间向量及其线性运算 教科书书名：普通高中教科书 数学选择性必修第一册(A版) 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 4 月教学目标教学目标：（1）经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念（2）经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程（3）掌握空间向量的线性运算和简单应用教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用教学难点：空间向量的线性运算及其应用教学过程时间教学环节主要师生活动师生问答、共同探究问题1 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？追问(1)：平面向量是什么的？你能类比平面向量给出

2、空间向量的概念吗？追问（2）：如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？追问（3）：从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念. 你还记得吗？有哪些？你能把这些概念推广到空间向量中吗？问题2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量的线性运算，得出空间向量的线性运算及运算律吗？追问（1）：平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？答：平面向量有加法、减法和数乘运算. 先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律；追问（2）：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义或法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加、减和数乘运算的定

3、义或法则吗？追问（3）：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间线性运算的运算律吗？由于任意两个空间向量都可以通过平移，转化为同一平面内的向量，因此，我们猜想，空间向量的线性运算也具有和平面向量线性运算相同的运算律.数学结论是需要严格证明的, 由合情推理、猜想得到的结论不一定正确，需要严格证明.追问(4)：空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？除空间向量加法的结合律以外，其他运算律都可以转化为平面向量线性运算的运算律进行证明.结合律涉及三个向量，它们可能不在同一个平面内.追问（5）如何证明空间向量的加法结合律呢？如图，可将空间中任意三个不共面的向量，通过平移使它们起点

4、重合，分别平移表示表示这三个向量的线段，构成一个平行六面体. 我们借助这个平行六面体来证明加法的结合律.一般地，对于三个不共面的向量a，b， c，以任意点O为起点， a，b， c为邻边作平行六面体，则a，b， c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 问题3 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中相应的问题呢？由平面向量的线性运算，我们研究了平面向量的共线及线性表示等问题.追问（1）：你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？追问（2）：任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？答：任意两个空间向

5、量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面. 追问（3）：你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？问题4 如右图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使.求证： E，F，G，H 四点共面.追问(1):如何证明E，F，G，H 四点共面？答：可以通过证明E，F，G，H这四点构成的三个向量，如共面，来证明这四点共面.追问(2):如何证明这三个向量共面？答：根据向量共面的充要条件，用表示即可.追问(3):如何实现上述表示？答：可以根据三角形法则，把分别用等向量来表示；再利用已知条件，将它们转化用

6、表示的形式.而由已知平行四边形ABCD，得到，从而可以得到的关系，进一步得到的关系，最终用用表示.思路小结：选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系是解决立体几何问题的常用方法.问题5 回顾本节课的探究过程，你都学到了什么？1. 从知识层面，我们学习了空间向量的有关概念和线性运算.包括空间向量的概念，表示法以及零向量、单位向量、共线向量等相关概念；我们把平面向量的线性运算推广空间向量，研究了空间向量的加法、减法、数乘运算的定义、运算法则以及运算律；通过空间向量的线性运算，我们有了直线的方向向量，以及空间中证明向量或点共面的方法.2. 从本节课的研究方法上来看，我们始终类比平面向量的相关内容，在空间中进行推广，同时比较它与平面向量的共性和差异，并对差异之处进行了严格的证明，最终，在平面向量的相关内容推广过程中，既保持了原结论的延续性，又保证了新结论的严谨性.原有内容的融入到新内容中，这种兼