天津市静海区第六中学2021届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）

1、天津市静海区第六中学2021届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一选择题(每题5分，共45分)1. 设集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合的并集运算，求得可得，再集合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，可得，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合交集与并集的概念及运算，其中解答中熟记集合的交集和并集的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.2. 设xR，则“|x2|0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进

2、行判断即可【详解】解：由“|x2|1”得1x3，由x2+x20得x1或x2，即“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件，故选A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断3. 设，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】一是借助于中间值1，二是化为同底数的对数比较可得【详解】，即故选：B.【点睛】本题考查对数和幂的比较大小，比较大小时，同是对数的能化为同底数的化为同底数，同是幂的化为同底数或者化为同指数，不能转化的借助中间值如1，0等等比较4. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. B. C

3、. D. 【答案】D【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则，抛物线的准线是，因此，即，由联立解得，所以双曲线方程为故选D考点：双曲线的标准方程5. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.【点

4、睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可.【详解】函数的定义域为，则函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，当时，排除，当时，排除，故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的

5、图象.7. 已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，.则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，从而可分别以直线AC，BD为x，y轴，建立平面直角坐标系，并根据条件可求出B，C，D三点的坐标，进而根据，可求出E，F点的坐标，从而得出向量，的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可【详解】根据题意，分别以直线AC，BD为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，根据菱形ABCD的边长为2，可求出以下几点的坐标：，故选：A【点睛】本题考查了通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，中点坐标和定比分点坐标公式，向量数量积的

6、坐标运算，考查了计算能力，属于中档题8. 已知，若2是与等比中项，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据2是与的等比中项可得，的等量关系，然后直接利用基本不等式可求的最小值即可【详解】2是与的等比中项，即，结合可得，当且仅当，即，时取等号，即的最小值为，故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及等比中项的概念，同时考查了计算能力，属于中档题.9. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知，函数的图象与直线有三个交点，利用直线与曲线和曲线相切时，求出对应的实数的值，然后利用数形

7、结合思想可求得实数的取值范围.【详解】作出函数的图象与直线的图象如下图所示：当直线与曲线相切时，由，可得，解得，由图象可知，切点横坐标为负数，则，则；当直线与曲线相切时，由得，解得.当直线过原点时，.由图象可知，当直线与曲线有三个交点时，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两曲线的交点个数，同时要注意直线与曲线相切的临界位置的分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二填空题(每题5分，共30分)10. 已知复数z满足(1i)z1i(i是虚数单位)，则|z|_.【答案】【解析】z，|z|.11. 的展开式中的系数为_（用数字作答）【答案】60【解析】

8、的展开式的通项公式为令得的系数为故答案为6012. 如图是一样本的频率分布直方图若样本容量为100，则样本数据在15,20)内的频数是_【答案】30【解析】由频率分布直方图的性质可知：样本数据在区间内的频率是，故样本数据在区间内的频数是，应填答案13. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为_【答案】【解析】分析】先根据三棱柱的体积求圆柱的底面半径与母线长，再根据圆柱的侧面积求结果.【详解】设圆柱的底面半径为母线为，则底面正三角形边长为由三棱柱的体积得，因此圆柱的侧面积为【点睛】若所给定的几何体是可

9、直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解关键是求出高.14. 已知直线恒过定点，且以为圆心，5为半径的圆与直线相交于两点，则弦的长为_.【答案】【解析】分析：求出直线过的定点坐标C，以及圆心到直线的距离d，根据直线和圆相交的弦长公式进行计算即可详解：由得，即直线恒过定点C（1，2），以C为圆心，5为半径的圆的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=25，圆心到直线的距离d=，则AB的长度为|AB|=2=2=2，故答案为2点睛：当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.15. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球

10、比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.则事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会的概率为_，设随机变量为“选出的4人中种子选手的人数”，则的数学期望为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用组合知识求出基本事件总数及事件发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型的概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望【详解】解：记“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一

11、个协会”为事件，由已知，有，事件发生的概率为；随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，2，3，随机变量的分布列为： 1 2 3 4 随机变量数学期望故答案为：；【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力三解答题(共5题，共75分)16. 在中，内角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（1）根据正弦定理得bc.结合条件得a2c，再利用余弦定理求cos A的值；（2）先根据同角三角函数公式得sin A，再根据二倍角公式得cos 2A，sin 2

12、A，最后根据两角差余弦公式求cos的值试题解析：(1)在ABC中，由，及sin Bsin C，可得bc.由acb，得a2c.所以cos A.(2)在ABC中，由cos A，可得sin A.于是cos 2A2cos2A1，sin 2A2sin Acos A.所以coscos 2Acossin 2Asin.17. 如图:已知矩形所在平面与底面垂直,直角梯形中/,，,.（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）在边上找一点，使所成角的余弦值为,并求线段的长.【答案】（）见解析；（） ；（）的长度为【解析】试题分析：（）建立直角坐标系易得,则，且，则平面；（）可求得平面法向量，平面法向量，故，；（）设为上

13、一点，则，则有，则,解得.从而线段的长度为试题解析：（）证明矩形所在平面与底面垂直，则底面/,，则，则知,则，且，则平面（）设平面法向量，设,则求得.设二面角的平面角为，设平面法向量，则，由.得，.（）设为上一点，则，则有，则,解得.，则线段的长度为.考点：立体几何的综合应用18. 设数列的前项和为，为等比数列，且，（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由已知利用递推公式，可得，代入分别可求数列的首项，公比，从而可求.（2）由（1）可得，利用乘“公比”错位相减法求和【详解】解：(1)当时，当时，满足上式，故的通项式为设的公比为，由已知条

14、件知，所以，即(2)，两式相减得：【点睛】本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题.19. 已知过点的椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的任意一点，且，成等差数列.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线：交椭圆于，两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出、的关系，再根据椭圆过点，求出、的值，即可写出椭圆的标准方程；（2）设，根据题意知，；联立方程消去，由方程的根与系数关系求得、，由点在以为直径的圆外，得为锐角，；由此列不等式求出的取值范围【详解】解：（1），成等差数列，由椭圆定义得，

15、；又椭圆过点，；，解得，；椭圆的标准方程为；（2）设，联立方程，消去得：；依题意直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，由方程的根与系数关系可得，；可得；由，解得，；由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；由，；即，整理得，解得：或，实数的取值范围是或【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形20. 已知函数（，为自然对数的底数）.（1）若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2；（2）当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递减区间为，单调递增区间为；（3）【解析】【分析】（1）由，得出，利用，解得；（2），令，解得：或0， 对分类讨论，利用导数研究出函数的单调性；（3）由于在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，即当时，设，则，构造函数，通过对分类讨论，利用导数研究函数的单调性，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）解：由于，因为函数在点处的切线的斜率为，所以，解得：.（2）解：依题意知，令，解得：或0，当时，令，得或，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，令，