28.2_解直角三角形应用举例(1)

1、新人教版九年级数学新人教版九年级数学( (下册下册) )第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系: A B 90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:abctanAabsinAaccosAbc(必有一边必有一边)ABC3、如图，、如图，RtABC中，中，C=90，（1

2、）若）若A=30，BC=3，则，则AC=（2）若）若B=60，AC=3，则，则BC=（3）若）若A=，AC=3，则，则BC=（4）若）若A=，BC=m，则，则AC=3 333tantanm（一）仰角和俯角（一）仰角和俯角铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行测量时，在进行测量时，Zxxk从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角. .例例1： 2003年年10月月15日日“神舟神舟”5号载人航天飞船发射成功当飞号载人航天飞船发射成功当飞船完成变轨后，就在离地球

3、表面船完成变轨后，就在离地球表面343km的圆形轨道上运行如图，的圆形轨道上运行如图，当飞船运行到地球表面上当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？点的距离是多少？（地球半径约为（地球半径约为6 400km， 取取3.142，结果保留整数）结果保留整数） 分析分析：从飞船上能最远直接从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点线与地球相切时的切点OQFP如图，如图， O表示地球，点表示地球，点F是飞船的位置，

4、是飞船的位置，FQ是是 O的切线，切点的切线，切点Q是从飞船观测是从飞船观测地球时的最远点地球时的最远点PQ 的长就是地面的长就是地面上上P、Q两点间的距离，为计算两点间的距离，为计算PQ 的的长需先求出长需先求出POQ（即（即a）解：在图中，解：在图中，FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直角三角形是直角三角形18a PQ的长为的长为6 .200964014. 3640018018 当飞船在当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约点约2009.6kmOQFPCOS a = =OQOF64006400+3500.948例例2: 热气球的探

5、测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为仰角为30，看这栋高楼底部的俯，看这栋高楼底部的俯 角为角为60，热气球与，热气球与高楼的水平距离为高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数），这栋高楼有多高（结果取整数）分析分析：我们知道，在视线与水平线所：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，在图中，a=30,=60 RtRtABCABC中，中，a a =30=30，ADAD120120，所以利用解直角三角形的知识求出

6、所以利用解直角三角形的知识求出BDBD；类似地可以求出；类似地可以求出CDCD，进而求出，进而求出BCBCABCD仰角仰角水平线水平线俯角俯角解解：如图，：如图，a = 30,= 60， AD120ADCDADBDatan,tan30tan120tanaADBD3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC1 .2773160答：这栋楼高约为答：这栋楼高约为277.1mABCD1. 建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB，由距，由距BC40m的的D处观察旗杆顶部处观察旗杆顶部A的仰角的仰角50，观察底部，观察底部B的的仰角为仰角为45，求旗杆的高度（

7、精确到，求旗杆的高度（精确到0.1m）ABCD40m5445ABCD40m5045解：在等腰三角形解：在等腰三角形BCD中中ACD=90BC=DC=40m在在RtACD中中tanACADCDCtan54401.38 4055.2所以所以AB=ACBC=55.240=15.2答：棋杆的高度为答：棋杆的高度为15.2m.AC=DCtanADC2. 如图，沿如图，沿AC方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从一边同时施工，从AC上的一点上的一点B取取ABD = 140，BD = 520m，D=50，那么开挖点，那么开挖点E离离D多远正好能使

8、多远正好能使A，C，E成一直线（精成一直线（精确到确到0.1m）50140520mABCEDBED=ABDD=90BDE 是是RTcosDEBDEBDcos505200.64 520332.8答：开挖点答：开挖点E离离点点D 332.8m正好能使正好能使A，C，E成一直线成一直线.解：要使解：要使A、C、E在同一直线上，在同一直线上，则则 ABD是是 BDE 的一个外角的一个外角 DE=COSBDEBD总结总结1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数

9、学问题；才能恰当地把实际问题转化为数学问题； 2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角 形；形；3、选择合适三角函数值，使计算尽可能简单；、选择合适三角函数值，使计算尽可能简单；4、根据题目中的对精确度的要求保留，并注、根据题目中的对精确度的要求保留，并注 明单位。明单位。 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角. 如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30 点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南（二）方位角（二）方位角例例3

10、如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距离方向，距离灯塔灯塔80海里的海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这时，海轮所在处，这时，海轮所在的的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远（结果取整数）？有多远（结果取整数）？解：如图解：如图 ，在，在RtAPC中，中，PCPAcos（9065）80cos25800.991=72.505在在RtBPC中，中，B34PBPCB sin130559. 0505.7234sin505.72sinBPCPB当海轮到达位于灯塔当海轮到

11、达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向时，它距离灯塔方向时，它距离灯塔P大约大约130海里海里6534PBCA 海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围内有暗礁，海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏在北偏东东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在北偏东在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？航行，有没有触礁的危险？BA ADF601230练习练习 2 BADF解：由点解：由点A作作BD的垂线的垂线交

12、交BD的延长线于点的延长线于点F，垂足为，垂足为F，AFD=90由题意图示可知由题意图示可知DAF=30设设DF= x , AD=2x则在则在RtADF中，根据勾股定理中，根据勾股定理222223AFADDFxxx在在RtABF中，中，tanAFABFBF3tan3012xx解得解得x=666 310.4AFx10.4 8没有触礁危险没有触礁危险3060修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度坡的倾斜程度. 坡面的铅垂高度（坡面的铅垂高度（h）和水平长度（）和水平长度（l）的比叫做坡）的比叫做坡面面（或（或）. 记作记作i , 即

13、即 i = .坡度坡度通常写成通常写成1 m的形式，如的形式，如 i=1 6.坡面与坡面与 水平面水平面的夹角叫做坡角，记作的夹角叫做坡角，记作a，有，有. 显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡. lhlh（三）坡度（三）坡度例例4. 如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中（图中i=1:3是指坡是指坡面的铅直高度面的铅直高度DE与水平宽度与水平宽度CE的比），根据图中数据求：的比），根据图中数据求：（1）坡角）坡角a和和;（2）坝顶宽）坝顶宽AD和斜坡和斜坡AB的长（精确到的长（精确到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=

14、1:1.5解解：（：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90tan11.5AFiBF ：33.7 在在RtCDE中，中，CED=90tan1:3DEiCE 18.4(1)一段坡面的坡角为60，则坡度i=_；(2)32 3,(),()i已知一个坡面上，铅垂高度为，坡面长为则坡度 坡角 为 。30练习练习 3 答案答案: : 米米)2003200( 合作与探究合作与探究（3 3）如图，直升飞机在长如图，直升飞机在长400米的跨江大桥米的跨江大桥AB的上方的上方P点处，且点处，且A、B、O三点在一条直线上，三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30和和45 ，求飞机的高度，求飞机的高度PO .ABO3045400米米P1 1数形结合思想数形结合思想. .方法：方法：把数学问题把数学问题转化成解直角三角形转化成解直角三角形问题，问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，助线，构造出直角三角形构造出直角三角形. . 思想与方法思想与方法2 2方程思想方程思想. .3 3转化（化归）思想转化（化归）思想. .课堂小结课堂小结 1、弄清俯角、仰角、坡度、坡角、水平距离、