3.2.1 复数代数形式的四则运算

1、3.2 复数代数形式的四则复数代数形式的四则运算运算3.2.1 复数代数形式的加减运算复数代数形式的加减运算及其几何意义及其几何意义对对虚数单位虚数单位i 的规定的规定 练习练习. 根据对虚数单位根据对虚数单位 i 的规定把下列运算的结果都化的规定把下列运算的结果都化 为为 a+bi（a、b R）的形式）的形式. 3(2+i)= ； (3-i)i= ；i = ； -5= ；0= ；2-i= .6+3i1+3i0+i-5+0i0+0i2+(-1)i （1）； （2） i 1.1.复数加、减法的复数加、减法的运算运算法则：法则：已知两复数已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是

2、实数）是实数） 即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是就是 实部与实部实部与实部, ,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).(1)加法法则加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则减法法则：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )(c+di i) = (ac) + (bd)i i例例1.1.计算计算 )43 ()2()65 (iii解解: :iiiii11)416()325()43()2()65(练习、计算练习、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (13i )+(2+5i) +(-4+9i) (3

3、) 已知（已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数求实数a a、b b的值。的值。 我们知道我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则两个向量的和满足平行四边形法则, 复复数可以表示平面上的向量，数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？加法是否具有一致性呢？xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z z1 1+ z+ z2 2=OZ=OZ1 1 +OZ+OZ2 2 = OZ= OZ符合向量加法符合向量加法的平行四边形的平行四边形法则法则.2.2.复数复数加法加法运算的几何意义运算的几何意义? ?xoyZ1(a,b)Z2(

4、c,d)复数复数z2z1向量向量Z1Z2符合向量符合向量减法的三减法的三角形法则角形法则.3.3.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义? ?表示复平面上两点表示复平面上两点Z Z1 1 ,Z,Z2 2的距离的距离(1)|z(1)|z(1+2i)|(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|已知复数已知复数z z对应点对应点A,A,说明下列各式所表示的几何意义说明下列各式所表示的几何意义. .点点A A到点到点(1,2)(1,2)的距离的距离点点A A到点到点( (1, 1, 2)2)的距离的距离(3)|z(3)|z1|1|(4)|z+2i|(4)|z+2i|点点A

5、 A到点到点(1,0)(1,0)的距离的距离点点A A到点到点(0, (0, 2)2)的距离的距离练习练习: :已知复数已知复数m=2m=23i3i, ,若复数若复数z z满足满足不等式不等式| |z zm m|=1,|=1,则则z z所对应的点的集所对应的点的集合是什么图形合是什么图形? ?以点以点(2, (2, 3)3)为圆心为圆心, ,1 1为半径的圆上为半径的圆上1 1、|z|z1 1|= |z|= |z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是2 2、| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四边形平行四边形OABCO

6、ABC是是3 3、 |z|z1 1|= |z|= |z2 2| |，| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是z1z2z1+z2oz2-z1ABC菱形菱形矩形矩形正方形正方形4、复数加减法的几何意义、复数加减法的几何意义练习练习: :,2设设z z1 1,z,z2 2C, |zC, |z1 1|= |z|= |z2 2|=1|=1 |z |z2 2+z+z1 1|= |= 求求|z|z2 2-z-z1 1| |:2答案3.2 复数代数形式的四则复数代数形式的四则运算运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算

7、复数代数形式的乘除运算已知两复数已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）是实数） 即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是就是 实部与实部实部与实部, ,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).(1)加法法则加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则减法法则：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )(c+di i) = (ac) + (bd)i i1.1.复数的乘法法则：复数的乘法法则：2acadibcibdi)()acbdbcad i（说明说明:(1):(1)两个复数的积仍然是一个复数；

8、两个复数的积仍然是一个复数； (2) (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在，只是在运算过程中把运算过程中把 换成换成1 1，然后实、虚部分别合并，然后实、虚部分别合并. .i2(3)(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何即对于任何z1 , z2 ,z3 C,有有,()(),().zzzzzzzzzzz zzz zz z12211231231231213()()abi cdi例例1.1.计算计算(2i i )(32i i)(1+ +3i i) 复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式

9、的乘法是类似的. . 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, ,类似地类似地, ,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算. .)(1biabia）（例例2 2：计算：计算222ibabiabia22ba 思考：思考：在复数集在复数集C内，你能将内，你能将 分解因式吗？分解因式吗？22yx 2.共轭复数共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数叫做互为共轭复数.复数复数z=a+bi的共轭复数记作的共轭复数记作, zzabi记思考：设思考：设z= =a

10、+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么zzzzzzzzzz12121212, 另外不难证明另外不难证明:zz2a2bizz22ab22 ()abi（ ）222babia222()() 2a biababi22 22aabib i3 (12 )(34 )( 2)iii （ ）(112 )( 2)20 15iii 222ababi3.3.复数的除法法则复数的除法法则 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式, ,再把分子与分母都再把分子与分母都乘以分母的共轭复数乘以分母的共轭复数, ,化简后写成代数形式化简后写成代数形式( (分母分母实数化实数化).).即即分母实数化分母实数化d

11、icbiadicbia)()()()(dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd例例4.4.计算计算)43()21 (ii解解:iiii4321)43()21 ()43)(43()43)(21 (iiii2510543468322iiii5251先写成分式形式先写成分式形式 化简成代数形式就得结果化简成代数形式就得结果. 然后然后分母实数化分母实数化即可运算即可运算.(一般分子分母同时乘一般分子分母同时乘以分母的共轭复数以分母的共轭复数)1212(1)(2)(3)(4)ZZZZZZ下列命题中正确的是如果是实数，则、互为共轭复数纯虚

12、数 的共轭复数是。两个纯虚数的差还是纯虚数两个虚数的差还是虚数。(2)(2)1 1、1212121212121212( )0,( )0,()0,()0,AZZZZBZZZZCZZZZDZZZZ下列命题中的真命题为：若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。D D2 2、（1 1）已知已知求求iziz41,232111212122,zzzzzzzz练练 习习（2 2）已知）已知 求求iziz2,1214211122, ()zzzzz（3 3）2)1 (i;2iii11i1; iii11; i. i如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到事实上可以把它推广到nZ.）设设 ,则有则有:i2321 . 01 ; 12_23 事实上事实上, 与与 统称为统称为1的立方虚根的立方虚根,而且对于而且对于 ,也也有类似于上面的三个等式有类似于上面的三个等式._ _ .11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii 4.一些常用的计算结果一些常用的计算结果拓拓 展展求满足下列条件的复数求满足下列条件的复数z:z:(1)z+(3(1)z+(34i)=1;4i)=1;(2)(3+i)z=4+2i(2)(3+i)z=4+2i 实数集实数集R R中正整数指数的运算律中正整数指数