【二轮复习材料】与圆相关的解析几何综合问题

1、专题讲义 与圆相关的解析几何综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数

2、学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020湖南模拟）已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交线段于点（1）求点的轨迹方程（2）设点，是的轨迹上异于顶点的任意两点，以为直径的圆过点求证直线过定点，并求出该定点的坐标【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出，即可（2）当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得的值，则直线过直线恒过点【解答】解：（1）点 在线段的垂直平分线上，又，的轨迹是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为 的椭圆设曲线的方

3、程为，点的轨迹的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，则，直线的方程为，当直线斜率存在时，设，则，整理得：，由，则，即，则，整理得：，解得：（舍去）或，则直线的方程，则直线恒过点，当直线的斜率不存在时，则，直线的方程为，综上可知：直线过点【例2】（2020南昌一模）已知圆，圆（）证明圆与圆有公共点，并求公共点的轨迹的方程；（）已知点，过点斜率为的直线与中轨迹相交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在实数使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由【分析】（）利用圆心距与两圆半径和与差的大小关系，即可判断圆与圆有公共点，再利用定义法得到点的轨迹是以，为焦点的椭圆，从而求出公共点的轨迹

4、的方程；（）过点且斜率为的直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入，整理得：，所以当 时，即时，为定值【解答】解：（）因为，所以，因为圆的半径为，圆的半径为，又因为，所以，即，所以圆与圆有公共点，设两圆公共点为点，所以，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以，所以，所以椭圆方程为；（）过点且斜率为的直线方程为，设，联立方程，消去得：，将式代入整理得：，当 时，即时，为定值，故存在实数，使得为定值【例3】（2020常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以为圆心，半径为20米的圆形湖心洲该湖心洲的所对两岸近似两条平行线，且两平行线之间的距离为70米公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为（如图，在右侧）

5、其中，与圆相切于点，米设，满足（1）试将木栈道的总长表示成关于的函数，并指出其定义域；（2）求木栈道总长的最短长度【分析】（1）试将木栈道的总长表示成关于的函数，由且求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道总长的最短长度【解答】解：（1）过分别向和作垂线，垂足为，由题意可得，则在直角三角形中，又，且，令，则定义域为；（2）由，得，令，得，当时，故木栈道总长的最短长度为米【变式训练】1.（2020珠海一模）设为圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段上的一点，且满足（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作直线与曲线相交于，两点，设为坐标原点，当的面积最大时，求直线的方程【分析】（1）利

6、用点轨迹以及，表示出的轨迹方程即可；（2）设出过的直线的方程为：，联立直线方程和椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得到所在直线的距离，代入三角形面积公式，利用换元法求得的面积最大时的值，则直线的方程可求【解答】解：（1）设，则，且又根据可得，则，所以，整理可得的轨迹方程为；（2）设过的直线的方程为：，联立整理得，所以，则，点到直线的距离，所以，当且仅当，即时取“”，此时，故直线方程为或2（2020春山西月考）已知直线与圆相交于，两点，为坐标原点（1）当时，求；（2）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用垂径定理直接

7、求解即可；（2）假设存在满足条件的实数，根据已知条件建立关于的方程，由方程解的情况即可得出结论【解答】解：圆的圆心为，半径为2，（1）当时，直线即为，圆心到直线的距离为，；（2）设，由可得，且恒成立，若存在实数，使得，则，即，亦即，无解，故不存在实数，使得专题强化1（2020全国卷模拟）动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为4（1）若动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；（2）在曲线的对称轴上是否存在点，使过点的直线与曲线的交点、满足为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由【分析】（1）设，过作，交于点，则为的中点，整理可得；（2）假设存在满足题意，设，设其方程为，联立，利用根与系数

8、关系表示出，进而表示出即可【解答】解：（1）设，由题意知：，当点不在轴上时，过作，交于点，则为的中点，又，整理可得；当点在轴上时，易知点与点重合，也满足，曲线的方程为，（2）假设存在满足题意，设，根据题意可知直线的斜率必不为0，设其方程为，联立，整理可得，则，当时，上式与无关为定值，所以存在使过点的直线与曲线交于点、满足为定值2（2019秋武汉期末）已知圆，点在圆内，在过点所作的圆的所有弦中，弦长最小值为（1）求实数的值；（2）若点为圆外的动点，过点向圆所作的两条切线始终互相垂直，求点的轨迹方程【分析】（1）直接利用点和圆的位置关系的应用求出的值（2）利用圆的切线和圆的位置关系式的应用求出圆的

9、方程【解答】解：（1）由圆，得到圆心坐标为，点在圆内，所以，解得，由圆的弦的性质可知，点与圆心的连线与弦垂直，即点为弦的中点时，过点的弦长最短 在过点所作的圆的所有弦中，弦长最小值为所以，解得或4，（符合（2）由（1）可知，或时，因为过点向圆作的两条切线总互相垂直，所以由圆的切线的性质可知两条切线和垂直于切线的两条半径构成的四边形为正方形，且边长为，对角线长为，所以，点的轨迹为为圆心，以为半径的圆所以点的轨迹方程为或3（2019全国）已知点，动点满足与的斜率之积等于，记的轨迹为（1）求的方程；（2）设过坐标原点的直线与交于，两点，且四边形的面积为，求的方程【分析】（1）设，运用直线的斜率公式，

10、化简运算可得所求轨迹方程；（2）设直线方程为，代入的方程，求得交点，再由四边形的面积公式，解方程可得斜率，进而得到所求方程【解答】解：（1）设，由题意可得，化为，可得的方程为；（2）当直线的斜率不存在，即直线方程为，可得四边形的面积为，不符题意，舍去；设直线方程为，代入方程，可得，由，关于原点对称，可得四边形的面积为，解得，即有直线的方程为4（2019新课标）已知点，关于坐标原点对称，过点，且与直线相切（1）若在直线上，求的半径；（2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由【分析】（1）由条件知点在线段的中垂线上，设圆的方程为的方程为，然后根据圆与直线相切和圆心到直线的距离，半弦长和半

11、径的关系建立方程组即可；（2）设的坐标为，然后根据条件的到圆心的轨迹方程为，然后根据抛物线的定义即可得到定点【解答】解：过点，且在直线上，点在线段的中垂线上，设的方程为：，则圆心到直线的距离，又，在中，即又与相切，由解得或，的半径为2或6；（2）线段为的一条弦是弦的中点，圆心在线段的中垂线上，设点的坐标为，则，与直线相切，的轨迹是以为焦点为准线的抛物线，当为定值时，则点与点重合，即的坐标为，存在定点使得当运动时，为定值5（20204月份模拟）已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足（1）求动点的轨迹的方程；（2）设，过点的动直线与曲线交于、两点问：直线与的斜率之比是否为定值？若为定值，求出

12、该定值；若不为定值，试说明理由【分析】（1）设，则由，得，代入圆，可得动点的轨迹的方程；（2）设直线为，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线与的斜率之比为定值【解答】解：（1）设，则由，得，代入圆，可得动点的轨迹的方程为；（2）直线与的斜率之比为定值证明如下：设直线为，联立，得则，则6（2020东莞市模拟）在平面直角坐标系中，已知圆，圆心，点在直线上，点满足，点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程（2）过点的直线分别交和圆于点、（自上而下），若、成等差数列，求直线的方程【分析】（1）设，由，得，求出向量的坐标代入，化简得：，所以点的轨迹曲线的方程为：；（2）由、成等差数列，得弦长，

13、对直线的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可求得的值，从而得到直线的方程【解答】解：（1）设，由，得，则，由，得，即，化简得：，所以点的轨迹曲线的方程为：；（2）由、成等差数列，得，所以弦长，当斜率不存在时，直线的方程为：，交点，此时，不符合题意，当斜率存在时，设直线的方程为：，联立方程，消去得：，显然恒成立，由抛物线的定义可知，解得：，直线的方程为7（2020福建二模）已知，点在第一象限，以为直径的圆与轴相切，动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）若曲线在点处的切线的斜率为，直线的斜率为，求满足的点的个数【分析】（1）设，则中点坐标为，由以为直径的圆与轴相切得，化简即可得到曲线的方程；（2）由，得，利用导数的几何意义得到，