三十讲双曲线

1、三十讲双曲线第三十讲 双曲线一、引言：（一）本节的地位：圆锥曲线是中学教学的核心内容，又是学习高等数学的基础知识，所以它是高考的重点内容，在高考试卷中一般会有一道有关圆锥曲线的解答题，并且椭圆、双曲线、抛物线出现的几率大体相当.三十讲双曲线（二）考试大纲要求：通过本节的学习理解双曲线的定义、掌握双曲线的标准方程，知道双曲线的有关几何性质，能利用双曲线的概念、标准方程和几何性质解决相关问题并进一步理解坐标思想. 本节重点：了解双曲线的标准方程及其几何性质、进一步理解坐标法；难点是综合应用概念性质解决问题三十讲双曲线（三）考情分析：与椭圆一样，有关双曲线的题目一般会出一道大题或小题.在选择题或填空

2、题中主要考查对概念的理解和灵活运用、基本量的求解以及几何性质的应用，解答题一般为中档题或难题，往往与函数、导数、不等式、数列等知识综合考查，主要考查推理能力及数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想.高考考查的题目的类型：对概念的考查、基本量及几何性质的考查、求曲线方程、突出几何特征的考查、参数范围问题等.三十讲双曲线二、考点梳理1双曲线第一定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距12,F F12FF2双曲线第二定义：平面内到一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 的点的

3、轨迹叫做双曲线定点叫双曲线焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数叫双曲线离心率(1)e e 三十讲双曲线3双曲线的标准方程与几何性质：22221xyab(0,0)ab22221yxab22221yxab(0,0)ab|,Rxa y|,Rya x(,0),( ,0)aa(0,),(0, )aa12(,0),( ,0)FcF c12(0,),(0, )Fc Fc2axc 2ayc 三十讲双曲线byxa ayxb 10|MFaex,20|MFaex20|MFaey,10|MFaey0 x ,0y (1)ceea222(0,0)cab cacb三十讲双曲线三十讲双曲线 例1 设P是双曲线 上一点，双曲线的

4、一条渐近线方程为 ， 、 分别是双曲线的左、右焦点.若 ， 则 （ ）22219xya320 xy三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念1F2F1| 3PF 2|PF A1 或 5 B 6 C 7 D9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a的值，利用双曲线的定义求出 的值.2|PF三十讲双曲线解： 双曲线 渐近线方程是y= 由已知渐近线为 ， 22219xya3xa320 xy122, | 4aPFPF 21|4 |PFPF 12| 3,| 0PFPF2| 7PF归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法.， 故选 C.三十讲双曲线（二）基本量求解例2 (200

5、9山东卷理)设双曲线 的一条渐近线与抛物线 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). 21yxA. B. 5 C. D.54525解析：双曲线 的一条渐近线为 ,由方程组 21byxayx12222byaxxaby 三十讲双曲线消去y,得 有唯一解,所以= , 所以2( )40ba210bxxa 2ba2221 ( )5cabbeaaa归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有惟一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.，故选D 三十讲双曲线例3（2009全国理）设双曲线 （a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2 +

6、1相切，则该双曲线的离心率等于( )22221xyabA. B.2 C. D. 356解析：设切点 ，则切线的斜率为 .由题意有 , 又 ，00,P xy0|2x xoyx0002yxx2001yx三十讲双曲线解得: . 221,2,15obbxeaa 因此选 C . 三十讲双曲线例4（2009江西）设 和 为双曲线 （ ）的两个焦点,若 ， 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为1F2F22221xyab0,0ab12FF，(0,2 )PbA A B B C C D D32252解析：由 有 则 ,故选 B.3tan623cb2222344()cbca2cea归纳小结：注意等边三角形及双曲

7、线的几何特征，从而得出 ,体现数形结合的思想.3tan623cb3三十讲双曲线（三）求曲线的方程例5（2009北京）已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为 .2222:1(0,0)xyCabab333x （1）求双曲线C的方程；（2）已知直线 与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆 上，求m的值.0 xym225xy分析：（1）由已知条件列出 的关系，求出双曲线C的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值., ,a b c三十讲双曲线解（1）由题意，得 ，解得 ， ，所求双曲线C的方程为 .2333acca1,3ac2222bca2212yx （2

8、）设A、B两点的坐标分别为 ， 线段AB的中点为 . 1122,x yxy00,M xy三十讲双曲线 由 得 . 22120yxxym22220 xmxm0 12000,22xxxm yxmm00,M xy225xy2225mm1m （判别式 ）, 点 在圆 上 ，. 三十讲双曲线三十讲双曲线三十讲双曲线例6 过 的直线交双曲线 于 两点，若 为弦 的中点，求直线 的方程(1,1)M22142xy,A BMABAB分析：求过定点 的直线方程，只需要求出它的斜率为此可设其斜率是 ,利用M为弦 的中点，即可求得 的值，由此写出直线 的方程也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解MkABkAB三十讲双

9、曲线解法一：显然直线 不垂直于 轴，设其斜率是 ，则方程为 ABxk1(1)yk x 由 221421(1)xyyk x 消去 得 y222(1 2)4 (1)2460kxkk xkk 三十讲双曲线设 ，由于M为弦 的中点，1,122(),(,)A x yB xyAB所以 ，所以 1222 (1)1212xxkkk12k 显然，当 时方程的判别式大于零，12k 所以直线 的方程为 ，即 AB11(1)2yx 210 xy 三十讲双曲线又因为 ，所以 解法二：设 ，则1,122(),(,)A x yB xy22112222142142xyxy得 12121212()()2()()0.xxxxyy

10、yy12122,2xxyy12122()xxyy三十讲双曲线若 则 ，由 得 ， 12,xx12yy12122,2xxyy121xx121yy则点 都不在双曲线上，与题设矛盾，所以 AB，12xx所以 121212yykxx所以直线 的方程为 ，即 AB11(1)2yx 210 xy 经检验直线 符合题意，故所求直线为 210 xy 210 xy 三十讲双曲线解法三：设 ，由于 关于点M（1，1）对称，所以 的坐标为 ，则,A x yAB，B22xy，2221,42(2)1.2xyxy2(2- )4消去平方项，得 210 xy 即点 的坐标满足方程，同理点 的坐标也满足方程故直线 的方程为 A

11、BAB210 xy 归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在三十讲双曲线（四）轨迹问题例7 已知点 为双曲线 （b为正常数）上任一点, 为双曲线的右焦点,过 作右准线的垂线,垂足为 ,连接 并延长交 轴于 . 100(,)P xy222218xybb2F1PA2F Ay2P求线段 的中点P的轨迹的方程.1P分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等,本题注意到点是线段的中点，可利用相关点法.2P三十讲双曲线解： 由已知得 ,则直线 的方程为: ,令 得 ,即 ,2083 03FbAby（ ，

12、 ），（， ）2F A03(3 )yyxbb 0 x 09yy20(0,9)Py设 ,则 ,P xy（ ， ）0000 2952xxyyyy即 代入 得 .0025xxyy22002218xybb222241825xybb三十讲双曲线即点P的轨迹的方程为 .22221225xybb()xR归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法.三十讲双曲线例8（2006江西卷） 是双曲线 的右支上一点， 分别是圆 和 上的点，则 的最大值为（ ）P221916xy,M N22(5)4xy22(5)1xy|PMPN 6 B.7 C.8 D.9 （五）突出几何性质的考查三十讲双曲线分析：双曲线的两个

13、焦点 与 恰好是两圆的圆心，欲使 的值最大，当且仅当 最大且 最小，由平面几何性质知，点 在线段 的延长线上，点 是线段 与圆的交点时所求的值最大，此时 1( 5,0)F 2(5,0)F|PMPN|PM|PNM1PF2PFN1212| (2)(1)39.PMPNPFPFPFPF所以选D.三十讲双曲线例9（2009重庆）已知以原点 为中心的双曲线的一条准线方程为 ，离心率 O55x 5e （1）求该双曲线的方程；（2）如图，点 的坐标为 ， 是圆 上的点，点 在双曲线右支上，求 的最小值，并求此时 点的坐标. A(5,0)B22(5)1xyMMAMBM三十讲双曲线分析：（1）比较基础，利用条件可

14、求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将 转化为其它线段，再利用不等式的性质求解.MAMB、解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为 . 设 ，由准线方程为 22221(0,0)xyabab22cab三十讲双曲线 得 ，由 得 . 55x 255ac5e 5ca解得 从而 ， 该双曲线的方程为 .1,5ac2b 2214yx 三十讲双曲线（2）设点D的坐标为 ，则点A、D为双曲线的 焦点， ，所以 .因为B是圆 上的点，( 5,0)| 22MAMDa| 2 |2 |MAMBMBMDBD 22(5)1xy其圆心为 ，半径为1，故 ，从而 .(0, 5)C1101BDCD

15、 2101MAMBBD三十讲双曲线当 在线段CD上时取等号，此时 的最小值为 . 直线CD的方程为 ，因点M在双曲线右支上，故 .,M B|MAMB5yx 0 x 由方程组 解得 .所以M点的坐为 . 22445xyyx 54 24 54 2,33xy54 2 4 54 2(,)33归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想.101三十讲双曲线（六）开放性问题例10 已知双曲线C的中心是原点，右焦点为 ，一条渐近线m: ,设过点A 的直线 的方向量 3 0，( 3 2,0)l(1, )ekv(1)求双曲线C的方程； (2)若过原点的直线 ，且a与l的距离为 ，求

16、K的值；(3)证明：当 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为 ./al622k 620 xy三十讲双曲线分析：前两问是基本问题，比较简单，第三问开放性问题，可根据图形的几何特征求解解:（1）设双曲线C的方程为 ,解得 ，双曲线C的方程为 222(0)xy 3222212xy（2）直线 ，直线 由题意，得 ，解得 :3 20l kxyk:0a kxy2|3 2 |61kk22k 三十讲双曲线（3）证：设过原点且平行于l的直线 则直线l与b的距离 当 时， ， :0b kxy23 2 |,1kdk22k 2102k23 23 26131dk三十讲双曲线又双曲线C的渐近线为 双曲线C的右支在直线b的右下方， 双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于 故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 x20y66归纳小结：由双曲线的渐近线方程 ，可设双曲线的方程为 ，求出参数 的值，使问题