MUSIC方法_清华大学《现代信号处理》讲义_-张贤达

1、 清华大学自动化系清华大学自动化系 张贤达张贤达3.5 MUSIC方法方法 1. 阵列信号处理问题阵列信号处理问题 2. 最优波束形成器最优波束形成器 3. 子空间方法子空间方法 5. 改进的改进的MUSIC方法方法 4. MUSIC方法方法 MUSIC: Multiple Signal Classification1. 阵列信号处理问题阵列信号处理问题 (array signal processing)阵列：多个天线的组合阵列：多个天线的组合每个天线每个天线阵元：天线、传感器阵元：天线、传感器假设：假设：窄带信号窄带信号 ：点信源：点信源( )is n 远场远场(far field)：波前：

2、波前平面波平面波波达方向波达方向 (DOA: direction of arrival)：入射线与法线：入射线与法线 之间的夹角，可以有正有负之间的夹角，可以有正有负i 波长波长2siniid2d (半波长条件半波长条件)：若不满足该条件，会出现：若不满足该条件，会出现DOA估估 计的模糊计的模糊信号信号 的方向向量，的方向向量，(阵列响应阵列响应)向量：向量：(1)()1,iiTjj mieea( )is n12121(1)(1)(1)( )(), ()111 pppjjjj mj mj meeeeeeAaa方向矩阵方向矩阵Vandermonde矩矩阵阵满列秩满列秩12p( )is n( )

3、ijis n e(1)( )ij mis n ep个信号个信号信号模型信号模型1( )() ( )( ), 1,pkkiikixnas nenkm1( )( ),( )Tmnx nxnx阵元阵元k上的观测数据上的观测数据1( )( ),( )Tmne nene1( )( ),( )Tpns nsns1()( )(), ()pm pAaa阵列信号处理的数学模型：阵列信号处理的数学模型：( )( ) ( )( )nnnxAse阵列信号处理的问题：阵列信号处理的问题：已知数据向量已知数据向量 ，求空，求空 间参数间参数(1), ()Nxx1,p波达方向波达方向N个快拍个快拍2. 最优波束形成器最优波

4、束形成器*1( )( )miiiz nw x nDOA估计：波束形成器估计：波束形成器1,mww设计一个滤波器设计一个滤波器 抽头抽头(权系数权系数)，加权求和加权求和输出信号输出信号 只包含只包含 期望信号期望信号 拒绝其他信号拒绝其他信号 干扰信号干扰信号( )z n( )dxn211( )Nnz nN最小输出能量最小输出能量(MOE: minimum output energy)准则：准则：*1( )( ), ( )( )mHiiiz nnnw x nw xw xmin22111111( )( )( )( )NNNHHHnnnz nnnnNNNw xwxxw则则211min( )minN

5、Hxxnz nNw R w其中其中11( )( )NHxxnnnNRxx期望信号期望信号211lim min( )minNHxxNnz nNw R w(波束形成条件波束形成条件)()1()0, HkHiikw aw a1,( )( ) ( )( )()( )() ( )( )Pkkiiii knnnsns nnxAseaae干扰信号干扰信号加性噪声加性噪声2212222221,1( )lim( )( )( )( )()( )()NHHNnpHHkkiiii kEz nz nEnnNEsnEs nwxxww aw aw(干扰拒绝条件，零点形成条件干扰拒绝条件，零点形成条件)则则2222( )(

6、)kEz nEsnw在在 约束条件下，使约束条件下，使 min()1Hkw a2( )Ez nLargange乘子法：乘子法：2()( )1()HkJEz nww a其中其中2( )HxxEz n w R w*()Jw0w1()optxxkwR a又又 ，代入上式，代入上式()1()HHoptkkoptwaaw11()()HkxxkaR a由由Capon提出，称为最小方差无畸变提出，称为最小方差无畸变(MVDR)波束形成器波束形成器最佳滤波器最佳滤波器11()()()xxkoptHkxxkR awaR aMVDR: minimum variance distortionless respons

7、e空间谱：空间谱：11()()()kHkxxkPaR a最大幅值对应的最大幅值对应的 即为所求。即为所求。k关键：求关键：求 () kka假设假设1：对于不同的：对于不同的 值，向量值，向量 线性独立线性独立( )( )HEnnPss3. 子空间方法子空间方法i()ia假设假设2：各阵元上复加性噪声具有零均值、相同方差，：各阵元上复加性噪声具有零均值、相同方差， 且不相关且不相关( )0Ene2( )( )HEnneeI假设假设3： 满秩矩阵（非奇异）满秩矩阵（非奇异）222 ( )( )( )( )( ) ( )( )0, ( )( )( )2 ( )( )0 ( TiiiijiiiiiEn

8、ne nx njy nE e n e nijE e nE xnE ynj E x n y neeO 令复白噪声分量，则 实部和虚部不相关,具有相同方差）HxxU R U2( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) HxxHHHHHEnnEnnnnEnnEnnRxxAseAseAssAeeAPAI特征值分解：特征值分解：mppppm2HHU APA UI2112200ppI222, 1, 1,iiiipipm 的特征值：的特征值：111span,close,pppjjjjCaaaaaxxR若若 ，区分大和小的特征值，区分大和小的特征值22ii11

9、,|,ppm SGUS Guuuu 信号噪声子空间子空间：向量组：向量组 的线性组合的集合，称为的线性组合的集合，称为 张成的空间。张成的空间。1,paa1,paa信号子空间：信号子空间：11span,span,ppssuu噪声子空间：噪声子空间：11span,span,ppmgguu观测空间：观测空间：1span(1), ()span,mNxxuu观测空间观测空间 = 信号子空间信号子空间 + 噪声子空间噪声子空间特征值分解后，与大特征值对特征值分解后，与大特征值对应应与小特征值对与小特征值对应应子空间的几何意义子空间的几何意义：,US G,HpS SI,HHHHHHHSS SS GU US

10、 GIG SG GG,HmpG GIHG S0HS G0投影矩阵11, ( , ( HHHHHHSGPS S SSSSSSPG G GGGGGG称为信号子空间)称为噪声子空间)几何意义：信号子空间和噪声子空间正交几何意义：信号子空间和噪声子空间正交,HHHHHSU US GSSGGIG1,HHHSGGISSIS S SSP噪声子空间是信号子空间的正交补，正交投影矩阵SSPIP即4. MUSIC方法方法HxxRUUUS G12122, ,HHxxH SR GUU GS GGIG0S GGII2xxR GG2HxxRAPAI22HxxR GAPA GGG HAPA G0HHG APA G0 (0

11、iff )HHA GOt Rtt0 () (HTiaG0行向量) ()()0 ()HHiiaGG a标量11()()()HxxdoptHdxxdR awaR a波束形成器：波束形成器：MUSIC空间谱：空间谱：11( )( )( )( )( )HHHHPaGG aaISSa 取峰值的取峰值的 个个 就给出就给出( )Pp1,p( (需一维搜索需一维搜索) )噪声子空间方法噪声子空间方法信号子空间方法信号子空间方法改进方法改进方法1：2221pHikkiiUs s( )( )( )( )( )HHHPaUaaGG a5. 改进的改进的MUSIC方法方法改进方法改进方法1: (求根求根MUSIC方

12、法方法)( )HaG0基本思想：基本思想：Pisarenko谐波分解谐波分解 (不需一维搜索不需一维搜索)或或( )HG a0(1)( )1,Tjj meea1( )1, ,Tmzzzpjze( )HG a0( ) (Hz G p0列向量形式) 标量形式：1( )1, ,Tmzzzp( )( )0 HHzz pGG p*(1)( )1,Hmzzzpjze*1jzez1(1)1( )1,()HmTzzzzpp1 ( )( )0 HHzzzzpGG p故是 和的多项式，不方便求根1mz两边同乘 后，( )( )HHzz pGG p011()( )mTHzzzpGG p0其根其根 DOA ijiize给出估计求根MUSIC方法11111. 1(1), (2), ()1 ( )( )2. EVD,3. ()( )0 arg()1,iNTxxixxpmjmTHimmmNiiNzzzzepzmpkdxxxRxxRGuupGG p由观测数据向量估计样本 相关函数矩阵由的，得到 求多项式 的根， 具有最大幅值的 个根给出DOA估计，即1 =arccos, 结论结论： 基本基本MUSIC方法和求根方法和求根MUSIC具有相同的具有相同的统计特性统计特性(大样本大样本) 在小样本情况下，求根在小样本情况下，求根MUSIC的估计精度