自动控制原理 第三章 时域分析法

1、第三章 时域分析法时域分析法 主要内容主要内容3.1 3.1 时域分析基础时域分析基础3.2 3.2 一、二阶系统分析与计算一、二阶系统分析与计算3.3 3.3 高阶系统动态响应及简化分析高阶系统动态响应及简化分析3.4 3.4 控制控制系统的稳定性分析及其代数判据系统的稳定性分析及其代数判据3.5 3.5 稳态误差分析计算稳态误差分析计算单位斜坡响应单位斜坡响应 系统在单位斜坡输入r(t)=t1(t)作用下的响应，常用 ct（t）表示。单位脉冲响应单位脉冲响应定义：系统在单位脉冲输入 r(t)=(t)作用下的响应，常用k(t)表示。三种响应之间的关系三种响应之间的关系相应的时域表达式为相应的

2、时域表达式为1.峰值时间峰值时间tp：指：指h(t)曲线中超过其稳态值而达到第一个曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。峰值所需的时间。2.超调量超调量 ：指：指h(t)中对稳态值的最大超出量与稳态值中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。之比。3.调节时间调节时间ts：指响应曲线中，：指响应曲线中，h(t)进入稳态值附近进入稳态值附近 5%h( )或或 2%h( )误差带，而不再超出的最小时间。误差带，而不再超出的最小时间。4.上升时间上升时间tr：响应曲线从：响应曲线从0开始第一次到达稳态值所经开始第一次到达稳态值所经历的时间。历的时间。5. 振荡次数，振荡周期，衰减率振荡次数，振荡周

3、期，衰减率%,ssssssteet注：及三项指标是针对阶跃响应而言的，对于非阶跃输入，则只有稳态误差而没有 和 。3 32 2 一、二阶系统分析与计算一、二阶系统分析与计算1.一阶系统的数学模型及单位阶跃响应一阶系统的数学模型及单位阶跃响应微分方程：微分方程：动态结构图：动态结构图：传递函数：传递函数：输入：输入：输出：输出：初始斜率初始斜率：性能指标1. 平稳性平稳性 ：非周期、无振荡，非周期、无振荡， 02. 快速性快速性ts：3. 准确性准确性 ess：s100)(sR)(sCHK)(sE)(sB100sHK二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应由二阶微

4、分方程描述的系统称为二阶系统由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统二阶系统的微分方程的一般式为二阶系统的微分方程的一般式为22d( )d ( )2( )( )dd22nnnc tc tc tr ttt(0)n阻尼比开环传递函数：开环传递函数：闭环传递函数：闭环传递函数：二阶系统的特征方程为：二阶系统的特征方程为：解方程求得特征根：解方程求得特征根：s1,s2完全取决于完全取决于， n两个参数。两个参数。当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：(1).lim ( )( )0sster tc t稳态误差(2).=0响应没有振荡 2.欠阻尼欠阻尼 二阶系统的

5、单位阶跃二阶系统的单位阶跃响应响应(01)拉氏逆变换得：拉氏逆变换得：下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。下面根据上图来分析系统的结构参数下面根据上图来分析系统的结构参数 、 对阶对阶跃响应的影响。跃响应的影响。n结论：结论： 越大，越大，d越小，幅值也越小，响应的振荡越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， 越小，越小， d 越大，振荡越严重，平稳性越差。越大，振荡越严重，平稳性越差。当当 0时，为零阻尼响应，具有频率为时，为零阻尼响应，具有频率为 的的不衰减（等幅）振荡。不衰减（等幅）振

6、荡。n阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示21dndn结论：对于二阶欠阻尼系统而言，结论：对于二阶欠阻尼系统而言， 大，大， 小，系统响应的平稳性好。小，系统响应的平稳性好。n从图中看出，对于从图中看出，对于5误误差带，当差带，当 时，调时，调节时间最短，即快速性最节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量好。同时，其超调量5，平稳性也较好，故称，平稳性也较好，故称 为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。0.7070.707总结：总结： 越大，调节时间越大，调节时间 越短；当越短；当 一定时，一定时， 越大，快速性越好。越大，快速性越好。 nstn21( )1esin(ar

7、ccos )1ntdh tt 从上式可看出，瞬态分量随时间从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，的增长衰减到零，而稳态分量等于而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。位阶跃响应稳态误差为零。211esin(arccos )11ntdtarccosrdt根据极值定理有：根据极值定理有：取取n=1得得:21pdnt21( )1esin(arccos )1ntdh tt 2 / 1()( )%100%e100%( )ph thh写出调节时间的表达式相当困难。在分析设写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统时，经常采用下列近似公式

8、。计系统时，经常采用下列近似公式。系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数10005 .341000)(2sss与标准的二阶系统传递函数对照得与标准的二阶系统传递函数对照得75005 .3415005)(2 sss 5 .675 .345 .67)(2sssc(t)c(t)1 10 0t tK KA A=1500=1500K KA A=200=200K KA A=13.5=13.53.3 高阶系统动态响应及简化分析高阶系统动态响应及简化分析主要内容：主要内容：设系统的微分方程（或增量化线性方程）为：设系统的微分方程（或增量化线性方程）为：对上式进行拉氏变换得：对上式进行拉氏变换得： 化简整理化简整

9、理：其中：其中：D(s)为系统闭环特征式，也称输出端算子为系统闭环特征式，也称输出端算子式；式；M(s)称为输入端算子式。称为输入端算子式。R(s)为输入，为输入，C(s)为输出，为输出，M0(s)是是与系统的初始状态有关的多项式，与系统的初始状态有关的多项式， M0(s)M02(s)- M01(s)。整理上式：整理上式：将C(s)等式右边的两项分别展成部分分式，可得：再进行拉氏逆变换，得：系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量决定。此时，系统的输入为零。分量决定。此时，系统的输入为零。故稳定性定义可故稳定性定义可转化为：转化为： 式中：式中：Ai，Ci均为常

10、值，因此，系统的稳定性仅均为常值，因此，系统的稳定性仅取决于特征根取决于特征根si的性质，设的性质，设l当当si为共轭复根时，即为共轭复根时，即si，i+1 i ji系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于都位于s平面的虚轴之左。平面的虚轴之左。（顶顶重要）！（顶顶重要）！注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件：注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件： sE(s)在在s平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示，平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示，即特征方程的所有根即特征方程的所有根si位于位于s平面的虚轴之左。平面的虚轴之

11、左。赫尔维茨赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据，林纳德稳定判据，林纳德 奇帕特奇帕特（Lienard-Chipard)判据，劳斯判据，劳斯-侯维智稳侯维智稳定判据等。定判据等。由前面的讲述可知，判定系统稳定的最直接由前面的讲述可知，判定系统稳定的最直接方法是求出系统的闭环特征根，根据特征根方法是求出系统的闭环特征根，根据特征根的位置判断，但有时候这种计算不方便。代的位置判断，但有时候这种计算不方便。代数判据的目的是不直接求特征根，通过间接数判据的目的是不直接求特征根，通过间接的方法判断系统稳定性。的方法判断系统稳定性。主要学习一下劳斯判据主要学习一下劳斯判据系统特征方程的一般形式为：系统特征方程的一般形式为：可以由可以由1+G0（s）=0求出，其中求出，其中G0（s）=G（s）+H（s）为系统的开环传递函数）为系统的开环传递函数。劳斯稳定判据判稳的必要条件（即首先满足的条劳斯稳定判据判稳的必要条件（即首先满足的条件）：系统特征方程的系数均大于件