点线面的投影

1、地地面面光光线线光源光源物物体体影子影子光线光线物体物体地面地面影子影子 2.1 投投 影的基本知识影的基本知识 2.1 投投 影的基本知识影的基本知识 一、投影的概念和分类一、投影的概念和分类 影子影子只显示物体的轮廓只显示物体的轮廓.物体在阳光或灯光等光线的照射下，就会物体在阳光或灯光等光线的照射下，就会在墙面或地面上投下影子，在墙面或地面上投下影子，投影投影面面投射投射线线上底上底投影投影投影投影中心中心物体物体下底下底投影投影投射线投射线斜投影斜投影物体物体投影面投影面投影法投影法将投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该平面上得到将投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该平面上得到以

2、线条显示的图形的方法称为投影法以线条显示的图形的方法称为投影法,得到的图形称为投影得到的图形称为投影.2. 投影法的种类 中心投影法中心投影法 投影线交汇于一点的投影线交汇于一点的投影法称为中心投影投影法称为中心投影法，投影线的汇交点法，投影线的汇交点称为投影中心。称为投影中心。 中心投影法中心投影法 投影投影面面投射投射线线上底上底投影投影投影投影中心中心平行投影法平行投影法 物体物体下底下底投影投影投射线投射线斜投影斜投影(2) 平行投影法平行投影法 投影线相互平行的投影法称为平行投影法。在平行投影法中，投影线相互平行的投影法称为平行投影法。在平行投影法中，又以投射线与投影面的相对位置不同

3、分为正投影法和斜投影法。又以投射线与投影面的相对位置不同分为正投影法和斜投影法。物体物体投影面投影面2）正投影法）正投影法投射线垂直于投影面的平行投影法，由此法投射线垂直于投影面的平行投影法，由此法得到的得到的 投影图称为正投影图（正投影）。投影图称为正投影图（正投影）。 由于正投影法得到的正投影图由于正投影法得到的正投影图能真实地表达空间物体的形状能真实地表达空间物体的形状和大小，不仅度量性好，作图和大小，不仅度量性好，作图也比较方便，故在机械工程中也比较方便，故在机械工程中广泛应用。因此，本课程主要广泛应用。因此，本课程主要研究正投影法。今后除特别说研究正投影法。今后除特别说明外，所述投影

4、均指正投影。明外，所述投影均指正投影。正投影正投影投射线投射线物体物体投影面投影面 三、三面投影三、三面投影 1. 单面投影单面投影 三个不同物体向同一投三个不同物体向同一投影面正投影后，所得的影面正投影后，所得的投影却相同，由此说明，投影却相同，由此说明，一面正投影是不能唯一一面正投影是不能唯一确定物体的形状和结构确定物体的形状和结构的。为了唯一确定物体的。为了唯一确定物体的结构形状，需采用多的结构形状，需采用多面正投影。面正投影。 1）设立三个互相垂直的平面）设立三个互相垂直的平面V、H、W2 2、三面投影、三面投影（1 1）三面投影体系的建立）三面投影体系的建立2 2）投影轴）投影轴正面

5、正面V水平面水平面H侧面侧面WOXOX轴轴OZOZ轴轴OY轴轴原点原点O OX ZOXYVHW（2） 三面投影的形成三面投影的形成 如图所示，将物体正放在三投影面体系中，用正投影法如图所示，将物体正放在三投影面体系中，用正投影法向三个投影面投影，就得到了物体的三面投影。向三个投影面投影，就得到了物体的三面投影。 （3） 三面投影的展开三面投影的展开 如图所示，正面投影不动将水平投影沿如图所示，正面投影不动将水平投影沿OX轴向下旋转轴向下旋转90，将侧面，将侧面投影沿投影沿OY轴向右旋转轴向右旋转90，就得到了展开后的三面投影图。，就得到了展开后的三面投影图。 （）三视图之间的方位对应关系（）三

6、视图之间的方位对应关系后后左左右右前前X ZVHO上上下下左左右右后后上上下下前前YW反映了前后反映了前后 左右左右反映左右、反映左右、上下上下反映了前反映了前后、后、 上下上下（）三视图之间的方位对应关系（）三视图之间的方位对应关系X ZVHOYWX ZVHOYW高高长长宽宽长长高高长长宽宽高高宽宽（）（）三视图的度量性三视图的度量性物体有三个方向上的物体有三个方向上的尺寸：长、宽、高尺寸：长、宽、高两个视图可两个视图可表达物体的表达物体的所有尺寸所有尺寸反映长高反映长高反映高宽反映高宽反映长宽反映长宽长对正长对正高平齐高平齐宽相等宽相等高平齐高平齐长对正长对正宽相等宽相等宽相等宽相等（）（

7、） 三视图之间的投影关系三视图之间的投影关系 主、俯视图主、俯视图长对正；长对正； 主、左视图主、左视图高平齐；高平齐； 俯、左视图俯、左视图宽相等宽相等1.1.三面投影与直角三面投影与直角坐标的关系坐标的关系正面投影正面投影XX长、长、Z Z高高侧面投影侧面投影ZZ高、高、Y Y宽宽水平投影水平投影XX长、长、Y Y宽宽小结小结2.2.三视图之间的投三视图之间的投影关系影关系长对正长对正高平齐高平齐宽相等宽相等【教学重点教学重点】点的三面投影规律点的三面投影规律,已知点的两面投影求第三投影已知点的两面投影求第三投影【教学难点教学难点】点的位置关系点的位置关系【教学内容教学内容】A Aa a2

8、.2 点的投影点的投影，过空间点向投影面作垂直投射线，过空间点向投影面作垂直投射线，垂直投射线与投影面的交点，就是垂直投射线与投影面的交点，就是点在该投影面上的正投影。如图从点在该投影面上的正投影。如图从点点A向投影面向投影面P作垂直投射线，垂足作垂直投射线，垂足a就是就是A点在投影面点在投影面P上的正投影，上的正投影，空间点用大写字母来表示，投影用空间点用大写字母来表示，投影用相应的小写字母来表示。相应的小写字母来表示。一、点的投影形成一、点的投影形成A AB BD DC C从图中可以看出：从图中可以看出：1.点的投影仍然是点。因点的投影仍然是点。因为直线与平面只有一个交为直线与平面只有一个

9、交点，所以，若投射方向和点，所以，若投射方向和投影面是确定的，则空间投影面是确定的，则空间点在投影面上的正投影是点在投影面上的正投影是唯一确定的。唯一确定的。2.反之投射方向和投影面反之投射方向和投影面是确定的，则在投影面上是确定的，则在投影面上的点的正投影对应的空间的点的正投影对应的空间点不是唯一确定的点不是唯一确定的,可以可以是过该投影的投射线上的是过该投影的投射线上的任意点任意点, 如图中的如图中的A、B、C、D的正投影是同一点。的正投影是同一点。a a（b b）（）（c c）（）（d d）二、点的投影特性二、点的投影特性A Aa 点点A A的的水平水平投影投影a 点点A A的的正面正面

10、投影投影a 点点A A的的侧面投影侧面投影三、点的三面投影三、点的三面投影1.点的三面投影的形成点的三面投影的形成X XZ ZO OV VH HW WYa aayazxaa 2. 点的三面投影图的展开点的三面投影图的展开 为使点为使点A的三面投影的三面投影a、a、a处在同一处在同一 平面上仍要把三投影面体系展在同一平面平面上仍要把三投影面体系展在同一平面 内，如图所示。内，如图所示。X XZ ZO OV VH HW Wxaazaya aa YHYWayA AX XZ ZO OV VH HW WYa aa ayazxaX XO OV VH HW Wxaazaya aa YHYWayaz. 点的三

11、面投影规律点的三面投影规律（）（）aaOX轴、轴、（）（）aaaOZ轴轴（）（）A a A AX XZ ZO OV VH HW WYa aa ayazxaK去掉各投影面边框后的三面投影图，如图所示。去掉各投影面边框后的三面投影图，如图所示。X XZ ZO OV VH HW WxaazayYa aa A AX XZ ZO OV VH HW WYX XZ ZO OV VH HW Wx xa aa az za ay ya aY YH HY YW Wy yz zx xy yz z 4. 4.点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系 （1）x=oax =Aa =A到到W面的距离。面的距离

12、。 （2）Y=oay=Aa =A 到到V面的距离。面的距离。 （3）Z=oaz=Aa =A到到H面的距离。面的距离。x xy yz zx xa aa ayazxaa a a a 例例2-1 2-1 已知已知A A点的坐标值点的坐标值A(20A(20，2222，24)24)，求作，求作A A点的三面投影图。点的三面投影图。X XO OZ ZYHY YW W已知点已知点A :A : X X坐标坐标=20=20毫米；毫米； Y Y坐标坐标=22=22毫米；毫米； Z Z坐标坐标=24=24毫米。毫米。aaaaa a2020242422222222a ax xaYHaYWa az zV VazayX

13、XZ ZO OH HW WxaYa aa 例题例题2-22-2：已知点：已知点A A的两个投影的两个投影a, aa, a , , 求第三投影求第三投影aa解法解法V VazayX XZ ZO OH HW WxaYa aa 例题例题2 2：已知点：已知点A A的两个投影的两个投影a, aa, a , , 求第三投影求第三投影aa解法解法2 2解法解法3 3V VazayX XZ ZO OH HW WxaYa aa . .特殊特殊位置的点位置的点XC=c cXOVHA=aB=b ba b c a dD=d d X XO OccOab ba b c a dd d . .两点的相对位置及重影点两点的相

14、对位置及重影点上下、前后、上下、前后、左右位置关系。左右位置关系。判断方法：判断方法：x x 坐标大的在左坐标大的在左 y y 坐标大的在前坐标大的在前z z 坐标大的在上坐标大的在上b b a aa a a a b b b bX XY YH HY YW WZ Zo o（1 1） 两点的相对位置两点的相对位置A A点在点在B B点之点之前、之右、前、之右、之上。之上。BAababba( )a (bb （2） 重影点重影点 空间两点在某一投影面上的投影空间两点在某一投影面上的投影 重合为一点时，则称此两点为该重合为一点时，则称此两点为该 投影面的重影点。投影面的重影点。a a b 被挡住的投影加

15、被挡住的投影加( ) ( ) A A、B B为为H H面的面的重影点重影点ZXYWOYHBAaba(b)baXVZWOHY例例2-3 2-3 已知直线已知直线ABAB端点坐标为端点坐标为 A A（1515，1515，1010）,B,B（3535，3030，2525）的三面投影。求直线的三面投影。求直线ABAB的三面投影。的三面投影。aaabbbOXYHYWZaabbabBA1. 点的三面投影规律点的三面投影规律（）（）aaOX轴、轴、（）（）aaaOZ轴轴（）（）A a 2.2.点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系正面投影正面投影XX、Z Z侧面投影侧面投影ZZ、Y Y水平

16、投影水平投影XX、Y Y小结小结x x 坐标大的在左坐标大的在左 y y 坐标大的在前坐标大的在前z z 坐标大的在上坐标大的在上3. 3. 两点的相对位置两点的相对位置2.32.3直线的投影直线的投影一、直线的投影：一、直线的投影： 直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面投影连线确定。投影连线确定。【教学重点教学重点】直线的投影特性，直线相对于投直线的投影特性，直线相对于投 影面的位置关系影面的位置关系【教学难点教学难点】直线的投影特性直线的投影特性【教学内容教学内容】一、直线的投影：一、直线的投影： 直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面投

17、影连线确定。直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面投影连线确定。XVZWOHYbbbaaaOXYHYWZbbaabaAB二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性直线的分类直线的分类投影面的平行线投影面的平行线投影面的垂直线投影面的垂直线一般位置直线一般位置直线1 1、一般位置直线：与三个投影面都倾斜的投影面。、一般位置直线：与三个投影面都倾斜的投影面。XVZWOHYaaabbbOXYHYWZaabbabBA三个投影都倾斜三个投影都倾斜于投影轴于投影轴反映线反映线段的实长段的实长2、投影面平行线、投影面平行线(1) 平行于投影面的直线的投影特性：直线的投平行于投影面的直线的投影特

18、性：直线的投影平行于直线影平行于直线,反映线段的实长反映线段的实长.XVZWOHYaaabbb1）、水平线：平行于）、水平线：平行于H面，对面，对V、W面倾斜面倾斜正面投影正面投影a a b b OXOX，侧面投影，侧面投影a a b b OYOYw w均垂直于均垂直于OZOZ轴轴OXYHYWZ水平投影水平投影ab=AB倾倾斜于斜于X、Y轴轴aabbabBA(1)投影面的平行线投影面的平行线:平行于一个投影面而倾斜于平行于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的直线另外两个投影面的直线AB与与OX、OY的夹角的夹角 、 等于等于AB对对V、W面的倾角。面的倾角。OXYHYWZXVZWOHYaabba

19、bBA2）、正平线：平行于）、正平线：平行于V，对，对H、W倾斜倾斜ababab正面投影ab=AB水平投影水平投影abOX侧面投影侧面投影a“bOZ均垂直于均垂直于OY轴轴OXYHYWZOXYHYWZXVZWOHYaabbabBA侧面投影侧面投影cd=CD水平投影水平投影abOY正面投影正面投影abOZ均垂直于均垂直于OX轴轴a b与与OYW、OZ的夹角的夹角 、等于等于AB对对V、H面的倾角。面的倾角。3）、侧平线：平行于）、侧平线：平行于W面，对面，对V、H面倾斜面倾斜aab abdb正平线正平线水平线水平线侧平线侧平线（4）投影面平行线的投影特性）投影面平行线的投影特性1、直线在所平行的

20、投影面上的投影反映直、直线在所平行的投影面上的投影反映直线的实际长度。该投影与轴的夹角线的实际长度。该投影与轴的夹角=直线与直线与其他两个投影面的夹角其他两个投影面的夹角.2、直线在另外两个投影面上的投影垂直于、直线在另外两个投影面上的投影垂直于或平行于相应的投影轴或平行于相应的投影轴两平两轴一斜两平两轴一斜积聚成一点积聚成一点F FE Ee e（f f）3、投影面垂直线、投影面垂直线（1）垂直于投影面的直线的投影特性：直线的投）垂直于投影面的直线的投影特性：直线的投影积聚一点。影积聚一点。XVZWOHYOYHYWZa（b）abab水平投影积聚为一点。ab=ab=ABab OX，abOYW均平

21、行于均平行于OZ轴轴baaa(b)bAB(1)投影面的垂直线投影面的垂直线:垂直于一个投影面而平行于垂直于一个投影面而平行于另外两个投影面的直线另外两个投影面的直线（1）、铅垂线：直线）、铅垂线：直线H面，面，V、W面。面。XVZWOHY（2）、正垂线：直线）、正垂线：直线V面，面，H、W面。面。OXYHYWZaba(b)ab正面投影积聚为一点。ab=a“b=ABabOX，a“bOZ均平行于均平行于OY轴轴aaabb(b)BAXVZWOHY（3）、侧垂线：直线）、侧垂线：直线W面，面，H、V面。面。OXYHZababa （b）侧面投影积聚侧面投影积聚为一点。为一点。ab=ab =ABabOYH

22、，abOZ。均平行于均平行于OX轴轴aaab(b)bAB铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线（4）投影面垂直线的投影特性）投影面垂直线的投影特性1、直线在所垂直的投影面上的投影积聚为、直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。一点。2、直线在另外两个投影面上的投影垂直于、直线在另外两个投影面上的投影垂直于或平行于相应的投影轴，且反映实际长度。或平行于相应的投影轴，且反映实际长度。两垂两轴一点两垂两轴一点b b a a c c s s s s ( c( c ) )b b a a (d(d ) )b ba ac cs sd dd d b ba ac cs sd db b a a c c s s (d

23、(d ) ) s s (c(c ) )b b a a d d S SC CB BA AD D例例2-4 2-4 判断如图判断如图2-182-18所示的四棱锥各棱的空间位置。所示的四棱锥各棱的空间位置。 三、直线上的点三、直线上的点1、从属性、从属性： 点在直线上，点的各面投影必定在该直点的各面投影必定在该直线的同面投影上；线的同面投影上；直线上。直线上。OXYHYWZaaabbbccc小结小结1.投影面的平行线投影面的平行线2.投影面的垂直线投影面的垂直线3.一般位置平线一般位置平线（1）在所平行的投影面上的投影反映实长；）在所平行的投影面上的投影反映实长；与投影轴的夹角，分别反映平面与与投影

24、轴的夹角，分别反映平面与 相应投相应投影面的倾角。影面的倾角。（2）其余两投影分别平行于相应的投影轴。）其余两投影分别平行于相应的投影轴。（1）对三个投影面都倾斜的直线。）对三个投影面都倾斜的直线。（2）它的各面投影均不反映实长，）它的各面投影均不反映实长， 也不具有积聚性。也不具有积聚性。（3）不直接反映该直线与投影面的倾角。）不直接反映该直线与投影面的倾角。（1）在所垂直的投影面上的投影积聚为点；）在所垂直的投影面上的投影积聚为点； （2）其余两投影分别平行于相应的投影轴）其余两投影分别平行于相应的投影轴 2.4平面的投影平面的投影平面的投影一般为平面的投影一般为类似类似图形。图形。类似性

25、类似性a ab bc cB BC CA A一、各种位置平面的投影一、各种位置平面的投影铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面水平面水平面正平面正平面 侧平面侧平面平行于某平行于某一投影面一投影面垂直于某垂直于某一投影面一投影面对三个投影面都倾斜对三个投影面都倾斜投影面垂直面投影面垂直面投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面 平面图形倾斜于投影面，它们在投影面上的投影是一个比平面图形倾斜于投影面，它们在投影面上的投影是一个比实形小、但形状相近，边数相等的实形小、但形状相近，边数相等的类似类似图形。图形。类似性类似性a ab bc cB BC CA A1、一般位置平面、一般位置平面 XVZ

26、WOHY （1）它的各面投影均不反映实形，也不具有）它的各面投影均不反映实形，也不具有 积聚性。积聚性。 （2）不直接反映该平面与投影面的倾角。）不直接反映该平面与投影面的倾角。XYWYHZOccababcabCBAcbababcca积聚一直线积聚一直线b b（c c）a aB BC CA A2、投影面垂直面、投影面垂直面（1）垂直于投影面的平面的投影特性：平面的投）垂直于投影面的平面的投影特性：平面的投影积聚一条直线。影积聚一条直线。 （）投影面的垂直面：垂直于某一个投影面，而（）投影面的垂直面：垂直于某一个投影面，而倾斜于其余两个投影面的平面为投影面垂直面。倾斜于其余两个投影面的平面为投影

27、面垂直面。 XVZWOHYXYHZYWOa(d)ababdcdcb(c)1）铅垂面）铅垂面 垂直于水平面而倾斜于正面和侧面的平面垂直于水平面而倾斜于正面和侧面的平面abcdabcda(d)b(c)ABCDXVZWOHYaabbZXYWYHOcdca(d)b(c)d2）正垂面）正垂面 垂直于正面而倾斜于水垂直于正面而倾斜于水平面和侧面的平面平面和侧面的平面abcdabcda (d )b (c )ABCDXVZWOHYa(d)XYWOYHZababcdcdb(c)3）侧垂面）侧垂面 垂直于侧面而倾斜于正垂直于侧面而倾斜于正面和水平面的平面面和水平面的平面abcda b c d a (d )b (c

28、 )ABCD铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面 投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性： 平面在平面在所垂直所垂直的投影面上的投影的投影面上的投影积聚积聚为直线；为直线； 其余两投影面仍为原形的其余两投影面仍为原形的类似形类似形，但比实形小；，但比实形小； 线斜则垂线斜则垂（）平行于投影面的平面的投影特（）平行于投影面的平面的投影特性，投影反映实行形。性，投影反映实行形。反映反映平面平面的实形的实形实形性实形性3、投影面平行面、投影面平行面a（d）b(c)abca(b)CBAdd(c) 平行于某一个投影面的平面称为投影面平行面，该平行于某一个投影面的平面称为投影面平行面，该平面必然垂直

29、于其余两个投影面。平面必然垂直于其余两个投影面。在所平行的投在所平行的投影面上的投影影面上的投影反映实形反映实形积聚为直线，积聚为直线，并平行于相并平行于相应的投影轴应的投影轴XYWYHZa（d）b(c)O（1）正平面）正平面 平行于正面的平面平行于正面的平面a（d）b(c)cba(b)abcda(b)d(c)dd(c)aCBADXYWYHZObb（2）侧平面）侧平面 平行于侧面的平面平行于侧面的平面bca(b)b(c)adbacdb(c)a(d)d(c)a(b)a(d)d(c)CBADXYWYHZOd（3）水平面）水平面 平行于水平面的平面平行于水平面的平面bcb(c)d(c)dd(c)a(

30、b)b(c)a(d)a(d)aa(b)cabdCBAD正平面正平面水平面水平面侧平面侧平面（4）投）投 影影 特特 性性 平面在所平行的投影面上的投影反映实形；平面在所平行的投影面上的投影反映实形； 其余两投影积聚为直线，并分别平其余两投影积聚为直线，并分别平 行于相应的投影轴。行于相应的投影轴。线平则平线平则平 例例2-5判断如图判断如图2-21所示的四棱锥的棱面的空间位置。所示的四棱锥的棱面的空间位置。b b a a c c s s s s ( c( c ) )b b a a (d(d ) )b ba ac cs sd dd d b ba ac cs sd db b a a c c s s

31、 (d(d ) ) s s (c(c ) )b b a a d d S SC CB BA AD D小结小结1.投影面的平行面投影面的平行面2.投影面的垂直面投影面的垂直面3.一般位置平面一般位置平面（1）在所平行的投影面上的投影反映实形；）在所平行的投影面上的投影反映实形；（2）其余两投影积聚为直线，并分别平行）其余两投影积聚为直线，并分别平行 于相应的投影轴。于相应的投影轴。（1）对三个投影面都倾斜的平面。）对三个投影面都倾斜的平面。（2）它的各面投影均不反映实形，）它的各面投影均不反映实形， 也不具有积聚性。也不具有积聚性。（3）不直接反映该平面与投影面的倾角。）不直接反映该平面与投影面的倾角。（1）在所垂直的投影面上的投影积聚为直线；）在所垂直的投影面上的投影积聚为直线； 与投影轴的夹角，分别反映平面与与投影轴的夹角，分别反映平面与 相应投影面的倾角。相应投影面的倾角。（2）其余两投影面为比原形小的类似形，）其