295660029567数学分析上下册华东师范大学数学系72

1、一、上（下）极限的基本概念 数列的上极限与下极限是非常有用的概念,通过它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下册第十二、十四章讨论级数收敛性时,常会遇到所考虑的某些数列不存在极限的情形,那时需要用上极限或下极限来解决问题.此外,对于不少后继课程来说,上(下)极限也是不可缺少的工具.*2 上极限和下极限数学分析 第七章实数的完备性二、上（下）极限的基本性质*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质定义1上(下)极限的基本概念注注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于点集的聚点与数列的聚点之间的区

2、别在于: 若数列若数列满足满足: 在数在数的任何一个邻的任何一个邻域域内均内均含有含有 中的中的无限多项无限多项, 则称则称 x0 是数列是数列 的的常数列常数列只有一个聚点只有一个聚点: a . 的一个聚点的一个聚点. 限多个项限多个项”. 前者要求前者要求 “含有无限多个点含有无限多个点”, 后者要求后者要求 “含有无含有无 现举例如下现举例如下:后退 前进 目录 退出上（下）极限的基本概念数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质定理7.4有界数列至少存在一个聚点有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大并且有最大聚点聚点和和

3、但作为数列但作为数列来说来说, 它却有两个聚点它却有两个聚点:有五有五个聚点个聚点:数列数列从数列聚点的定义不难看出从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列是数列 的的聚聚 作为点集来说它仅有两个点作为点集来说它仅有两个点, 点点的一个充要条件是的一个充要条件是:最小聚点最小聚点. . 故没有聚点故没有聚点;上（下）极限的基本概念存在存在 的一个子列的一个子列数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质又设又设由于由于 E 非空有界非空有界, 故由确界原理故由确界原理, 下面证明下面证明是是 xn 的最大聚点的最大聚点, 亦即亦即

4、证证 设设为有界数列为有界数列, 的一个聚点的一个聚点.于是于是首先首先, 由上确界的性质由上确界的性质, 由致密性定理由致密性定理, 存在一个存在一个收敛子列收敛子列使使存在存在上（下）极限的基本概念存在存在因为因为是是的聚点的聚点, , 所以对任意正数所以对任意正数 在区间在区间数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质存在存在使使存在存在使使存在存在使使上（下）极限的基本概念的无限多项的无限多项. 现依次令现依次令这样就得到了这样就得到了 xn 的一个子列满足的一个子列满足:同理可证同理可证即证得即证得数学分析 第七章 实

5、数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质定义2称为称为的上、下极限的上、下极限, 记为记为 上（下）极限的基本概念有界数列有界数列的最大聚点的最大聚点与最小聚点与最小聚点 分别分别注注 由定理由定理 7.4 得知得知, 有界数列必有上有界数列必有上、下极限下极限. 提供了一个新的平台提供了一个新的平台. 的上的上、下极限总是存在的下极限总是存在的, 这为研究数列的性质这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的极限来研究该数列往往是徒劳的; 数列若有界数列若有界, 它的极限可以不存在它的极限可以不存在, 此时想通过此时想通过 这样这样, 上上

6、、下极限的优越性就显现出来了下极限的优越性就显现出来了: 但是有界数列但是有界数列一个一个 数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质例例1 考察以下两个数列的上考察以下两个数列的上、下极限、下极限: :从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系之间存在着的内在联系. . 详细讨论请见下文详细讨论请见下文. . 上（下）极限的基本概念数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质定理7.6定理7.5上(下)

7、极限的基本性质由上由上、下极限的定义下极限的定义, 立即得出立即得出:对任何有界数列对任何有界数列有有 下面这个定理刻画了极限与上下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关下极限之间的关系系.有界数列有界数列存在极限的充要条件是存在极限的充要条件是:(1)(2)上（下）极限的基本性质数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质证证设设对于任意正数对于任意正数在在这样这样, 对任意的对任意的 只有有限项只有有限项. 那么在那么在内内( 此时必此时必取取反之反之, 若上式成立若上式成立, 则则 的聚点唯一的聚点唯一 (设为设为 A)

8、, 若若这就是说这就是说, B从而从而的聚点的聚点,不是不是故故 仅有一个聚点仅有一个聚点 A, 有限项有限项.之外之外 只有只有上（下）极限的基本性质数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质一的假设相矛盾一的假设相矛盾. .另一聚点另一聚点, , 导致与聚点唯导致与聚点唯 性定理性定理, , 这无限多项必有这无限多项必有 的无限多项的无限多项. . 之外含有之外含有使得在使得在 倘若不然倘若不然, ,则存在则存在 此时易证此时易证由致密由致密上（下）极限的基本性质数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极

9、限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质定理7.7设设为有界数列为有界数列, 则有则有的充要条件是的充要条件是: 对于任意的对于任意的(i) 存在存在 N, 当当 n N 时时, 的充要条件是的充要条件是: 对于任意的对于任意的(i) 存在存在 N, 当当 n N 时时, 证证 在形式上是对称的在形式上是对称的, 所以仅证明所以仅证明 .上（下）极限的基本性质数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质必要性必要性 设设因为因为 A 是是的一个的一个聚点聚点, ,所以存在所以存在使得使得故对于任故对于任意的意的当当 k K

10、时，时，将将中的前面中的前面 K 项剔除项剔除, 这样就证明了这样就证明了(ii). 上上, 至多只含至多只含的有限项的有限项. 话话, 因为因为有界有界, 这与这与 A 是最大聚点相矛盾是最大聚点相矛盾. 又因又因 A 是是的最大聚点的最大聚点, 所以对上述所以对上述e ,e ,存在存在在区间在区间不然的不然的在在故故上上还有聚点还有聚点,上（下）极限的基本性质设这有限项设这有限项的最大下标为的最大下标为 N, 那么当那么当 n N 时时,数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质充分性充分性 任给任给综合综合 (i) 和和

11、(ii), 上含有上含有 xn 的无限项的无限项, 这说明在这说明在在在即即 A 是是 xn 的聚点的聚点.而对于任意的而对于任意的上（下）极限的基本性质 xn 的有限项的有限项, 上也上也至多只有至多只有从而有从而有所以所以 A 是是 的最大聚点的最大聚点 .故故 不是不是 xn 的的聚点聚点,数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质定理7.8(保不等式性)设设 xn , yn 均为有界数列均为有界数列, 并且满足并且满足: : 存在存在当当 n N0 时时, , 有有则取上则取上(下下)极限后极限后, 原来的不等号方向保持

12、不变原来的不等号方向保持不变:特别若特别若 则更有则更有(3)(4)上（下）极限的基本性质数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质证证 设设因为因为 B 是是 yn 的的而而 (4) 式则可由式则可由又因又因 (1) 与与 (3) 式直接推得式直接推得. 的最小聚点的最小聚点 A 理应理应满足满足它与它与也也是是由于由于的极限的极限, ,便得便得取取聚点聚点,故存在故存在 的一个收敛子列的一个收敛子列 ,的聚点的聚点,同理可证关于上极限的不等式同理可证关于上极限的不等式;所以存在所以存在 , 上（下）极限的基本性质数学分析 第

13、七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质证证 这里这里只证明只证明 (i) , (ii) 可同理证明可同理证明. 由定理由定理7.7, 存在存在 N, (5)(6)例例1都是有界数列都是有界数列, 那么那么设设当当 n N 时时,上（下）极限的基本性质设设故故数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质再由定理再由定理 7.8 的的 (4) 式式, 得得因为因为 是任意的是任意的, 故故注注 这里严格不等的情形确实会发生这里严格不等的情形确实会发生, 例如例如上（下）极限的基

14、本性质数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质例例2 设设 , 且且求证求证 的全体聚点的集合为的全体聚点的集合为证证 设设 E 是是 的全体聚点的集合的全体聚点的集合, 显然有显然有内仅含内仅含 的有限的有限项项:在在任给任给 , 欲证欲证如若不然如若不然, 则存在则存在上（下）极限的基本性质所以存在所以存在这就是说这就是说, 当当 时时, 所有的所有的 均不在均不在之内之内. 又因又因数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质当当 n K 时时, 由由 (7

15、) 导致所有导致所有前者与前者与 B 是是 的聚的聚点矛盾点矛盾; 或者都有或者都有的的 或者都有或者都有后者与后者与 A 是是故证得故证得 , 即即的聚点矛盾的聚点矛盾.上（下）极限的基本性质从而从而数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质定理7.9设设 xn 为有界数列为有界数列. 则有则有(i) A 是是 xn 的上极限的充要条件是的上极限的充要条件是(ii) B 是是 xn 的下极限的充要条件是的下极限的充要条件是(8)(9)上（下）极限的基本性质数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）

16、极限的基本概念上（下）极限的基本性质递减数列递减数列, 并且有界并且有界, 一方面一方面, 因为因为 另一方面另一方面, , 由于由于根根 据上确界定义据上确界定义, ,又因又因所以有所以有同理同理, , 由于由于 证证显然显然 是一是一这里仅证这里仅证 (i). 设设 , 上（下）极限的基本性质数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质这样得到的子列这样得到的子列 因仍为有界的因仍为有界的, ,照此做下去照此做下去, ,可求得可求得 使使使得使得不等式性质不等式性质 (4), 得出得出故其上极限故其上极限(10) 式关于式关于

17、 k求上极限求上极限,从而证得从而证得所以又得所以又得 因因 是任意的是任意的, 上（下）极限的基本性质亦存在亦存在, , 设为设为数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质例例3 3 用上、下极限证明用上、下极限证明: 若若 为有界发散数列为有界发散数列,注注 本例命题用现在这种证法本例命题用现在这种证法, ,可以说是最简捷的可以说是最简捷的. . 使得使得 证证 由定理由定理7.6 , 有界数列有界数列 发散的充要条件发散的充要条件 则存在则存在 的两个子列的两个子列, , 收敛于不同的极限收敛于不同的极限. . 为为 于是存在于是存在 的两个子列的两个子列 上（下）极限的基本性质数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质例例4 证明证明: 对任何有界数列对任何有界数列 有有(11)(12)证证 根据定理根据定理7.9 的的 (8) 与与 (9), 可得可得若能证明若能证明 便不难得出结果便不难得出结果. .分析分析 将将 (11) 式改写为式改写为上（下）极限的基本性质数学分析 第七章 实数的完备性高等教育出版社*2 上极限和下极限上（