质点系的动量定理和质心运动定理

1、上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律3.7 质点系的动量定理质点系的动量定理 和质心运动定理和质心运动定理 3.7.1 质点系动量定理质点系动量定理 3.7.2 质心运动定理质心运动定理 3.7.3 质点系相对于质心系的动量质点系相对于质心系的动量 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律3.7 质点系的动量定理质点系的动量定理 和质心运动定理和质心运动定理 3.7.1 质点系动量定理质点系动量定理 质点系质点系有相互作用的若干个质点组成的系统有相互作用的若干个质点组成的系统. 内力内力系统内各

2、质点间的相互作用力系统内各质点间的相互作用力. 外力外力系统以外的其它物体对系统内任意一质系统以外的其它物体对系统内任意一质点的作用力点的作用力. 质点系动量质点系动量 定理微分形式定理微分形式 tpfiiid)d( 质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律00d)(pptfttii 质点系动量定理积分形式质点系动量定理积分形式 )d(d)(iiiptf在一段时间内质点系动量的增量等于作用于质在一段时间内质点系动量的增量等于作用于质点系外力矢量和在这段时间内的冲量

3、，此即用点系外力矢量和在这段时间内的冲量，此即用冲量表示的质点系的动量定理冲量表示的质点系的动量定理.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律几点说明几点说明 (1)只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体系内部的分配是有作用的系内部的分配是有作用的.是过程量是过程量,积分效果积分效果 tfid.动动量量改改变变(2)(3)牛顿第二定律只适于质点，动量定理既适于质牛顿第二定律只适于质点，动量定理既适于质点又适于质点系点又适于

4、质点系. (4)动量定理只适用于惯性系动量定理只适用于惯性系, 对非惯性系，还应对非惯性系，还应计入惯性力的冲量计入惯性力的冲量.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律(5)动量定理是矢量式动量定理是矢量式,应用时可用沿坐标轴的应用时可用沿坐标轴的分量分量式式求解求解, 如如 x 轴分量式轴分量式即冲量在某一方向上的分量等于该方向上动量的增量即冲量在某一方向上的分量等于该方向上动量的增量. tpfixiixd)d( xxiixpptftt00d)( 也可采用也可采用作图法作图法，按几何关系，按几何关系(余弦定理、正弦定理余弦定理、正弦定理等等)

5、求解求解.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律例题例题1火箭沿直线匀速飞行，喷射出的燃料生成物火箭沿直线匀速飞行，喷射出的燃料生成物的密度为的密度为 喷口截面积为喷口截面积为s，喷气速度，喷气速度(相对于火箭相对于火箭的速度的速度)为为 v ，求火箭所受推力，求火箭所受推力. 解解 选择匀速直线运动的火箭为参考系，是惯性系选择匀速直线运动的火箭为参考系，是惯性系. dt 时间内喷出气体质量时间内喷出气体质量 tvsmdd dm喷出前后动量改变量为喷出前后动量改变量为 vtvsp dd 由动量定理由动量定理 fvvstp dd表示留在燃烧室内的

6、燃烧物质对排出物质的作用力表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力 f2svfx 向下向下火箭所受推力，也等于火箭所受推力，也等于 2sv 向上向上上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律例题例题2如图表示传送带以水平速度如图表示传送带以水平速度 将煤卸入静止车将煤卸入静止车厢内。每单位时间内有质量为厢内。每单位时间内有质量为 m0 的煤卸出，传送带顶的煤卸出，传送带顶部与车厢底板高度差为部与车厢底板高度差为h，开始时车厢是空的，不考虑，开始时车厢是空的，不考虑煤堆高度的改变煤堆高度的改变. 求煤对车厢的作用力求煤对车厢的作用力.0vxyo上

7、上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律解解把单位时间内落入车厢的煤视作质点系，并建把单位时间内落入车厢的煤视作质点系，并建立直角坐标系立直角坐标系oxy. jghivv20 )2(000jghmivmp 到达车厢前一瞬间，煤的速度到达车厢前一瞬间，煤的速度 到达车厢后速度为零到达车厢后速度为零. 质点系动量的改变量质点系动量的改变量 单位时间内车厢对煤的冲量单位时间内车厢对煤的冲量 pf11n 煤落到车厢时煤对车厢的冲力煤落到车厢时煤对车厢的冲力 )2(0001n1njghmivmff 取煤到达空车厢时为计时起点，车厢对煤的支撑力取煤到达空车厢时

8、为计时起点，车厢对煤的支撑力 jgtmf02n 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律jghgtmivmfff)2(0002n1nn 煤作用于车厢的力等于上面两力之和，即煤作用于车厢的力等于上面两力之和，即上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律3.7.2 质心运动定理质心运动定理 1.质心质心 )(dd iiiivmtf质点系动量定理质点系动量定理 而而 trviidd )(dd22 iiiirmtf有有 )(dd22mrmtmfiiii m 总质量总质量. 上上 页页下下 页页结结 束束返返

9、回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律令令 mrmriic 质点系中存在一个特殊点质点系中存在一个特殊点c ， 由上式所确定的空间点称质点系的质量中心由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心质心). 在直角坐标系质心坐标为在直角坐标系质心坐标为 mxmxiic mymyiic mzmziic 对由两个质点组成的质点系，有对由两个质点组成的质点系，有 212211mmxmxmxc 212211mmymymyc 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律2112mmxxxxcc 2112mmyyyycc 质心必位于质心必位于m1与与m

10、2的连线上，且质心与各质点的连线上，且质心与各质点距离与质点质量成反比距离与质点质量成反比.动画演示动画演示上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律例题例题3 一质点系包括三质点，质量为一质点系包括三质点，质量为 和和 ，位置坐标各为，位置坐标各为 求质心坐标求质心坐标.单位单位11 m单位单位22 m单位单位33 m)2 , 1()1 , 1(),2, 1(321mmm和和 解解 质心坐标质心坐标11232312)2(1012313)1(2)1(1 ccyx质心在图中的质心在图中的 * 处处.212211mmxmxmxc 212211mmymy

11、myc oxym1m3m2*c上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律2.质心运动定理质心运动定理 cciiiiamtrmmrmtmf 2222dd)(dd即即 ciamf 质心运动定理质心运动定理 质心的行为与一个质点相同质心的行为与一个质点相同.注：注： 在动力学上在动力学上,质心是整个质心是整个质点系的代表点，质心的运动质点系的代表点，质心的运动只决定于系统的外力，内力不只决定于系统的外力，内力不影响质心的运动影响质心的运动.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律(1)质心不是质点位矢的平均

12、值，而是带权平均值，质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值，因与因与m有关，所以是动力学概念有关，所以是动力学概念. 3.说明：说明：推论：推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几何中心何中心. (2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与质心与体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关.质心质心是质点系全部质量和动量的集中点；是质点系全部质量和动量的集中点；重心重心是重力的合力的作用点是重力的合力的作用点. 质心的意义比重心的意义更广泛更基本质心的意义比重心的意义更广泛更基本

13、.(3) 质心与重心的区别质心与重心的区别上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律例题例题4三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样跳伞跳伞.由于作了某种动作，运动员由于作了某种动作，运动员d 质心加速度为质心加速度为 铅直向下；运动员铅直向下；运动员 a 质心加速度为质心加速度为 ，与铅直方向，与铅直方向成成 ，加速度均以地球为参考系，加速度均以地球为参考系.求运动员求运动员b 的的质心加速度质心加速度. 运动员所在高度的重力加速度为运动员所在高度的重力加速度为g. 运动员运动员出机舱后很长时间才张伞，不

14、计空气阻力出机舱后很长时间才张伞，不计空气阻力.g54g5630 aaaddabba上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律解解 将三运动员简化为质点系，受外力只有重力，将三运动员简化为质点系，受外力只有重力，w表表示各运动员所受重力示各运动员所受重力. 建立直角坐标系，建立直角坐标系，m表示各运动表示各运动员质量，根据质心运动定理，员质量，根据质心运动定理，mrmrmrmtmtrmwdbac3dd3dd332222 gaaadba3 表示各运动员质心的加速度表示各运动员质心的加速度.将上式投影将上式投影dbaaaa,gggayb330cos5654 030sin56 gaxb上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第三章第三章 动量动量 牛顿运动定律牛顿运动定律gayb)3311(51 0227arctan bybxaa 或或得得gaxb53 gaaayxbbb31. 122 aaaddabbaxyowww上上 页页下下 页页结结 束束返