[人教A版数学选修2-3]1.2.1《排列(一)

1、第第1章计数原理章计数原理1.2.1 1.2.1 排列（一）排列（一） 第第1章计数原理章计数原理 在在1.1节的例节的例9中我们看到中我们看到,用分步乘用分步乘法计数原理解决这个问题时法计数原理解决这个问题时,因做了因做了一些重复性工作而显得繁琐一些重复性工作而显得繁琐,能否对能否对这一类计数问题给出一种简捷的方这一类计数问题给出一种简捷的方法呢法呢?第第1章计数原理章计数原理探究：探究：问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法

2、？午的活动，有多少种不同的选法？问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？上面两个问题有什么共同特征？可以用上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？怎样的数学模型来刻画？第第1章计数原理章计数原理探究：探究：问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？午的活动，有多少种不同的选法？分析：分析：把题目

3、转化为从甲、乙、丙把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名，名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？顺序排列，求一共有多少种不同的排法？ 第第1章计数原理章计数原理上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：确定参加上午活动的同学即从第一步：确定参加上午活动的同学即从3 3名中任名中任 选选1 1名，有名，有3 3种选法种选法. .第二步：确定参加下午活动的同学，有第二步：确定参加下午活动的同学，有2 2种方法种方法根据分步计数原理：根据分步计数原理：3

4、32=6 2=6 即共即共6 6种方法。种方法。第第1章计数原理章计数原理把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,于是问于是问题就可以叙述为：题就可以叙述为： 从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb第第1章计数原理章计数原理问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？123444

5、3322444333111244431112224333111222 从从4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3个，然后按照一定的顺个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，312，31

6、4，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。第第1章计数原理章计数原理思考思考1 1：上述两个事例都可归结为排列问题，一上述两个事例都可归结为排列问题，一般地，排列是什么概念？般地，排列是什么概念？ 从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从定的顺序排成一列，叫做从 n n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个排列个元素的一个排列. . 思考思考2 2：在同一个排列中是否有相同的元素？元素在同一个排列中是否有相同的元素？元素相同的两个排列是否相同？两个排列相同的充要相同的两个排列是否

7、相同？两个排列相同的充要条件是什么？条件是什么？两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同相同. .第第1章计数原理章计数原理基本概念基本概念1、排列：、排列：一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m (m n)个个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个排列。个元素的一个排列。说明：说明：1 1、元素不能重复。、元素不能重复。n n个中不能重复，个中不能重复，m m个中也不能重复。个中也不能重复。2 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断

8、一个问题是就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。否是排列问题的关键。3 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。而且元素的排列顺序也完全相同。4 4、m mn n时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，m mn n时的排列叫全排列。时的排列叫全排列。5 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图树形图”。例例1 1、下列问题中哪些是排列问题？、下列问题中哪些是排列问题？（1 1）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生

9、开会名学生开会（2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长（3 3）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘（4 4）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除（5 5）以圆上的）以圆上的1010个点为端点作弦个点为端点作弦（6 6）以圆上的）以圆上的1010个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线（7 7）有）有1010个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？（8 8）有）有1010个车站，共需要多少种不同的票价？个车站，共需要多少种不同的

10、票价？第第1章计数原理章计数原理2、排列数：、排列数： 从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n n个不同的元素中个不同的元素中取出取出m m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。mnA“排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联有什么区别和联系？系？排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；mn“排列数”是指从 个不同元素中，任取个元素的mnA所以符号只表示nm“一个排列”是指：从个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素第第1章计数原理章计数原理233 2

11、6A 问题中是求从个不同元素中取出个元素的问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为排列数，记为 ,已经算得已经算得23A344 3 224A 问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个元素的排列数，记为，已经算出排列数，记为，已经算出34A探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？2nA呢呢？mnA呢呢？3nA 第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n种种(n-1)种种(n-2)种种(n-m+1)种种2(1)nAn n3(1)(2)nAn nn(1)(2)(1)mnAn nnnm(1)(1)

12、排列数公式（排列数公式（1 1）：）：)*,)(1() 2)(1(nmNnmmnnnnAmn当当m mn n时，时，123) 2)(1(nnnAnn正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n n的阶乘，用的阶乘，用 表示。表示。! nn n个不同元素的全排列公式：个不同元素的全排列公式：! nAnn(2)(2)排列数公式（排列数公式（2 2）：）：)!(!mnnAmn说明：说明：1 1、排列数、排列数公式公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。的第一个常用来计算，第二个常用来证明。为了使当为了使当m mn n时上面的公式也成立，规定：时上面的公式也成立，规定：1! 0 2 2

13、、对于、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。件。nm特点：共有特点：共有m个因数相乘，最大的一个个因数相乘，最大的一个因数是因数是n n，各因数为连续正整数等，各因数为连续正整数等. .例例1 1、计算：、计算：（1 1）（2 2）（3 3）48A66A316A例例2 2、解方程：、解方程：232100 xxAA 例例3 3、求证：、求证：11mnmnmnmAAA例例5 5、求、求 的值的值. .1432nnnAA17 16 155 4mnA 例例4 4若，则m ，n 1714第第1章计数原理章计数原理325454AA1 1计算：（计算：（1）

14、12344444AAAA（2）课堂练习课堂练习2从从4种蔬菜品种中选出种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的种，分别种植在不同土质的3块土地块土地上进行试验，有上进行试验，有种不同的种植方法？种不同的种植方法？4信号兵用信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能面，最多能打出不同的信号有（打出不同的信号有（ ）D.27种 C.6种 种 B.3 种1 .A3483443455452435 AA348643从参加乒乓球团体比赛的从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出名运动员中选出3名进行某场比赛，名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有并排定他们的出

15、场顺序，有种不同的方法？种不同的方法？64123423434444342414AAAA24602423434A6034535AC612333A第第1章计数原理章计数原理 5. 5.（1 1）从）从5 5本不同的书中选本不同的书中选3 3本送给本送给3 3名同学，每人各名同学，每人各1 1本，共有多少种不同的本，共有多少种不同的送法？送法？ （2 2）从）从5 5种不同的书中买种不同的书中买3 3本送给本送给3 3名同名同学，每人各学，每人各1 1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？ 3560A=( (种种) )35125=( (种种) )第第1章计数原理章计数原理 排列问题，是

16、取出排列问题，是取出m个元素后，还要按一定个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要个元素，只要，就视为完成这件事的两种不，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）同的方法（两个不同的排列） 由排列的定义可知，由排列的定义可知，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较少时，可以根据排列的意义写出题当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列所有的排列 第第1章计数原理章计数原理 1.判断一件事是否为排列关键有两个要判断一件事是否为排列关键有两个要素，一是取出的元素要考虑顺序，二是素，一是取出的元素要考虑顺序，二是事件中没有重复元素，否则就不能按排事件中没有重复元素，否则就不能按排列原理求方法数列原理求方法数. 2.排列与排列数是两个不同的概念，前排列与排列数是两个不同的概念，前者是指按照一定顺序排成的一列元素，者是指按照一定顺序排成