线性代数矩阵PPT学习教案

1、会计学1线性代数矩阵线性代数矩阵2矩阵也可以简记为或m n(1,2,1,2, )ijaim jnmn111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaAm nA ijaij()ija()ijm na mnm nAm n第1页/共73页3称为列矩阵或列向量1m12()nAa aa= =L12(,)nAa aa= =L1n mbbbB21第2页/共73页4，Om n000000000m nOnnAnn第3页/共73页5为零的 阶方阵称为阶对角矩阵，即111212122212nnnnnnnaaaaaaAAaaa1122,nnaaan1122,nnaaannnn0 (; ,1,2, )ijaij

2、 i jn第4页/共73页612120000diag( ,)00nnaaa aaa 或12naaa其中未写出的元素全为零第5页/共73页7n1(1,2, )iiain0 (; ,1,2, ),ijaij i jnnn100010001nEE111第6页/共73页8k000000kkkEkkkknnn第7页/共73页9第8页/共73页10mn ()ijAa= =()ijBb= =ABCAB= =+ +mn CAB= =+ +111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababababab()ijijab= =+ +第9页/共73页11305,147A3

3、12,435B12 .3C 1275316573441251033BACA第10页/共73页12n的负矩阵，显然有mn AAmn A111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa1A- -= =()ija- -()AAO+ + - -= =A第11页/共73页13n6()ABAB- -= =+ + - -ABBA()()ABCABCAOA+ += =()()AA ()AAA()ABAB第12页/共73页1432,15A11127B32AXBX3A32AXB111322332715XBA1119627273 1558第13页/共73页1512712712585242X第14页/共73页

4、16()ijAam l()ijBblnABm n()ijCc1 1221(1,2,;1,2, )ijijijilljlikkjkca ba ba ba bim jnCAB= =第15页/共73页17101,113A113121430BAB034101121113311CAB3143239101041033006210523第16页/共73页182142A6342BABBA168321663422142AB000021426342BA第17页/共73页1912()nAa aaT12( ,)nBb bbABBA12121 12 2()nn nnbbABa aaaba ba bb1niiiab121

5、2()nnbbBAa aab， nnnnnnababababababababab212221212111第18页/共73页20()()AB CA BC(),()AB CAB AC B C A BA CA()()()ABA BABAm nmm nm nE AAm nnm nAEAEAAEA第19页/共73页21AnnnAA AA 个n0AEnAklk lA AA()( ,klklAAk l)nAB()kkkABA B第20页/共73页22n（1）；m n()ijAan mATAA1121112222T12mmnnmnaaaaaaAaaaTT()AA；第21页/共73页23TTT()ABABTT(

6、)AATTT()ABB A102324171,231102BAT()AB1013173140102324171231102AB第22页/共73页24T017()1413310ABTTT()ABB A1031314170213012131027241 第23页/共73页25对角线上的元素全为零AnTAAA), 2 , 1,(njiaajiijTAA A ijjiaaij0iia第24页/共73页26阵） ；n（3）nAAdet AAA111212122212detnnnnnnaaaaaaAaaaTAAnAA(AnABA BBA第25页/共73页27)(ijaA ijaija()ijAaAAABB

7、ABAAABAAB 第26页/共73页28第27页/共73页29AnBABBAEnABAAAA1A11()AAT11 T()()AAATA第28页/共73页30AA111()(0)AA；B111()ABB AAAB第29页/共73页31称为矩阵的伴随矩阵. A1An111212122212nnnnnnaaaaaaAaaaAijAnnnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*第30页/共73页32An*AEAAAAA*AA0A1*1AAAn)(EBAEAB1 AB第31页/共73页33502613803AA1A0152831502613803A第32页/共73页34A86180,

8、05080, 55061312111AAA66383, 15283, 35263322212AAA31303, 00203, 20213332313AAA302613805*A第33页/共73页35右乘上式，*11AAA30261380530261380511,502613803A,3512B130231C XCAXB 1A1B1A1B第34页/共73页36111111()A AXBBAAXB BA CB11CBAXA3026138051A01BB25131B第35页/共73页3711CBAX2513130231302613805712761728251391115232329第36页/共73

9、页38第37页/共73页39块矩阵Am nAA第38页/共73页40AB11111111,ssrrsrrsAABBABAABBijAijB(1,2, ;1,2, )ir js11111111ssrrrsrsABABABABAB第39页/共73页411111srrsAAAAA1111srrsAAAAA第40页/共73页42的列的分法与矩阵的行的分法一致，则Am lBln11111111,trsstttrAABBABAABB12,(1,2, )iiitAAA is12,(1,2, )jjtjBBBjrAB1111rssrCCABCC第41页/共73页4311221tijijijittjikkjkC

10、A BA BA BA B(1,2, ;1,2, ).is jr1000101001001201,1210104111011120ABAB第42页/共73页44AB11000010012101101EOAAE1121221010120110411120BEBBB第43页/共73页4511111212211121122EOBEBEABAEBBA BBAB111211210102411121111ABB122124133112031AB10101010120112012433243311311131AB第44页/共73页46且非零子块均为方阵，1111,rssrAAAAATT111TTT1srsrA

11、AAAAAnA第45页/共73页4712sAOOOAOAOOA12sAAAA(1,2, )iA isA12sAA AA第46页/共73页480(1,2, )iAis0A 111121sAOOOAOAOOA111121sAAAA 第47页/共73页49500031021A1AA12500031021AOAOA11115,5AA1223111,2123AA第48页/共73页50110010055011011023023A第49页/共73页51第50页/共73页52所有元素的 倍加到另一行对应元素上（第 行的倍加到行上，记为）, i jijrrkiikrkkjkiijrkr第51页/共73页53为矩

12、阵的等价具有以下性质：n（1）自反性：；（2）对称性：若则；（3）传递性：若，则ijccikcijckcBAABABAAABBABC.ACAB第52页/共73页54全为零，称此行阶梯形矩阵为行最简形矩阵（3）若矩阵的左上角为一个阶单位阵，其余元素全为零，即m nrrm nEOOO第53页/共73页55, ,m n rr第54页/共73页56( , )E i jijEE, i j11011( , )11011ijijE i jE第行第行第55页/共73页57行（第 列乘 加到第 列）所得的矩阵，( ( )E i k( )iE kEik11( ( )( )11iiE i kE kk第 行( , (

13、 )E i j k( )ijE kEjkiikj第56页/共73页5811( , ( )( )11ijikE i j kEkj第 行第行1( , )( , );E i jE i j11( ( )( ( );E i kE ik1( , ( )( , ().E i j kE i jk第57页/共73页59得推论推论1 阶可逆阵必等价于单位矩阵推论推论2 若方阵可逆，则存在有限个初等矩阵，使Am nAmnAAA12,sP PP12,tQ QQAm nmn1111rssttEOPPPAQQ QOOnEnA12,lP PP12lAPPPA第58页/共73页60m nABmPnQPAQB1AEEA有限次初

14、等列变换123221343A1A例例16 设第59页/共73页61221331123100123100221010025210343001026301rrrrAE2131253223102110100132025210020365001111001111rrrrrrrr2 ( 2)( 1)310013235010322001111rr 第60页/共73页62113235322111A 第61页/共73页63XAXB412221,311A1322.31BA1XA B13412131012222122221223113131131rrAB232131232231012210122023660129

15、501295001124rrrrrrrr第62页/共73页64132332( 1)100102010153001124rrrrr 所以 102153124X 第63页/共73页65第64页/共73页66称 数为 矩 阵的 秩 ， 记为并规定零矩阵的秩为零Am nA(1min, )km nk2kkAkkkAkAk1r Dr( )R Arm nADArA第65页/共73页67Am n( )min , R Am nT( )()R AR A()( ) (0)R kAR Ak()()()R ABR AR B( )( )()min( ),( )R AR BkR ABR A R BAm kBkn第66页/共73页68满秩矩阵，则AB( )( )R AR BAn1( )()R AR AnrEOAOO( )R ArAAm nBCmn推论推论3 设为()( );R BAR A()();R ACR A()( ).R BACR A第67页/共73页6932050323612015316414AAA1424314123320501641432361043112015301297111641401612812rrrrrrrrA第68页/共73页70324342341641416414043110431100048000480004800000rrrrrr所以. 3)(AR第69页/共73页71或nn