可靠性工程与风险评估数学基础ppt课件

1、第二章 概率统计根底第一节 随机变量的数字特征 数学期望简称期望或称为均值。1kkkpxkkkpx1 XEx假设随机变量x是离散型，它的分布律为 1kkkpxXE, 2 , 1kNoImage,kkpxXP假设级数 绝对收敛,那么称级数 为的数学期望，记为 。(2-1) 对于概率密度函数为 的延续型随机变量x，假设积分 xfx dxxxfx(2-2)绝对收敛，那么称此积分为x的数学期望，记为 xE 1kkxkpxfxxE假设y是随机变量x的函数yg(x)(f是延续实函数)，且x是离散型随机变量，它的分布律为, 2 , 1,kxXPpkk假设 绝对收敛，kkkpxg1那么有 xkkpxgXgEY

2、E1(2-3)假设x是延续型随机变量，它的概率密度函数为且 绝对收敛，那么有 xfx dxxfxgXgEYExkkpxg二、方差是用来度量随机变量与其数学期望的偏离程度的。对于离散型随机变量X，假设其分布律为, 2 , 1,kpxXPkk kkkpXExXD21那么方差的表达式为(2-4)(2-5) 式中 假设X是具有概率密度函数为 的延续型随机变量，那么方差的表达式为 xfx 522xExEdxxfxExXDx dxxfXEx2 方差的平方根称为随机变量的规范差或均方差。它是与随机变量X具有一样量纲的量，记为 有 (2-6)(2-7)x XDx(2-8) 衡量随机变量离散程度的另一参量是变异

3、系数，定义为： XECxx它是无量纲系数。 描画随机变量概率分布对称程度用歪扭系数。定义为：2-9 kkkxpXExXEXE31312-10式中 随机变量x的三次中心矩。对于离散型随机变量X，可表示为： 3XEXE kkkpXExXEXE3132-11对于延续型随机变量x，三次中心矩为： dxxfXExXEXEx332-12图2l示出歪扭系数值为零、为正和为负时的概率密度函数曲线。 正态分布是运用最为广泛的一种分布。许多自然景象可用正态分布来描画。当研讨对象的随机性，是由很多互不相关的随机要素之和所引起的，每一个随机要素又都不是控制要素，这类问题普通都服从正态分布。例如，在可靠性分析中，资料的

4、强度、零部件的加工尺寸和寿命常服从正态分布。 正态分布的概率密度函数可用下式表示，X为延续型随机变量。xxfxxxx,21exp212第二节 常用的概率分布一、正态分布2-20累积概率分布函数为： dxxxFxxxxx221exp21式中x随机变量均值x规范差，x XDx 正态分布可记为 。 数值的大小表征分布曲线中心线间隔坐标基准点的位置，而 数值的大小那么表征随机变量离散的程度、或者分布曲线的陡坦程度。参阅图22。xxN,xx2-21图22 正态分布概率密度函数21, 0 xx0 x1x1, 3xx 当 时，称X服从规范正态分布。1, 0 xx记为N(0,1)。概率密度函数和累积分布函数分

5、 xx xx规范正态分布别用 和 表示，即 dxxxxxxxxx2exp21,2exp21222-222-23二.对数正态分布 随机变量的正态分布具有对称性。但在许多工程实 设延续性随机变量X的自然对数呈正态分布，那么称X函数分别为：服从对数正态分布。它的概率密度函数和累积概率分布时间等随机变量经常采用的分布。是描画资料强度、疲劳寿命、构造几何尺寸和工程完成正态分布是许多不对称概率分布中最为重要的一种。它际问题中，事件的随机变量分布往往是不对称的。对数 式中XXEln,lnXXDln,ln的均值；的规范差 dxxxbXaPxxxxfbax22ln21exp210 ,ln21exp212-262

6、-27对数正态分布概率密度函数的图形示如图：对数正态分布的统计参量可求之如下。令： 随机变量X的均值由式(2-2)求得： yexxy即,ln xdyydxxxxdxxxfxExx2221exp21ln21exp2221exp上式中 括号内为正态概率分布函数 ， 的总和，其值为1。因此有： 2N221lnx2-28式(228)表示的均值 、随机变量X的均值 与 的方差 之间的关系。 xXln 2根据式(26)，有 22XEXEXD2222exp21exp2exp21dyyyXE 1212exp2exp2222eXDx故由此得 2221ln1lnxxCXD2-29式中 为变异系数，见式(29)。假

7、设 ，那么因此得：xC3 . 0 xC xxxxXDC2-30 伽玛分布常用于构造接受风、雪载荷、活载荷以及某些焊接热影响区外表裂纹尺寸分布等。 随机变量X具有如下的概率密度函数时称为伽玛分布。 0,1xkexxfxkkx2-34式中的和k是两个参数； 。当为正整数时， 01duekk 。!1kk三、伽玛分布累积概率分布函数为： dxkexxFxxkx01伽玛分布的统计参量可求之如下： kkkdxkexxdxxxfXExkxx10102-36 22222012221kkkkxdkexXEXExDxxkx2-37 该图为伽玛分布的概率密度函数曲线图： 四、威布尔分布 1.三参数威布尔分布：概率密

8、度函数为 0,exp1ttttft累积概率分布函数： 0,exp1tttFt式中 外形参数；尺度参数：可记为 特征参数；,0t位置参数。在疲劳强度实验中，威布尔分布函数中的时间t用疲劳寿命N(循环数)替代。这是威布尔分布函数可以写成如下方式。 0000010exp1expNNNNNFNNNNNNNNNfaNaaN式中0NNoImageaN最小寿命，循环数；特征寿命，循环数。2.二参数威布尔分布 ttFtttfttexp1exp1在疲劳强度实验中， aNaaNNNNFNNNNNfexp1exp1 以下图为威布尔分布的概率密度函数：时间t外形参数 对威布尔分布概率密度函数的影响。 tR t111求

9、得不同的值，就可以判别引起失效的控制过程。情况，反映耗损寿命期、即老化衰竭景象。根据实验失效过程； ，曲线表示失效随时间添加而递增的特征； 时，曲线表示了失效率为常量，描画偶尔效随时间添加而减少的情况，亦即反映了早期失效的率 的影响示如图27，当 ，这时曲线表示失这里 取值为零。外形参数对可靠度 和失效时间ta.威布尔可靠度函数b.威布尔失效率时间t 五、指数分布 设备最正确任务期称为偶尔失效期，其失效率与时间无关、坚持为定值。在这期间，没有一种失效要素对失效起主导作用，失效纯属偶尔。根据方程(18)，当 常量时，有： t tttttetFetfetR12-51式(251)表示指数分布的概率函

10、数。图28为指数分布概率密度函数图。指数分布中随机变量的数学期望(均值)和方差如下： 220222220111dtetTETDdtetTEttttt2-52指数分布概率密度函数六、极值分布 极值分布是一种特殊的分布，适用于寿命分析和应力分析。当安装或零部件中存在有缺陷或杂质时，假设正是这些缺陷或杂质决议了安装或零部件的寿命，那么具有最大杂质或缺陷的部分就决议了安装或零部件的寿命。除此以外，能够施加在安装或零部件上的应力，如最大冲击、最大风裁荷等决议其寿命者，亦属极值分布。 极大值、极小值分布在许多实践问题中，起着重要的作用。 假设 是独立随机变它们有一样的分布函数 。 niXi, 2 , 1

11、xFx极大值(M)分布函数为： zXzXzXPzMPzFnx,21 ninizFzXP1假设 相应的概率密度函数为 ，那么 相应 zF zf2-54 zFM zfzFnzfnM1的概率密度函数为：极小值(N)分布函数为：zXzXzXPzNPn,21 ninizFzXP11 nNzFzNPzF111故2-552-562-57极值型最小值的累积概率分布函数为：概率密度函数为： zfzFnzfnN11 Gumbel研讨了极大值、极小值分布的性质，从实际上得出了极值分布的三种类型：极值型、极值型、极值型。极值型最大值的累积概率分布函数为： xkxaxFx,expexp xkxaxFx,expexp1上

12、式中，a、k是参量。2-592-602-58式中，a、k的是参量。极值型中随机变量的数学期望(均值)和方差为：aakxx/282. 1/577. 02-612-62极值型、最大值型的累积概率分布函数为： 0,/expxxaxFRx2-63随机变量的数学期望(均值)和方差为：2,11211,11222kkkakkaxx2-642-65极值型、最小值的累积概率分布函数为： 0,/exp1xaxxFkx式中的a、k是参量。随机变量的数学期望(均值和方差为：kkakaxx112111222(2-66)(2-67)(2-68)第三节统计推断 客观世界的总体普通多可以用随机变量来模拟。而这种随机景象的数量

13、规律是从大量实践事件中总结出来的。要得到这一规律，人们不能够从随机景象的全部事件进展观测和分析，只能对它们作有限数量的观测和分析。从部分的观测来估计和分析整体的随机规律性，要用统计推断的方法。统计推断法是根据对子样的观测来推断母体的情况。它是一种推测性判别的方法。 所谓母体，指的是研讨对象的全体。譬如，我们研讨某种资料的断裂韧性，那么它就是一个母体。又如我们研讨的是零部件加工尺寸的误差，那么这个零部件某个尺寸的一切误差就是一个母体。因此，母体可以是尺寸、寿命、时间等表征研讨对象某种性质的数量的全体。 从母体中抽取一个个体做实验或者进展察看，这个抽出的个体称为样品、或者子样。 设 是从母体中抽取

14、n个样品，它称为容量等于n的一个子样。子样含有母体的各种信息，它是非常珍贵的。为了充分地利用子样所含有的各种信息，经常把子样表示成一个或m个函数：nXXX,21nmnnXXXgXXXgXXXg,21212211这些函数普通是延续函数，并且不含有未知参数。这种不含未知参数的子样函数称为统计量。常用的统汁量有：niiXnX11子样均值子样均值21211niiXXnS的正平方根称为子样的规范差或子样的均方差。2S子样的K阶矩2 , 1,11KXnMniKiK子样的K阶中心矩2 , 1,11KXXnMKniiK何为置信度 既然统计推断法是一种推测性判别的方法，所以结果可以信任程度的标志。人为给定，如0

15、.1，0.05等。置信度就是衡量推测判别显著程度或称风险度系数。它的数值根据要求的精度中称之为置信度。常用(1-a)表示置信度，其中。a称为的把握，因此这里存在可信任程度问题。在数理统计对于这种方法所获得的结果就不能够有百分之百正确 按照可靠性工程分析的需求，本节拟择统计推断有关内容作简要表达。一、分布顺应性检验 系统、安装或零部件往往需求从它们失效数据中提供适当的分布函数，亦即，对失效分布作出假设，然后再对这种假设的正确性作出检验。1 检验法2x 设母体的分布函数为 ，利用从此母体中抽取的子样，检验假设 ，即： xF0H xFxF0其中为某知分布函数。为寻觅检验的统计量，首先将母体X的取值范

16、围分成m个区间 mmaaaaaa,12110要求 是分布函数 的延续点。令 表示母体X的子样 ，落入第i个区间的概率，记作ia xF0ipnXXX,21 。miaFaFpiii, 2 , 1,100假设子样的容量为n，那么 是随机变量X落入 区间的实际频数。倘假设n个察看值中落入此区间的实践频数为 ，那么当成立时， 应是较小的值。因此这些量的和可以用来检验能否成立。inpiiaa,1in2iinpn 皮尔逊定理。如 成立，当 时，有0Hnmiiiinpnpnx1220它是自在度为m-1的分布，此值越小表示实际计算值对观测值的顺应性越好。2柯尔莫哥洛夫一斯米尔洛夫检验法 假设其中 是延续型分布的

17、知函数。检验此假设能否为真，所用的统计量是 xFxFH00: xF0 xFxFDnxn0sup其中 是容量为的子样的阅历分布函数，是一个阶梯形函数。令 是子样 按数值大小次序陈列的统计量。那么 xFn nXXX21nXXX,21 10nixFn niiXxXxXXx11 K-S 检验法是在子样的每个次序统计量 上，求子祥阅历分布函数和分布函数之间的偏向中大的一个。即求 iX iiiXFniniXFd00,1maxni, 2 , 1这是由于 和 都是 的单调非降函数，所以式(280a)表示的偏向上确界可在个点处寻求。求得n个 中最大的一个就是K-S检验统计量 的取值。 xFn xF0 xidnD

18、 从图29可以看出，当 较小时， 与 适放性较好当 较大时， 与 顺应性不好。K-S检验法的检验规范如下：nD xFn xF0nD xFn xF0;,;,00HanDDHanDDnn时，接受时，拒绝式中 为在给定显著性程度和子样容量n下的KS检验临界值或记作 。参阅附表4。anD,anD,图29 K-S检验法中函数的拟合 二、概率分布中的参数估计 在可靠性分析中，除了分布面数的顺应性外，还必需对母体分布的参数进展估计。 对于参数估计，经常遇到三种情况：随机变量X的母体分布函数 未知，需求求它的数学期望 和方差 ；随机变量X的母体分布函数的方式知，但含有未知参数 ，譬如式(252)中指数分布的概

19、率密度函数 ，其中未知参数，要求确定 值；随机变量x的分布方式知，但是其数字特征值均不知道，如产品的某项目的服从正态分布 ，而都是未知的，需求进展估计。 xF XE xD, xF,N 根据实践问题的需求，处理参数估计问题有两种方法：点估计与区间估计。 对于点估计的要求是，无偏性、一致性和有效性。而区间估计那么要求得到未知参数的估计值与此参数真值的差包在一定范围的概率之内。 设是未知参数，它可以是分布中的参数成各种可靠性目的。设 是容量为n的一个子样，取子样的一个函数 作为未知参数的估计值，称之为点估计值。这是由于 当一定时， 是一个数、或点。点估计值将表示未知参数大致是多少给出明确的数量概念。

20、但是，由于这种估计值不能反映所得结果的可信程度。因此，往往援用参数值所在的区间去补偿仅仅一点的估计值。这种区间称之为置信区间这种方法称为区间估计法。nXXX,21nXXX,21nXXX,21下面表达几种主要的参数估计方法。 运用各种分布的概率坐标纸可以对有关分布的参数进展图解估计。常用的概率坐标纸有正态概率坐标纸，对数正态概率坐标纸，威布尔概率坐标纸和极值概率坐标纸等。概率坐标纸的横坐标普通取子样的观测值，纵坐标那么取对应子样观测值的累积概率分布因数，图解法的优点在于简便，但准确度不够，能够有一定误差。倘假设对参数估计的要求较高，往往将图解法与参数的统计估结合起采，这样可以到达较好的效果。图解

21、祛详细内容详见资料2。1图解法 2矩法 矩法就是用子样的各阶矩或中心矩去估计母体的各阶矩或中心矩。 母体X的k次方的数学期望 称为母体的k阶矩，母体X对其数学期望 的偏向的次方的数学期望称为母体的k阶中心矩。显然，母体的一阶矩就是母体的数学期望，母体的二阶中心矩就是母体的方差。kXE XE 设是来自某母体的一个子样，那么子样的k阶矩 和k阶中心矩 可以定义为：kkkniiknikikXXnXn1111和显然，子样的各种矩反映了母体各种矩的特征。3最小二乘法(详细见书中例题4最大似然法 点估计最常用的方法是最大似然法。这种方法可以直接提供获得参数的点估计值，且具有较小的偏向。 当母体的分布类型巳知时，设分布函数的待定参数为 ，它可以取很多值，在这些诸多能够值中选出一个使子样察看结果出现的概率值为最大，作为 的估计量，用符号 表示之，称 为的最大似然估计。 设母体为离散型分布。随机变量X取值为x的概率(母体分布列)按以下方式表示：;xXPxp其中 为未知参数