武康平高级微观经济学消费最优化PPT学习教案

1、会计学1武康平高级微观经济学消费最优化武康平高级微观经济学消费最优化2n效用最大化n支出最小化n效用与支出的对偶n消费者均衡第1页/共40页3任何人都希望最大化自己的效用而非最小，这是经济学的先验命题。从古典经济学、到新古典经济学，再到当代主流经济学，经济学家们无不接受、继承和发展这一命题，效用最大化问题得到了越来越深入的研究。 一方面，人们的欲望无止境，其需要没有满足的时候，经济学无法对如何满足人们无止境的欲望问题作出解释。 另一方面，任何人都处在一定的客观环境中，客观条件必然对人们的选择行为带来一定限制。比如，人们需要商品，但必须能够卖得起。 消费者受到的种种限制，虽然影响着选择，但也使得

2、效用最大化问题有了解决途径服从约束条件的效用最大化。l 理性消费者正是在服从种种条件限制的情况下理性消费者正是在服从种种条件限制的情况下, 选择自己选择自己最满意的消费方案最满意的消费方案。这就是效用最大化效用最大化。 第2页/共40页4设消费集合为 ，价格体系为 ，消费者收入为 r。消费者进行选择时，要受到客观条件与经济条件的限制。RXRp 客观条件限制客观条件限制：包括政策、法规、生理、环境等非经济因素对消费选择的制约，这些制约因素划出了允许消费者选择的范围，即消费集合 X 。因此，客观条件限制可表示为 xX 。 经济条件限制经济条件限制：主要是价格与收入的制约，消费者必须在收入允许下进行

3、选择。因此，经济条件限制可表示为 p x r。 理性消费者不偷、不抢、不骗，可赊账或借款消费。但这不意味着可免费消费，天下没有免费的午餐。 赊账和借款相当于收入扩大，然后在扩大的收入限制下进行消费选择，并没有没有摆脱经济条件的限制。l 预算约束预算约束：是指由客观条件(xX )和经济条件( p x r)对消费选择共同构成的制约，可表示为：(x X ) ( p x r)。第3页/共40页5n 定理 在X 为下有界闭子集的情况下，对任何价格体系 p 0 及收入 r，预算集合预算集合 ( p, r) 都是有界闭集，从而是紧集是紧集。 证明证明：a = ( a1, a2, a)使得 x a 对一切 x

4、X 成立( X 下有界)。令bi = (r- pa + pi ai) / pi ( i = 1,2, )我们有：0 pi (xi ai) p (x a) r p a 对一切 x ( p, r)成立(p0& x a)，故 pi xi r p a+ pi ai ( i = 1,2, )。可见， a x b = (b1, b2, b)，说明 ( p, r)有界。从 又可知， ( p, r)是闭集。:),(rpxRxXrp预算集合预算集合是指由预算约束确定的消费选择范围，它是 X 的子集 ( p, r) = xX : p x r。超平面 p x = r 叫做预算线预算线。Xp x = r ( (预算线

5、预算线) ) ( p, r)a第4页/共40页6为了维护人民生活，国家建立最低生活保障制度。这种项制度有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先从预算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含义。为了保证消费者在收入限制下能选择到商品，消费者收入就应不低于最低收入标准。所谓最低收入标准最低收入标准，是指在既定价格体系 p 下消费集合X 中的最低支出 I( p) = inf p x: xX 。最最低生活保障制度低生活保障制度是一种让收入 r 不低于 I( p) 的制度，条件 r I( p) 可叫做最低生活保障最低生活保障或最低收入条件最低收入条件或最低支出条件最低支出条件。n 定理 设 X 为

6、消费集合，p 为价格体系，r 为消费者收入。u 如果 X 且 r I( p)，则预算集合非空，即 ( p, r) ；v 如果 X 是非空下有界闭集，p0 且 r I( p)，则 ( p, r)是非空有界闭集 。第5页/共40页7效用最大化效用最大化是指消费者在预算约束的限制下进行最满意的消费。马歇尔从效用最大化出发，导出了消费者需求，即预算集合中消费者认为最好的消费方案消费者最终决定的消费方案，称为马歇尔需求马歇尔需求(向量向量)，简称需求需求(向量向量)。准确地讲，消费者(X , )在价格体系 p 和收入 r 下的(马歇尔)需求集合需求集合D( p, r)，是指( p, r)中最好的消费方案

7、的全体，即D( p, r) = x( p, r): (z( p, r)( z x )。),(rpDx 证明：任意给定 x, yD( p, r)。既然 x 是 ( p, r)中最好的，而 y( p, r)，因此 y x；同理，x y。于是，x y。n 定理 马歇尔需求集合中任何两种方案都无差异：(x, yD( p, r)(x y)。y无差异曲线无差异曲线 ( p, r)X第6页/共40页8虽然从效用最大化出发导出了消费者需求，但有如下的三个基本问题必须回答。 消费者需求是否存在？即需求集合 D( p, r) 是否非空？如果需求集合是空集，那么效用最大化就是空谈。 消费者需求是否唯一？即在 D(

8、p, r) 非空的情况下，D( p, r) 是否是单点集？如果 D( p, r) 不是单点集，那么就会引起消费选择上的不确定，会让消费者“眼花缭乱”。 消费者是否不把收入用完就能实现效用最大化？这是一个有关效用最大化理论是否符合实际现象的重要问题。l 要回答这些问题，涉及到价格收入集合 及其内部 。 价格收入集合价格收入集合 ： 集合集合的内部的内部 ：)() 0( :),()() 0( :),(pIrpRRrppIrpRRrp第7页/共40页9n 定理 设消费者( X , )面临的价格体系为 p ， 收入为r 。u 如果 X 是闭集， 是连续偏好，则D( p, r)是闭集。v 如果 X 是凸

9、集， 是弱凸偏好，则D( p, r)是凸集。w 如果 X 是非空下有界闭集， 连续，p 0 且 r I( p)，则需求集合D( p, r)是非空闭集，从而马歇尔需求存在。 证明证明的关键：一是 ，二是连续偏好在有界非空闭集中有满足。具体证明留作练习。 由此定理可知：理性消费者的马歇尔需求必然存在，即对任何( p, r)，都有 D( p, r) 。),(:),(),(rpxxzXzrprpDl 需求集映需求集映：理性消费者的马歇尔需求确定了一个从 到 X 的对应(取值为非空集合的集值映射)D : X ，称为消费者的需求对应需求对应或需求集映需求集映。第8页/共40页10n 定理 设消费者( X

10、, )面临的价格体系为 p ， 收入为r 。u 如果 X 是凸集， 是严格凸偏好，则D( p, r)是单点集或空集。v 如果 X 是凸集， 内部严格凸，D( p, r) X ，则D( p, r)是单点集或空集。 w 如果 X 是非空下有界凸闭集， 是连续的严格凸偏好，则对任何 ( p, r)，D( p, r)是单点集，即马歇尔需求唯一存在。x 如果 X 是非空下有界凸闭集， 连续且内部严格凸，则对任何 ( p, r)，只要D( p, r) X ，D( p, r) 就是单点集。 证明证明的关键：假如 D( p, r) 中有两种不同方案，那么这两种方案必然无差异，且它们的加权平均必然比这两种方案优

11、，而加权平均依然在预算集合中，这就出现了矛盾：预算集合中出现了比最优方案还要优的方案。矛盾的结论说明， D( p, r)中不可能存在两种不同的方案，即D( p, r)是单点集或空集。第9页/共40页11n 瓦尔拉定律 设 是 X 上无满足的凸偏好，则对任何( p, r) 及 xD( p, r)，都有 p x = r。这一定律可写作 pD( p, r) = r。 证明证明：任意给定 xD( p, r)，则 p x r 。 无满足 ( yX )( y x)，故 p y r。 用反证法，假如 p x r。则在连接 x 与 y 的直线段上必有一点 z 使得 p z = r，如右图所示，故 z( p,

12、r)。偏好的凸性保证了 z x，与 xD( p, r)相矛盾。矛盾的结论说明 p x r ；v 零阶齐次性：( p, r)，t 0，都有 (t p, t r) = ( p, r)；w 瓦尔拉定律：( p, r)，都有 p ( p, r) = r。我们已经看到了严格凸偏好在确定需求中的重要作用：选择明确，毫不含糊。这样，在假设 HC 和 HP 下，消费者需求便得以唯一确定，即下述定理。),(,),(),(),(21rprprprp第12页/共40页14l 间接效用函数间接效用函数：当偏好 是通过效用函数 u 来表达时，需求向量 ( p, r) 的效用值 u( ( p, r) 便代表消费者生活水平

13、。这就确定了一个函数 ： 叫做消费者的间接效用函数间接效用函数。 间接效用是由价格和收入决定的消费者效用水平。 间接效用函数 反映了价格和收入同消费者的实际生活水平之间的关系，是代表实际生活水平的效用函数。l 价格与收入决定马歇尔需求价格与收入决定马歇尔需求，马歇尔需求决定消费者的实马歇尔需求决定消费者的实际生活水平际生活水平。因此因此，价格与收入共同决定消费者的生活水价格与收入共同决定消费者的生活水平平。需求的零阶齐次性表明，名义收入并不能真实反映消费者的生活水平，因为与高名义收入相伴随的高价格，可能并不改变消费者的选择。只有需求向量，才能代表实际生活水平。Ru:),(),(),(rprpu

14、rpuRu:第13页/共40页15现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与销售税的比较，价格补贴发放办法比较。l 问题问题1：销售税与所得税哪一种对消费者更为有利销售税与所得税哪一种对消费者更为有利？ 国家向居民征税有两种办法，一种是征收销售税，另一种是征收所得税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额是一样的。那么，哪一种征税办法对居民会更为有利一些? l 问题问题2：涨价补贴对消费者是否有利涨价补贴对消费者是否有利？ 商品涨价，国家发放价格补贴。一种办法是控制价格，不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消费者会更为有利一些

15、？为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为 p，消费者收入为 r，消费者的选择为 xD( p, r)。第14页/共40页16x 销售税销售税：税率向量 t = ( t1, t2, t)，ti 为购买一单位商品 i 的税额。按 t 征收销售税，相当于价格从 p升为p+t，于是需求从 xD( p, r)变到 yD( p+t, r)，纳税额为 T = t y。注意， y ( p+t, r ) ( p, r)，故 y x。 所得税所得税：把销售税改为所得税，直接从收入r中扣除销售税情况下的税额T = t y，则预算集合变为 ( p, r- T )，消费者选择变为 zD ( p, r- T )。l 比

16、较比较：易见，y( p, r- T )，故 y z。这说明，虽然纳税额相同，但征收所得税要比征收销售税对居民更为有利一些。xyyz( p,r)( p,r)( p+t,r)( p,rT )( p+t,r)第15页/共40页17 不许涨价不许涨价：把补贴发给生产者，不许商品涨价。这种情况下，消费者的选择为 xD( p, r)。 允许涨价允许涨价：把补贴发给消费者，允许商品涨价。假定涨价后，价格体系为q。消费者得到补贴后，收入从r 提高到s，需求向量从 x 变为 yD(q, s)。 补贴标准补贴标准：补贴后，要保证消费者仍可以按照原来的方案进行消费，即补贴 = q x p x，也即 q x = s。

17、l 比较比较：x (q, s)，故 x y。这说明，“涨价 +补贴消费者”要比“不涨价 +补贴生产者”对消费者更为有利一些。 xxy( p,r)( p,r)(q,s)第16页/共40页18任何人都希望在生活水平不变的情况下，让自己的消费支出达到最小而非最大，这也是经济学中的一个先验命题。 支出最小化支出最小化是这样一种经济现象：当消费者面临一种消费方案时，常常还要挑选同样的效用但支出更少的方案。这就是说，消费者首先确定一个效用水平，然后在不低于这个效用水平的前提下使消费支出达到最小。 支出最小化的道理在于货币也是一种具有效用的商品，支付货币就是支付效用。以货币换商品，就是以效用换效用。作为理性

18、消费者，当然想以较少的效用换得较多的效用。 准确地讲，支出最小化支出最小化是指消费者在保证不降低生活水平的前提下，谋求消费支出达到最少。 希克斯从支出最小化出发，分析了消费者的选择，给出了今天称谓的希克斯需求希克斯需求概念。 第17页/共40页19现在按照支出最小化的思路，来分析消费者的选择。假定消费者目前面临着一种可以选择的消费方案为 xX ，商品的价格体系为 p。这样，消费方案 x 的支出便为 p x。 消费者是否选取 x 作为消费行动，取决于是否还有其他不比 x 差的可行消费方案 y能使支出( py)变得更少。如果这样的方案 y 存在，就不会选择 x。至于是否选择 y 作为行动方案，又取

19、决于是否存在不比 x差而支出比 y还少的其他可行消费方案 z。这种选择过程要一直进行下去，直至选不出其他不比 x 差而支出能进一步减少的可行方案。可以看出，每次选择都在集合E(x) = yX : y x 中进行。该集合 E(x) 就称为消费者在方案 x 处的支出集合支出集合，条件“ yE(x)”叫做 x 处的支出约支出约束束。支出集合支出集合xE(x)Xwpw=px第18页/共40页20 e(p,x)与与I(p)的比较的比较e(p,x)：支出集合E(x)上的最小支出；I(p)：消费集合 X 上的最小支出；e(p,x) I(p) 对一切 成立。 等效用等效用，等支出等支出：在既定的价格体系p 下

20、，x y e( p, x) = e( p, y)。 支出函数实则是效用水平的函数支出函数实则是效用水平的函数：支出集合支出集合xE(x)Xwpw=pxn 支出函数支出函数 的定义的定义： 支出函数支出函数 e(p, x) 的意义的意义：支出最小化与 x 相比，在不降低生活水平的条件下，让消费支出达到最小。XRxpxEzpzxpe),()(:min),(RXRe:ypy=e(p,x)pz=I(p)zXRxp),(RRRUpUzupzUpe),()(:min),(第19页/共40页21 鉴于以上原因，考虑支出最小化问题时，通常要求e( p, x) I( p)。这个条件叫做最低支出限制最低支出限制，

21、符合该条件的消费方案的全体是集合 X(p) = xX : e(x,p) I(p)。支出集合支出集合x*E(x)Xy*),(),(*pyypexpepx 当e( p, x)=I( p)时，支出达到消费集合 上的最小支出，再也没有变小的余地。此时，便可能出现这样的情况：存在 x, yX 使得 x y 但 e( p, x) = e( p, y)。这意味着E(x)中的最小支出点 x* (即 px* = e( p, x)和 E( y)中的最小支出点 y*都在X上，如下图所示。在点 x 处，本来 x* 是最优选择，但它位于消费集合边界，失去了“最优”意义：同样支出下，还有更优的消费方案 y*。xy*无差异

22、曲线无差异曲线Xp第20页/共40页22l 关于价格的性质关于价格的性质：任意给定 xX 。 对任何 ，都有 e( p, x) + e( q, x) e( p+q, x)。 对任何 及实数 t 0，都有 e(t p, x) = t e( p, x)。 e( p, x) 是价格 p 的凹函数。l 关于效用水平的性质关于效用水平的性质：任意给定 。 对任何 x, yX ，只要 x y，就有 e( p, x) = e( p, y)。 对任何 x, yX ，只要 x y，就有 e( p, x) e( p, y)。 定理(支出函数的效用性质支出函数的效用性质) 对于理性消费者(X, ) 来说，在任何给定

23、的价格体系 p 0 下，都有下述事实成立：支出函数是关于价格和效用水平的函数，其性质随之分为两类：关于价格的性质，关于效用水平的性质。Rqp,RpRp),(),()()(,ypexpeyxpXyx第21页/共40页23 希克斯需求希克斯需求向量向量：是指在价格体系 p下，在消费计划 xX 处的支出集合 E(x) 中的最小支出点 x*。 希克斯需求向量的确定希克斯需求向量的确定： x*E(x) & p x* = e( p, x)。 希克斯需求集合希克斯需求集合：H( p, x) = yE(x): (zE(x)( p y p z )叫做价格 p 下方案 x 处(或效用水平x上)的希克斯需求集合。l

24、 p 及及 x, yX ，x y H( p, x) = H( p, y)。l p 及 xX ，H( p, x) pH( p, x) = e( p, x)。l 希克斯需求法则希克斯需求法则：希克斯需求与商品价格之间呈反向变动关系，即对任何价格向量 p, q 及任何 zX ，都有(xH( p, z)(yH( q, z) ( ( p q)(x y) 0 )证明证明：注意，x, yE(z)。xH( p, z)说明 p x p y；yH( q, z) 说明 q x q y。因此， p x q x p y q y，即( p q)(x y) 0。RR第22页/共40页24n 存在性定理 如果消费集合 是下有

25、界非空闭子集，并且偏好关系 连续，则对任何价格向量 p 0 及任何 xX ，都有 H( p, x) 。因此，理性消费者的希克斯需求必然存在理性消费者的希克斯需求必然存在。 希克斯需求的存在性是一个基本问题。如果说希克斯需求集合 H( p, x)是空集，那么支出最小化理论便是空谈。证明证明：既然消费集合 X 为下有界非空闭集，偏好 连续且 p 0，那么B = zX : (z x)( pz px)必为非空有界闭集，故存在( z 的)函数 pz 在 B 上的最小值。注意，函数 pz 在 B 上的最小值(点)与在 E(x)上的最小值(点)一致。这就证明了希克斯需求存在。RX x支出集合支出集合E(x)

26、pBH(p,x)pz=pxz第23页/共40页25证明证明：用反证法，假定存在 y, y H( p, x) 使 y y，则 p y = p y = e( p, x) I( p)，故存在 wX 满足 p w p y ，如右图所示( y = 0.5(y+ y)。这样，w x。 的严格凸 y x。 连续 在连接 w 和 y 的线段上存在 z 满足：z x 且 p z I( p) p y I( p) (wX )( p w p y)。显然，w x。偏好 的连续性保证了在连接 w和 y 的线段上，存在点 z 使得 z x。这个点 z可写成：z = t w +(1t)y，其中 0 t 1。注意，zE(x)

27、且 p z = t pw + (1t)py 0”在希克斯需求存在性中不可少； 最低支出条件“e( p, x) I( p)”在希克斯需求唯一性不可少； 这样，联合条件“ p 0 & e( p, x) I( p)”是保证希克斯需求唯一确定的必要条件。鉴于此，我们给出如下专门集合。l 价格消费集合价格消费集合：满足如上联合条件的价格向量与消费方案的组合的全体，即l 希克斯需求集映希克斯需求集映 H：H : X (这是一个对应对应) )(),(0:),(pIxpepXRxp ),()( : )(),(xppzpyxEzxEyxpH第26页/共40页28 根据希克斯需求的存在性和唯一性定理可知，在假设

28、HC 和HP下，希克斯需求集映 H 确定了唯一的一个映射 h: X ：( p, x)( H( p, x)=h( p, x)即 h( p, x) 是 H( p, x) 中的那个唯一的方案。l 这个映射 h: X 叫做消费者的希克斯需求映射希克斯需求映射。l 映射 h: X 的每一个分量函数 hi( p, x) 叫做消费者的希克希克斯需求函数斯需求函数( i = 1,2,)。l 希克斯需求映射 h: X 具有下述三条性质： 零阶齐次性零阶齐次性：对任何( p, x) 及实数 t 0，都有h( t p, x) = h( p, x) 效用不变性效用不变性：对任何( p, x)，都有 h( p, x)

29、x 。 反向变动性反向变动性：在效用水平不变的情况下，需求与价格反向变动，即对任何( p, x), (q, x)，( p q)( h( p, x) h( q, x) 0。第27页/共40页29从表面上看，效用最大化没有考虑支出最小化问题，支出最小化也没有考虑效用最大化问题。其实并非如此，效用最大化与支出最小化是互为对偶的问题。 n 对偶定理 设消费集合 X 是 的下有界非空凸闭子集， 是无满足的连续凸偏好。则对任何 ( p, r) 和 ( p, x)，都有：u (zD( p, r)( zH( p, z)，即效用最大时支出也最小；v (zH( p, x)( zD( p, e( p, x)，即支出

30、最小时效用也最大；w 如果 严格凸, 则 ( p, r) = h( p, ( p, r)且 h( p, x) = ( p, e( p, x)。R 对偶定理表明，马歇尔需求与希克斯需求一致，消费最优化问题既可用效用最大化求解，也可用从支出最小化求解。今后就直接从效用最大化来研究消费者需求，如无特殊说明，需求均指马歇尔需求。zx),(xperX(p,r)第28页/共40页30消费者均衡消费者均衡是指消费者的效用最大化状态。因此，也可把马歇尔需求向量 x*D( p, r) 叫做消费者均衡向量均衡向量。问题是：怎样才能实现均衡？使用效用函数，可以对这个问题作出回答。为了回答怎样实现均衡的问题，将需要根

31、据具体情况，使用如下一些假设中的一个或几个：l 假定商品的价格体系为 p 0，消费者的收入为 r。l 利用效用函数 u(x)，效用最大化问题效用最大化问题可表述为：max u(x) s.t. px rl 在瓦尔拉定律下，可用等式约束“p x = r”来替代不等式约束“p x r” ，从而效用最大化问题效用最大化问题变得更加明确：max u(x) s.t. px = r (X, )是理性消费者是理性消费者： X 满足假设HC， 连续+凸+无满足。 偏好偏好 的的效用函数效用函数 u : X R 满足假设满足假设 HU。 消费者均衡消费者均衡 x* 在消费集合内部实现在消费集合内部实现，即 x*D

32、( p, r) X 。第29页/共40页31 在瓦尔拉定律的保证下，可用拉格朗日乘数法求解效用最大化问题：构造拉格朗日函数L(x, ) = u(x)+(r p x)，设 x*X 是效用最大化问题的解，则存在实数 使得L(x, )在(x*, ) 处的各个一阶偏导数全为零，即 (x*, ) 必然是下述方程组的解：这个方程组叫做效用最大化边际方程边际方程(marginal equation)，其中实数 叫做拉格朗日乘数拉格朗日乘数，简称拉氏乘数拉氏乘数。 利用向量，可把边际方程简写为 。 边际方程的作用在于表达了消费者实现效用最大化的一阶条件。我们将会看到，这个一阶条件不但是必要的，而且是充分的。r

33、xpxpxppxipxuii*22*11*), 2 , 1(*)(rpxpxu*)(第30页/共40页32证明证明：根据拉格朗日乘数法，必存在实数 使得u (x*) = p 且 p x* = r。现在，我们只需证明拉氏乘数 0。注意，定理的条件保证了u(x*) 0。x*D( p, r) X 保证了 u(x*) 0。这是因为对任何 xX，若 x 0。结合 p 0，可知 0。n 定理(必要条件必要条件) 设理性消费者(X, )的效用函数 u: X R 在 X 内部可微且(xX )(u (x) 0)。对任何价格向量 p 0、收入r及向量x*X ，若x*D( p, r) (即x*是消费者的均衡)，则存

34、在实数 0 使得 (x*, ) 满足边际方程：rxppxu*)(第31页/共40页33 边际替代率边际替代率：在消费方案 x 处，商品i 对 j 的边际替代率是指当 i 的消费增加一单位时，在保持效用水平不变的情况下可以减少的 j 的消费量，即 MRSi, j = (d xj/d xi) = ui(x) /uj(x)。 市场交换率市场交换率：商品i 对 j 的市场替代率是指市场上一单位 i 所能换得的 j 的数量，即商品 i 与 j 的价格比 pi /pj。l 替代法则替代法则：均衡时，任何两种商品之间的边际替代率都等于市场交换率，即 。), 2 , 1,(*)(*)(jippxuxujiji

35、增加 i 的消费，减少 j 的消费，方可提高效用。减少 i 的消费，增加 j 的消费，方可提高效用。jijijijippxuxuppxuxu)()()()(第32页/共40页34pxupxupxu*)(*)(*)(2211增加 i 的消费，减少 j 的消费，方可提高效用。减少 i 的消费，增加 j 的消费，方可提高效用。jjiijjiipxupxupxupxu)()()()(如果把边际方程中的效用函数理解为基数效用函数，则边际方程蕴含着更深刻的意义：边际效用均等法则。l 边际效用均等法则边际效用均等法则：均衡时，一单位货币收入不论用于购买哪种商品，所增加的效用都一样；拉格朗日乘数 正是均衡时货

36、币收入的边际效用。即第33页/共40页35n 定理(充分条件充分条件) 设消费集合 X 是 的凸子集，效用函数 u(x) 连续、拟凹且在 X 内部连续可微。对任何价格向量 p 0、收入 r 及消费向量 x*X ，若存在实数 0 使得 (x*, ) 满足边际方程： u (x*) = p & p x* = r，则x*D( p, r)(即x*是均衡)。 R证明证明：从 u(x) 的连续性和拟凹性可知， u(x) 弱拟凹。要证明 x*D( p, r)，就是要证明(xX )(u(x) u(x*) (p x r)。为此，我们先证明一个断言断言：(xX )( (u(x) u(x*) ( p x r) )。任

37、意给定 xX 使得 u(x) u(x*)。既然 u 的弱拟凹，因此对任何 t(0,1)，都有 u( t x+(1- t) x*) u(x*)。这样，就有0*)()*)(*)(*)1 (lim1*0pxpxxxxutxuxttxuiiiit结合 0，即可知 p x p x* = r。断言得证。第34页/共40页36 从 x*X 知，存在 wX 使 w 0，因此 pw px* = r。根据上面的断言，可知 u(w) u(x*) u(x)。 u(x)的连续性保证了存在 t(0, 1) 使得 u(t x + (1t)w) = u(x*)(介值定理)。记 z = t x + (1t)w，则从 u(z) = u(x*) 和上面的断言可知，p z r。但请注意，pw r 且 px r，故 p z = t pw +(1 t) px u(x*) ( p x r)。用反证法，假定存在 xX 使得 u(x) u(x*) 但 px r。Xwzx*xpx = r第35页/共40页37充分条件意味着商品之间的替代法则和边际效用均等法则可直接用于判断消费者是否实现了均衡。l 替代法则替代法则：如果在 x* 处，p x* = r，并且任何两种商品之间的边际替代率都等于相应的价格比，那么 x* 就是消费者在价格 p 和收入 r 下的均衡。l 边际效用均等法则