第二章Hermit插值法

1、2021/3/101数值分析第二章 插值法Hermite 插值插值2021/3/1022021/3/103,)(1010nnyyybxxxaxf处的函数值为在节点设值函数上的具有一阶导数的插的在区间为设,)()(baxfxP处必须满足在节点显然nxxxxP,)(10)(,)()1(一阶光滑度上具有一阶导数在若要求baxPiiiyxfxP)()(iiiyxfxP)()(ni, 1 ,0ni, 1 ,0-(1)个待定的系数可以解出22 n次的多项式可以是最高次数为因此12)(nxP次多项式作为插值函数两个节点就可以用311222n共个方程两点三次两点三次HermiteHermite插值插值FF20

2、21/3/104例：例：设设 x0 x1 x2, 已知已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和和 f (x1), 求多项求多项式式 P(x) 满足满足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且，且 P(x1) = f (x1), 并估计误差。并估计误差。模仿模仿 Newton 多项式的思想，设多项式的思想，设解：解：首先，首先，P 的阶数的阶数 = 3),()()()()()(221033xxxxxxxKxPxfxR!4)()()4(xfxK )()( )(,)(,)()(210102100100 xxxxxxAxxxxxxxfxxxxfxfxPA为待定系数，可由为待定

3、系数，可由P(x1) = f (x1)确定确定)(,)(,)(210121001101xxxxxxxfxxxxfxfA与与 Lagrange 分析分析完全类似完全类似2021/3/105应满足插值条件)(3xH003)(yxH113)(yxH003)(yxH113)(yxH2021/3/106 求求Hermite多项式的基本步骤：多项式的基本步骤： 写出相应于条件的、写出相应于条件的、 的组合形式；的组合形式；ii)()()()()(110011003xyxyxyxyxH 对每一个对每一个 找出尽可能多的条件给出的根；找出尽可能多的条件给出的根；ii,其中其中1)(00 x0)(00 x1)(

4、00 x0)(10 x0)(01x1)(11x0)(10 x0)(01x0)(11x0)(00 x0)(10 x0)(01 x0)(11 x0)(10 x0)(01 x1)(11 x 根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；)()()(210baxxxx 根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；1)(00 x0)(00 x由由可得可得310)(2xxa3100210)(2)(1xxxxxb2021/3/107)()()(210baxxxx21)(xx 310)(2xxx3100210)(2)(1xxxxx210

5、21)()(xxxx102xxx10021xxx01021xxxx2101xxxx)()(21(201xlxl2021/3/108 最后完整写出最后完整写出H(x)。)()()()()(110011003xyxyxyxyxH101121xxxxy2010 xxxx00 xxy2101xxxx2010 xxxx11xxy010021xxxxy2101xxxx2021/3/1092021/3/1010两点三次两点三次HermiteHermite插值的误差为插值的误差为)()()(33xHxfxR0)()()(33iiixHxfxR0)()()(33iiixHxfxR1 , 0i因此可设的二重零点均

6、为,)(,310 xRxx21203)()()(xxxxxKxR待定其中)(xK2021/3/101121203)()()()()(xtxtxKtHtft构造辅助函数0)()()()()(21203xxxxxKxHxfxiiiii0)()()()()(21203xxxxxKxHxfx均是二重根个零点至少有因此5)(t连续使用4次Rolle定理，可得，,10 xx至少存在一点使得0)()4(1 , 0i2021/3/10120)(! 4)()()4()4(xKf即! 4)()()4(fxK所以,两点三次Hermite插值的余项为2120)4(3)()(! 4)()(xxxxfxR10 xx以上分

7、析都能成立吗？上述余项公式成立上存在且连续时在当,)(10)4(xxxf2021/3/1013一般的，总认为次数越高，一般的，总认为次数越高，逼近逼近f(x)f(x)的精度就越好，的精度就越好，但实际上并非如此。但实际上并非如此。2021/3/10142.6 分段低次插值分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */Remember what I have said? Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result, since

8、high-degree polynomials are oscillating.例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf),., 0(105niinxi -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x) f (x) 分段分段低次低次插值插值2021/3/1015-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次数的Lagrange插值多项

9、式的比较图Runge现象现象从上图可以看出，随着从上图可以看出，随着n n的增加，的增加，L Ln n(x)(x)的计算结果和的计算结果和误差的绝对值几乎成倍的增加，这说明当误差的绝对值几乎成倍的增加，这说明当n n趋于无穷大趋于无穷大时，时， L Ln n(x)(x)在在-5-5，55上不收敛；上不收敛；2021/3/10162021/3/1017-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.

10、20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81的图象分段线性插值)(1xLy 的一条折线实际上是连接点niyxkk, 1 , 0,),(也称折线插值也称折线插值, ,如右图如右图曲线的光滑性较差曲线的光滑性较差在节点处有尖点在节点处有尖点 但如果增加节点的数量但如果增加节点的数量减小步长减小步长, ,会改善插值效果会改善插值效果上连续在若,)(baxf因此因此)(lim10 xLh)(xf则则2021/3/1018 分段线性插值分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式 (直线直线) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf,for 1 iixxx记记 ，易证：当，易证：当 时，时，|max1iixxh 0h)()(1xfxPh一致一致失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。 分段分段Hermite插值插值 /* Hermite piecewise polynomials */给定