第3章 时域分析3-1,2,3

1、第3章 控制系统的时域分析线性定常系统的时域响应线性定常系统的时域响应控制系统时域响应的性能指标控制系统时域响应的性能指标线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性系统的稳态误差系统的稳态误差一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应第3章 控制系统的时域分析一、时域法的特点一、时域法的特点 (1)(1)直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确；直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确； (2)(2)可以提供系统时间响应的全部信息；可以提供系统时间响应的全部信息； (3)(3)求解系统输出的解析解，比较烦琐。求解系统输出的解析解，比较烦琐。第3章 控制系统的

2、时域分析二、时域法常用的典型输入信号二、时域法常用的典型输入信号第3章 控制系统的时域分析 对于一单输入单输出对于一单输入单输出 n阶线性定常系统阶线性定常系统 1011110111( )( )( )( )( )( )( )( (3 1)- )nnnnnnmmmmmmc tc tc tc trdddaaaadtdtdtdddbtbbbdtdtrrttr ttd三、线性定常系统的微分方程三、线性定常系统的微分方程 系统在输入系统在输入r(t)作用下，输出作用下，输出c(t)随时间变化的规律，随时间变化的规律，即式即式(3-1)微分方程的解，就是系统的时域响应。微分方程的解，就是系统的时域响应。第

3、3章 控制系统的时域分析四、线性微分方程的解四、线性微分方程的解 微分方程的解为微分方程的解为 c(t)=c1(t)+c2(t)1 1、齐次微分方程的通解、齐次微分方程的通解 （3-13-1）式经拉氏变换后的特征根方程为）式经拉氏变换后的特征根方程为10110nnnna sa sasa 设设P1、P2、 Pn为特征方程的为特征方程的n个不等的特征根，则个不等的特征根，则12112( )np tp tp tnc tK eK eK e 若若P Pi i为重根，则为重根，则1( )ip tiK tec t 若若P Pi i为共轭复根，则为共轭复根，则1c()os(itiiK tc tet2 2、非齐

4、次微分方程、非齐次微分方程的特解的特解稳态值)(2tc第3章 控制系统的时域分析一、控制系统的时间响应一、控制系统的时间响应1 1、动态响应、动态响应 指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态达到稳态前的响应过程，又称暂态态达到稳态前的响应过程，又称暂态( (过渡）过程。过渡）过程。2 2、稳态响应、稳态响应 指系统在典型输入信号作用下，当指系统在典型输入信号作用下，当tt时，系统输时，系统输出量的表现形式。稳态过程表征系统输出量最终复现输入出量的表现形式。稳态过程表征系统输出量最终复现输入量的程度。量的程度。 稳：稳：( ( 基本要求基本

5、要求 ) ) 系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置 准准: ( : ( 稳态要求稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差）稳态输出与理想输出间的误差( (稳态误差稳态误差) )要小要小 快快: ( : ( 动态要求动态要求 ) ) 过渡过程要平稳，迅速过渡过程要平稳，迅速第3章 控制系统的时域分析二、控制系统的时域指标二、控制系统的时域指标1 1、 稳态性能指标稳态性能指标 系统在典型输入信号作用下，当系统在典型输入信号作用下，当tt时，系统输出时，系统输出响应的期望值与实际值之差，即响应的期望值与实际值之差，即lim ( )( )ssrter tc t2 2

6、、 动态性能指标动态性能指标设设/(0)(0)0ff第3章 控制系统的时域分析2 2上升时间上升时间tr： 单位阶跃响应曲线从单位阶跃响应曲线从t=0开始开始第一次第一次上升到稳上升到稳态值所需要的时间。态值所需要的时间。1 1延迟时间延迟时间td： 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线从从t=0开始上升到稳态开始上升到稳态值的值的50%所需的时间。所需的时间。第3章 控制系统的时域分析()()100%()ppc tcMc4. 4. 调整时间调整时间t ts s： 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线进入进入允许的误差带允许的误差带（一（一般取稳态值附近般取稳态值附近5%或或2%）并不再超出并不再超出

7、该误该误差带的最小时间。差带的最小时间。6. 6. 振荡次数：振荡次数： 在调整时间在调整时间ts内响应曲线振荡的次数。内响应曲线振荡的次数。第3章 控制系统的时域分析一、稳定性的概念一、稳定性的概念 定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。第3章 控制系统的时域分析说明说明 （1 1）稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系）稳定性是控制系统自身的固有特

8、性，它取决于系统本身的结构、参数，与输入信号无关。统本身的结构、参数，与输入信号无关。 （2）对纯线性系统，不）对纯线性系统，不论扰动引起的初始偏差有多论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动消除后，系统都大，当扰动消除后，系统都能能以足够的准确度恢复到原以足够的准确度恢复到原始平衡状态始平衡状态，这种系统称为，这种系统称为大范围稳定大范围稳定的系统。的系统。 如果系统受到外界扰如果系统受到外界扰动作用后，只有当初始偏动作用后，只有当初始偏差小于某一范围时，系统差小于某一范围时，系统才能在消除扰动后，恢复才能在消除扰动后，恢复到原始平衡状态，这种系到原始平衡状态，这种系统称为统称为小范围稳定小范围稳

9、定的系统的系统 （3 3）控制理论中的稳定性均为）控制理论中的稳定性均为自由振荡下自由振荡下的稳定性。的稳定性。第3章 控制系统的时域分析二、线性定常系统稳定的充分必要条件二、线性定常系统稳定的充分必要条件)0()0(0)(icct及各阶导数时，输出 系统的初始偏差（初始状态）：系统的初始偏差（初始状态）： 若系统稳定，则必有若系统稳定，则必有0)(limtct 若系统不稳定，则必有若系统不稳定，则必有)(limtct1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd c tdc tdc taaaa c tdtdtdtd r tdr tdr tbbb

10、b r tdtdtdt n阶线性定常系统的微分方程阶线性定常系统的微分方程第3章 控制系统的时域分析对上式取拉氏变换，并考虑初始状态：),()()(,1121可以是复数为常数则如果iitpniinpAeAscLtcpppi( )( )( )( )( )( )M sN sC sR sD sD s( )0R s 考虑，即系统在初始状态影响下的时间响应( )( )( )N sC sD s112,:,(,)()niniD sspp pp设即系统的特征根为第3章 控制系统的时域分析),()()(,1121可以是复数为常数则如果iitpniinpAeAscLtcpppi 显然，只有当系统显然，只有当系统所

11、有特征根所有特征根P Pi i的实部均为负值的实部均为负值，即，即系统的特征根系统的特征根均在均在s s复平面的左半平面复平面的左半平面时，才时，才有有 ，系统才是稳定的。，系统才是稳定的。0)(lim0tcetpi，从而有 否则，若特征根否则，若特征根Pi中有中有一个或多个根具有正实部一个或多个根具有正实部，则，则必有必有 ，系统是不稳定的。，系统是不稳定的。)(limtct第3章 控制系统的时域分析对于线性定常系统，下列命题等价对于线性定常系统，下列命题等价: :（1 1）系统稳定；）系统稳定；（2 2）系统的脉冲响应最终收敛到零；）系统的脉冲响应最终收敛到零；（3 3）系统的所有特征根都

12、具有负实部（即位于）系统的所有特征根都具有负实部（即位于s s平面虚轴左边）。平面虚轴左边）。 系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件 系统所有特征根系统所有特征根Pi的实部的实部均为负值，或系统的特征根均均为负值，或系统的特征根均在在s s复平面的左半平面内。复平面的左半平面内。第3章 控制系统的时域分析第3章 控制系统的时域分析 设设n n阶系统的特征方程为阶系统的特征方程为 D(s)=a0sn+a1sn-1+an-1s+an=0 将上式的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列将上式的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列( (劳斯表劳斯表) )：sn a0 a2 a4 a6 sn-1 a1

13、 a3 a5 a7 sn-2 b1 b2 b3 b4 sn-3 c1 c2 c3 c4 s2 f1 f2s1 g1s0 h1不求特征值，就能判别系统稳定性不求特征值，就能判别系统稳定性第3章 控制系统的时域分析,141713131512121311171603151402131201bbbaacbbbaacbbbaacaaaaabaaaaabaaaaabsn a0 a2 a4 a6 sn-1 a1 a3 a5 a7 sn-2 b1 b2 b3 b4 sn-3 c1 c2 c3 c4 s2 f1 f2s1 g1s0 h1第3章 控制系统的时域分析0322130asasasa例例3-1 3-1 已

14、知三阶系统特征方程为已知三阶系统特征方程为000030130211312203asaaaaasaasaas故得出三阶系统稳定的充要条件为：故得出三阶系统稳定的充要条件为： a00, a10, a20, a30, a1a2a0a3 试写出系统稳定的充要条件试写出系统稳定的充要条件解：列写劳斯表解：列写劳斯表第3章 控制系统的时域分析例例3-2 3-2 已知系统特征方程已知系统特征方程0611126234ssss6614556661116612101234sssss 劳斯表中第一列元素大于零，所以该系统是稳定的。劳斯表中第一列元素大于零，所以该系统是稳定的。这时，这时，系统所有的特征根均处于系统所

15、有的特征根均处于s s平面的左半平面平面的左半平面。（2 2）列劳斯表：列劳斯表：解：（解：（1 1）特征方程中的系数全为正。特征方程中的系数全为正。试判别该系统的稳定性。试判别该系统的稳定性。第3章 控制系统的时域分析说明说明 （1 1）若劳斯表中第一列各元素（系数）的符）若劳斯表中第一列各元素（系数）的符号有改变，则劳斯表中第一列各元素符号改变的号有改变，则劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于该系统闭环极点（特征根）在次数等于该系统闭环极点（特征根）在s s平面的右平面的右半平面上的数目，半平面上的数目，相应的系统是不稳定的。相应的系统是不稳定的。例题例题1 1 已知系统特征方程已知系统

16、特征方程054322345sssss试判别该系统的稳定性。试判别该系统的稳定性。解：（解：（1 1）特征方程中的特征方程中的系数全为正。系数全为正。（2 2）列劳斯表：列劳斯表：543210114023503029501609512ssssss 劳斯表中第一列的元素劳斯表中第一列的元素符号改变了两次，因此该系符号改变了两次，因此该系统有两个具有正实部的特征统有两个具有正实部的特征根在根在s s平面的右半平面上，平面的右半平面上，系统是不稳定的。系统是不稳定的。第3章 控制系统的时域分析065232345sssss5432210225174111253165336 111515sssssss（改

17、变符号一次）（改变符号一次）例例3-3 3-3 已知系统特征方程已知系统特征方程试判别该系统的稳定性。试判别该系统的稳定性。解：（解：（1 1）特征方程中的系数全为正。特征方程中的系数全为正。（2 2）列劳斯表：列劳斯表： 劳斯表中第一列各元素符号不全为正，系统不稳定。由于符号劳斯表中第一列各元素符号不全为正，系统不稳定。由于符号改变了两次，所以该系统有改变了两次，所以该系统有2 2个处于个处于s s右半平面的根。右半平面的根。第3章 控制系统的时域分析一、控制系统的时域指标一、控制系统的时域指标1 1、 稳态性能指标稳态性能指标lim ( )( )ssrter tc t2 2、 动态性能指标

18、动态性能指标（1 1）延迟时间）延迟时间t td d（2 2）上升时间）上升时间t tr r（4 4）调整时间）调整时间t ts s()()100%()ppc tcMc（6 6）振荡次数）振荡次数第3章 控制系统的时域分析二、系统稳定的充分必要条件二、系统稳定的充分必要条件 系统所有特征根系统所有特征根Pi的实部均为负值，或系统的特征根的实部均为负值，或系统的特征根均在均在s复平面的左半平面内。复平面的左半平面内。 对于线性定常系统，下列命题等价对于线性定常系统，下列命题等价: : （1 1）系统稳定；）系统稳定； （2 2）系统的脉冲响应最终收敛到零；）系统的脉冲响应最终收敛到零； （3 3

19、）系统的所有特征根都具有负实部（即位于）系统的所有特征根都具有负实部（即位于s s平面平面虚轴左边）虚轴左边）第3章 控制系统的时域分析 (2) (2)为了简化计算，可用一个正数去除或乘某一整行，为了简化计算，可用一个正数去除或乘某一整行，不会改变稳定性结论。不会改变稳定性结论。 例如，在例例如，在例1中，中，为了简化后面的计算劳斯表的第三为了简化后面的计算劳斯表的第三行乘以行乘以2 2，第五行乘以，第五行乘以9 9，劳斯表变为，劳斯表变为543210131140235095021050269ssssss543210111402350950305032ssssss所得结论不变所得结论不变第3章

20、 控制系统的时域分析2 2、劳斯稳定判据的特殊情况、劳斯稳定判据的特殊情况 (1) (1) 劳斯表中某一行的第一个元素（系数）为零，而劳斯表中某一行的第一个元素（系数）为零，而该行其它元不为零。该行其它元不为零。 计算下一行第一个元素时将出现无穷大，以至劳斯计算下一行第一个元素时将出现无穷大，以至劳斯表的计算无法进行。表的计算无法进行。 解决办法：将解决办法：将0换成无穷小正数换成无穷小正数，继续计算，继续计算0133234ssss试判别该系统的稳定性。试判别该系统的稳定性。例例3-5 3-5 已知系统特征方程已知系统特征方程1033010 0 33011101234sssss.2, 033,

21、0平面右边个特征根在有时当s系统是不稳定的系统是不稳定的第3章 控制系统的时域分析 (2) (2) 劳斯表中某一行的元素全为零。劳斯表中某一行的元素全为零。 这时系统在这时系统在s s平面上存在一些大小相等符号相反平面上存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。的实根或共轭虚根。 解决办法：解决办法：利用全零行的利用全零行的上一行中的各元素构造上一行中的各元素构造一个辅助方程，式中一个辅助方程，式中S S均为偶数均为偶数。将该辅助方程。将该辅助方程对对S S求导求导，用求导得到的方程中的各系数替代全零行中的各元素，然用求导得到的方程中的各系数替代全零行中的各元素，然后继续列写劳斯表中其余各行。

22、后继续列写劳斯表中其余各行。 大小相等符号相反的实根或共轭虚根，可以由辅大小相等符号相反的实根或共轭虚根，可以由辅助方程求得。当某一行的第一个元素（系数）为零时，可助方程求得。当某一行的第一个元素（系数）为零时，可采用（采用（1 1）的方法列写其余各行。）的方法列写其余各行。第3章 控制系统的时域分析例例2 2 已知已知试判别该系统的稳定性。试判别该系统的稳定性。0161620128223456ssssss解：（解：（1 1）特征方程中的系数全为正。特征方程中的系数全为正。（2 2）列劳斯表：列劳斯表：65431820160212116860000 ssss S3行的各个元素都为行的各个元素都

23、为零，为求出以后各行，可零，为求出以后各行，可用用s4行的各元素构造辅助行的各元素构造辅助方程方程86)(24sssP（整行除（整行除2 2）ssdssdP124)(3用用4和和12替代替代s3行的各元素行的各元素第3章 控制系统的时域分析8034083 012486101612201620810123456sssssss 劳斯表中第一劳斯表中第一列的各元素（系列的各元素（系数）符号没有改数）符号没有改变，故可以确定变，故可以确定该系统在该系统在S S右半右半平面没有根。但平面没有根。但由于由于s3s3行全为零，行全为零，系统有共轭虚根，系统有共轭虚根，系统处于系统处于临界状临界状态态属于不稳

24、属于不稳定状态定状态由辅助方程可求得共轭虚根：由辅助方程可求得共轭虚根：08624 ss224, 32, 1jsjs，第3章 控制系统的时域分析0846322345sssss83 .3383128)(0128862)(862431012332445ssssssPssssPss086224 ss2 14 , 32 , 1jss例例3-7 3-7 系统的特征方程为系统的特征方程为列劳斯表：列劳斯表： 劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定，且劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定，且有一个有一个S右半平面的根，由右半平面的根，由P(s)=0得得第3章 控制系统的时域分析0122110nnn

25、nnasasasasanaaaaaaaaaaaaaaaaaaa234567012345012301000000 设系统的特征方程式为设系统的特征方程式为 以特征方程式的各项系数组成如下行列式以特征方程式的各项系数组成如下行列式第3章 控制系统的时域分析0 000024512301330212301211naaaaaaaaaaaaaaaaa 赫尔维茨判据赫尔维茨判据: :系统稳定的充分必要条件是在系统稳定的充分必要条件是在a a0 000的的情况下，上述行列式的各阶主子式情况下，上述行列式的各阶主子式i i均大于零，即均大于零，即第3章 控制系统的时域分析 当系统特征方程的次数较高时，应用赫氏判

26、据的计算当系统特征方程的次数较高时，应用赫氏判据的计算工作量较大。对于工作量较大。对于n4n4的线性系统，其稳定的充分必要条的线性系统，其稳定的充分必要条件可简述为：件可简述为： n=2: :特征方程的各项系数为正；特征方程的各项系数为正； n=3: :特征方程的各项系数为正，特征方程的各项系数为正，2 2=a=a1 1a a2 2-a-a0 0a a3 30 0 。 n=4: :特征方程的各项系数为正，特征方程的各项系数为正，2 20 0，以及，以及 2 2a a1 12 2a a4 4/a/a3 3 第3章 控制系统的时域分析)0( 00322130aasasasa312301000aaa

27、aaa例例3-8 3-8 系统的特征方程为系统的特征方程为列出行列式列出行列式 由赫尔维茨判据，该系统稳定的充分必要条件是：由赫尔维茨判据，该系统稳定的充分必要条件是：00023330212301211aaaaaaaaaaa00 a10 a20 a30a1a2-a0a30或写成：或写成：第3章 控制系统的时域分析02120asasa2010aaa例例3-9 3-9 二阶系统的特征方程为二阶系统的特征方程为列出行列式列出行列式 由由Hurwitz判据，系统稳定的充分必要条件为判据，系统稳定的充分必要条件为 a00 a10 a1a20 即二阶系统稳定的充分必要条件是特征方程式的所有即二阶系统稳定的

28、充分必要条件是特征方程式的所有系数均大于零。系数均大于零。第3章 控制系统的时域分析KsssKsRsC56)()(233210150603006ssKKssK按劳斯判据，要使系统稳按劳斯判据，要使系统稳定应有定应有K0，且且30-K0故故其其取值范围为取值范围为 0K30例例3-10 确定使系统稳定的确定使系统稳定的K值范围。值范围。解：解：系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数为为 列劳斯表：列劳斯表： ( )( )1( )( )G ssG s H s第3章 控制系统的时域分析例例 3-11 3-11 系统结构图如图所示，试分析参数系统结构图如图所示，试分析参数K1，K2，K3和和T对系统稳定

29、性的影响。对系统稳定性的影响。解解: :系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数32123321)()(KKKsTsKKKsRsC系统的特征方程为：系统的特征方程为：0)(32123KKKsTssD 由于特征方程缺项，由劳斯判据知，不论由于特征方程缺项，由劳斯判据知，不论K1，K2，K3和和T取何值系统总是不稳定的，称为结构不稳定系统。取何值系统总是不稳定的，称为结构不稳定系统。第3章 控制系统的时域分析 变结构后系统的闭环传递函数为变结构后系统的闭环传递函数为1232123(1)( )( )(1)(1)K K KsC sR ss TsK K Ks 系统的特征方程为系统的特征方程为32123123

30、( )0D sTssK K KsK K K第3章 控制系统的时域分析0)(32132123KKKsKKKsTssD 列劳斯表：列劳斯表： 32103213211321232131KKKsTKKKKKKsKKKsKKKTs 系统稳定的充分必要条件为系统稳定的充分必要条件为000321KKKTT， 即对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适当即对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适当选配参数就可使系统稳定选配参数就可使系统稳定第3章 控制系统的时域分析六、相对稳定性和稳定裕量六、相对稳定性和稳定裕量闭环极点（特征根）处在S左半平面，系统是稳定的，否则不稳定 但是，如果特征根虽然处在但是，如果

31、特征根虽然处在S S左半平面但很靠近虚轴左半平面但很靠近虚轴，由于干，由于干扰存在，使得很靠近虚轴的根跑到右半平面，系统变得不稳定。扰存在，使得很靠近虚轴的根跑到右半平面，系统变得不稳定。第3章 控制系统的时域分析 为保证系统稳定，为保证系统稳定，且有良好的动态特且有良好的动态特性，系统的特征根性，系统的特征根在在s平面的左半平面平面的左半平面且与虚轴有一定的且与虚轴有一定的距离距离，称之为稳称之为稳定裕量定裕量 要检查系统是否具有要检查系统是否具有 ，通常将，通常将s平面的虚轴左移一平面的虚轴左移一个距离个距离，得新的复平面，得新的复平面s1，即令，即令s1=s+ 或或s=s1- 得到以得到以s1为变量的新特征方程式为变量的新特征方程式D(s1)=0，再利用代数判据判别新，再利用代数判据判别新特征方程式的稳定性，若新特征方程式的所有根均在特征方程式的稳定性，若新特征方程式的所有根均在s1平平面的左半平面，则说明原系统不但稳定