第一章 知识点总结ppt课件

1、第一章第一章 知识点总结知识点总结1.复数是指形如 的数,实部记为 , 虚部记为 .xz Rezxiyyz Im2. 模: ; 辐角: ; 辐角主值: ;22yxzrkzArgz2arg zarg 0, 00, 0arctan0, 020arctanargyxyxxyyxxxyz 3.3.表示方法表示方法)sin(cos)sin(cosirizz(3)三角表示三角表示irez (4)指数表示指数表示zxiy(5)代数表示代数表示1)1)相等相等; ;4.4.运算运算2)2)四那么运算四那么运算, ,及运算规律及运算规律; ;3)3)共轭运算共轭运算, ,及运算规律及运算规律; ;)sin()c

2、os(21212121 irrzz4)4)1211121222()12co s()sin ()izrizrrer 5) nkinknkerzw2)(12 , 1 , 0nkzn 6)方根运算:),(),()(yxivyxuzfw)()()(tiytxtz5.5.实变复值函数实变复值函数 : :复变函数复变函数: :0000( )()()limzzf zf zfzzzdzzfdw)(0,uvvuxyxy 6. 6. 复变函数导数与微分复变函数导数与微分7. C-R(Cauchy-Riemann)7. C-R(Cauchy-Riemann)条件条件 yuiyvxvixuzf)(xviyvyuixu

3、),(),()(yxivyxuzfEiyxz),(),(yxvyxu),(yx8.8.可导的充要条件可导的充要条件: : 函数函数在区域内一点处可导的充分必要条件是：在点处可微、且满足C-R条件.)(zf 9. 可写成以下四种方式： 2)函数在区域内解析与它在这一区域可导是等价 的3解析一定可导，但可导不一定解析。10.10.解析与奇点解析与奇点1)定义:假设函数 在 的某一邻域内处处 可导，那么称 在 处解析；假设 在 区域 内每一点解析，那么称 在 内 解析，或称 是 内的一个解析函数)(zf0z)(zfE0z)(zf)(zfE)(zfE4不解析的点称为奇点。11. 11. 指数函数指数函

4、数)sin(cosexpyiyeezxz 定义: 2性质: expzzea. 在复平面内处处解析；zzexp)(expb.；0zec.c.；12. 12. 三角函数三角函数 sin,cos22izizizizeeeezzi(sin )cos ,zz (cos )sin .zz 1定义：2性质：在复平面内是解析的，且13. 13. 对数函数对数函数 lnwLnzziArgz Lnz与lnz之间的关系是：nln2Lzzki01,2 ,k ，14. 14. 乘幂乘幂 注: 1.由于 是多值的，因此普通来讲 也是多值的定义中的 假设取主值 ，所得结果 称为的 主值 2 .当 是特殊的 或 时, 就是我

5、们所熟习的幂函数 或 .21zz1Lnz21zz1Lnz1lnz12ln zze21zz2znn1nznz1221Lnzzzez定义:习题：; 1)3;31 )2;5) 1. 1ii：将下列复数化为指数式;1)3;231 )2;55) 132iiieeiei解：;27)2;)31(1. 2310i）求下列各式的值：iiieii3512512)2321(1024)320sin320(cos2231110103210）解：).2321(3, 3),2321(3, 2 , 1 , 0),32sin()32(cos(27272727)2210332333iwwiwkkikeeiki其中3.1) ( )

6、(cossin );2( )sin coshcos sinhyf zexixf zxyixy讨论下列函数的可导性与解析性。）；( )(cossin )cossinsinsincoscos .( )yyyyyyyf zex ixuex vexuvuvexexexexxyyxC Rf z1)解：因，即，而，在复平面处处连续，且处处满足方程。故在复平面上处处可导，处处解析.( )sin coshcos sinhsin coshcos sinhcos coshcos coshsin sinhsin sinh( )f zxy ixyuxyvxyuvxyxyxyuvyyxyyxCRf z（2）因，即，而，

7、在复平面处处连续，且处处满足方程.故在复平面上处处可导，处处解析.;Im,1)3;)1)(2);43(1. 4zeiiiLnzi求设）计算：)34arctan) 12(5ln)2)34(arctan(5ln)2)43(arg(5ln)43(43ln)43(1kikikiiiiArgiiLn）解：, 2, 1, 0k)2sin(ln)2(cos(ln)1)(2)24(242ln)24(2(ln)1(1(ln)1(ieeeeeikkikiiiiArgiiiiLni, 2, 1, 0k)24(2ln)2)1(arg(2ln)1 (1ln)1 ()3kikiiiiArgiiLnz, 2, 1, 0kk

8、z24Im内是解析的。在区域为何值时，函数问0arctan)ln()(. 522xxyiyxazfa内是解析的。在区域时，函数即，当上成立时，在区域内连续，且在区域则解：0)(21, 120,0,2,2,arctan),(),ln(),(2222222222xzfaaxyuxvyvxuxyxxyvyxyxvyxayyuyxaxxuxyyxvyxayxu第二章第二章 知识点总结知识点总结1. 曲线: 延续曲线,简单曲线,简单闭曲线, 光滑曲线, 按段光滑曲线. 正方向: 1)起点到终点. 2)当察看者顺此方向前进,曲线C所 围区域在C的左手. 区域: 单连域, 多连域. .)(limd)(1kn

9、kknCzfzzf 2.积分的定义:3.积分的性质C( )g z( )f z设 ， 在曲线 上可积，那么CC( )( )CCf z dzf z dz 1) ， 与 反向；K( )( )CCKf z dzKf z dz2) ， 为常数；4.4.柯西积分定理柯西积分定理 定理定理4:4:. , )()(d )( , )( )( , )( 100110内的两点为域这里那末的一个原函数为内处处解析在单连通域如果函数BzzzGzGfzfzGBzfzz5.5.“牛顿牛顿- -莱布尼兹公莱布尼兹公式式CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那么内任一点为于它的内部完全

10、含闭曲线内的任何一条正向简单为内处处解析在区域如果函数6.柯西积分公式 定理定理:柯西积分公式柯西积分公式. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 7.定理定理:高阶导数公式高阶导数公式习题：习题：1)设是由点设是由点0到点到点3的直线段与点的直线段与点3到到点点 的直线段组成的折线，求积分的直线段组

11、成的折线，求积分 R eCzdz1212211010Cz=0z=33 ,01,9Re3 ,Re33.2z=3z=3+i 3,01,Re3,Re33.9ReReRe3.2CcCCCcczxxzxzdzxdxziyyzzdzidyizdzzdzzdzi 的方解：将 分为两段，从到， 的方程为再从到，因此程为3i202 .c o s;2izd z计算：2200cos2sin2cos ;22iizzdzi解：3.沿指定曲线的正向计算以下积分：22(1)(0):;CdzaCzaaza，00( )1( )11.Cf zdzC zf zzzzz（2）， ：；在上解析，231(3),:1;(1)(1)Cdz

12、Czrzzs i n( 4 ),:1 .Czd zCzz112.z aczadziiza zazaa解：(1)只有一个奇点在内，则0000 .1()CzzCfzd zzz（ 2 ） 因 为， 所 以在外 ，则2310.(1)(1)CCdzzz（ 3） 被 积 函 数 在内 均 无 奇 点 ，故0sin2szn0,i0zcCzdzizz（4）内有一个奇点所以121232co4.12s23sin34CCzCzdzCzCzzezdzC zz计算下列积分（ ），：为正向，：为负向（ ），：为正向1212333coscoscoscccczzzdzdzdzzzz（ 1） 解 ： 1233coscoscczzdzdzzz120023112(cos )2(cos )02!2!zzC zC ziziz为正向， ：为负向，由高阶导数积分式公式得：原2232121s i n:32,2.4s i ns i ns i n224222zzzzzziziezCziizezezezzizid zd zd zzzizi因为在内的奇点为则2222s i n2s i n (2)222222s i n2s i n2()22iiiieieiiiiiiieiei22sin 2sin 2c o sh 22iieeiii23s ins in