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文档简介
1、2015届江苏苏州园区高三年级联考试卷(2015.4.24)数 学 试 题参考公式:锥体的体积公式:,其中为锥体的底面积,为高.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)开始输入m, n否是结束输出m求m除以n的余数rmnnrr = 0?第6题图1设集合,集合,则 。2若复数(其中为虚数单位),则 。3为了解1000名学生的学习情况,现采用系统抽样的方法从中抽取容量为40的样本,则抽样中分段的间隔为 。4有两个不透明的箱子,每个箱子里都装有3个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3. 甲从其中一个箱子中随机摸出一个球,乙从另一个
2、箱子中随机摸出一个球,谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),则甲没有获胜的概率为 。5“”是“抛物线的准线恰好与双曲线的一条准线重合”的 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)。6图中的程序框图描述的是“欧几里得辗转相除法”的算法。若输入,则输出 。dabcg(d)e(d)f(d)7若变量满足,则的最小值为 。8四面体沿棱剪开,将面,面和面展开落在平面上,恰好构成一个边长为1的正方形(如图所示),则原四面体的体积为 。9设函数在处取得最值,若数列是首项与公差均为的等差数列,则的值为 。yxxyoo2-2-221-1-11第10题图(甲)第10
3、题图(乙)1-110奇函数与偶函数的图象分别如图甲与图乙所示,设方程与的实根个数分别为,则的值为 。11设正实数满足,则的最小值为 。12已知圆的半径为,是圆上的两点,且,是圆的任意一条直径,若点满足,则的最小值为 。13在平面直角坐标系中,已知点,一条直线过点,且与单位圆恒相切. 若有且只有两个点满足:;点到直线的距离为1,则实数的取值范围是 。14设等差数列的各项均为整数,其公差,若无穷数列构成等比数列,则数列的前2015项中是该等比数列中项的个数为 。二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15(本小题满分14分
4、)已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式;xy3o1(2)若,求函数在区间上的单调减区间.16(本小题满分14分)abca1b1c1pqr在直三棱柱中,点分别是棱的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.17在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,上顶点为,直线与椭圆交于两点,且的面积为.(1)求椭圆的标准方程;xyobcdlpqmnm(2)设点是椭圆上一点,过点引直线,其倾斜角与直线的倾斜角互补. 若直线与椭圆相交,另一交点为,且直线与轴分别交于点,求证:为定值。18如图所示,某镇有一块空地,其中,. 当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中都在
5、边上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场. 为安全起见,需在的一周安装防护网.(1)当时,求防护网的总长度;(2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍,试确定的大小;oabmn(3)为节省投入资金,人工湖的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使 的面积最小?最小面积是多少?19设,且,数列的前项和为,已知数列是首项为0,公差为1的等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设是给定的正整数,数列满足.当时,求数列的前项和;设数列满足,试求数列中最大项的值.20已知函数().(1)当时,求函数在上的最大值;(2)若函数在区间上不单调,求的取值范围;(3)当时,设
6、,其中,试证明:函数在区间上有唯一的零点.(参考公式:若,则)2015届高三年级联考试卷数学参考答案1 2 325 4 5充要 61 7 89 1014 11 122 13 14715解:(1)由图知,解得, 2分又,所以,故, 4分所以,将点代入,得,再由,得,所以. 6分(2)因为, 10分由,解得,又,故所求的单调减区间为. 14分16证明:(1)在直三棱柱中,且,而点分别是棱的中点,所以且,所以四边形是平行四边形, 2分即且,又且,所以且,即四边形是平行四边形,所以, 4分又平面,所以平面. 6分(2)因,所以四边形是正方形,所以,又点分别是棱的中点,即,所以. 8分因,点是棱的中点,
7、所以,由直三棱柱,知底面,即,所以平面,即, 10分所以平面, 12分又平面,所以平面平面. 14分17解:(1)由,得, 2分联立,得,所以,4分又上顶点到直线的距离为,所以的面积为,解得,即椭圆的方程为. 8分(2)设,则,因为直线与直线的倾斜角互补,所以,所以直线的方程为,令,得;令,得. 10分所以. 14分方法2:设,则,因为直线与直线的倾斜角互补,所以,所以直线的方程为,令,得;令,得. 10分联立,消去,得,解得, 12分所以. 14分18解:(1)在中,因为,所以,在中,由余弦定理,得, 2分所以,即,所以,所以为正三角形,所以的周长为9,即防护网的总长度为9. 4分(2)设,
8、因为,所以,即, 6分在中,由,得, 8分从而,即,由,得,所以,即. 10分(3)设,由(2)知,又在中,由,得, 12分所以, 14分所以当且仅当,即时, 的面积取最小值为. 16分19解:(1)由题意得,所以, 2分当时,又,不适合上式,所以. 4分(2)因为,所以;又,所以, 则当时,;当时,即, 6分 1当时,; 8分2当时, .综上所述, 10分因为,所以,1当时,因为,所以()若,则,此时;()若,则当时,;当时,此时; 12分2当时,因为,所以;3当时,因为,所以()若,则当时,;当时,此时;()若,则,此时. 14分从而:a当时,因为,所以的最大项为;b当时,因为,且,所以的最大项为;c当时,因为,而,所以此时的最大项为;d当时,因为,而,所以此时的最大项为. 16分(说明:本题的结论也可以叙述为:(a)当或时,的最大项为;(b)当或时,的最大项为.)20解:(1)当时,则,由,得或(舍), 2分列表如下:40递减取极小值递增因为,所以函数在上的最大值为. 4分(2)先考虑问题的反面,即若在区间上单调,则对恒成立或对恒成立. 6分因为,则对恒成立或对恒成立. 8分即对恒成立或对恒成立,所以或,从而所求的的取值范围是. 10分(3)当时,则,所以,则,因为,所以,故在区间上单调递增,从而原命题等价于:要证明12分即证,只要证
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