2021-2021版高中数学第二章函数4二次函数性质的再研究学案北师大版必修11

1、4二次函数性质的再研究【学习目标I 1.掌握配方法，理解 a, b, c(或a, h, k)对二次函数图像的作用2 理解由y =x2到y = a( x+ h)2 + k的图像变换方法 3能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式4掌握二次函数的性质.II问题导学 知识点一二次函数的配方法思考 y = 4x2-4x 1如何配方？你能由此求出方程 4x2 4x 1 = 0的根吗?梳理对于一般的二次函数b4ac by ax + bx + c( a* 0),可类似地配方为 y a(x+ ) +a4a由此可得二次函数的值域、顶点等性质，y = x2与y= ax2+ bx+ c图像间的关系以及二次方程求

2、根公式等所以配方法是非常重要的数学方法.知识点二 图像变换思考 y = x2和y= 2( x+ 1)2 + 3的图像之间有什么关系？b4ac b2梳理由y = x2的图像各点纵坐标变为原来的a倍，左移亦个单位，上移 古个单位，可b 2 4ac b22得 y = a(x + 2) 2+-的图像，即y =茨+ bx+ c的图像.知识点三二次函数的三种形式2 2 2思考 我们知道 y= x 2x= (x 1) 1 = (x 2) x,那么点(1 , 1)，数 0,2 是 y = x 2x的什么？梳理 二次函数的一般式 y= ax2+ bx+ c(a0). 如果二次函数的顶点坐标为(一h, k)，那么

3、可将二次函数设为y = a(x + h)2+ k. 如果方程ax2 + bx+ c= 0的两根X1, X2(即抛物线与x轴交点横坐标)，可设为y = a(xX1)( x X2).知识点四二次函数的性质题型探究类型一二次函数解析式的求解 2例1二次函数 y = ax + bx+ c(a0)的图像与x轴相交于点 A 3,0)，对称轴为x =- 1，顶点M到x轴的距离为2,求此函数的解析式.反思与感悟求二次函数解析式的步骤帳堀也吕条件谯出佯理:的町式一4列羌于斫苦區蚊时关窑嬴4解关于眷戟的等坨JX0-一点明査盂龄炜杲跟踪训练1(1) y =ax2 + 6x 8与直线y=-3x交于点A(1,m)，求a

4、. f(x) = x2+ bx+ c,假设 f( 4) = f(0) , f( 2) = 2，求 f(x).类型二 二次函数的图像及变换例2由函数y= x2的图像如何得到f(x) = x2+ 2x + 3的图像.引申探究利用f(x) = x2 + 2x+ 3的图像比拟f ( 1), f(2)的大小.反思与感悟处理二次函数 y = ax2 + bx+ c(a0)的图像问题，主要是考虑其图像特征如开口、顶点、与x轴、y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系.在图像变换中，记住“ h正左移，h负右移，k正上移，k负下移.跟踪训练2 二次函数f(x) = x2+ bx+ c的图像向左平移 2个单位

5、长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数 f(x) = x22x+ 1的图像，贝U b=, c=.类型三二次函数的性质1 23例3 函数f (x)=尹一3x4:(1) 求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值； 假设x 1,4,求函数值域.反思与感悟解析式、图像、性质三者各有特点又联系紧密，应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决.跟踪训练3函数f(x) = ax2+ 2ax+ 1在区间1,2上有最大值4,求实数a的值.研当堂训练1.二次函数f(x)=ax2 +bx + c(a 0)与g(x)= bx2+ax+ c(b 0)的图像可能是以下图中的2 .设二次函数)上是减函数，且f (a) f (

6、0)，那么实数a的取值范围是()A.a4B.ow a8C.a0D.a83. f (x) = x + bx+ c,且 f ( 1) = f(3)，那么()A.f(1)cf(1)B.f (1) cf( 1)f(1)D.cf( 1)0)；y= f(x)关于轴对称y =_ f(x);y= f(x)关于轴对称y = f( x) 合案精析问题导学知识点一2 2 111 2思考 y = 4(x x) 1 = 4(x x+；) 1 = 4(x -) 2.4 42令 y = 0，即 4x1 222方法二因为二次函数图像的对称轴是x= 1,又顶点M到x轴的距离为2,所以顶点的坐标为(1,2)或(一1, 2),故可

7、得二次函数的解析式为y = a(x+ 1)2+ 2或y= a(x+ 1)2 2.因为图像过点A 3,0), 4x 1= 0,1 24( x 2) 2 = 0, (x -)2 =-, 2 2知识点二思考 y = x2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y = 2x2的图像；再把y = 2x2的图像向左平移1个单位，再上移 3个单位，得y= 2(x+ 1)2+ 3的图像.知识点三思考 点(1 , 1)是y=x2 2x的顶点，数0,2是方程x2 2x = 0的两根.题型探究例1解方法一代入A 3,0),有 9a 3b+ c = 0,b由对称轴为x = 1，得一丁= 1,顶点M到x轴的距离为|a b+

8、 c 0| = 2,1联立解得或 b= 1,2 2 11所以 0= a( 3+ 1) + 2 或 0 = a( 3 + 1) 2,解得 a=-空或 a=121 23121 23故所求二次函数的解析式为y = (x + 1) + 2 = qx -x+或y= (x + 1) 2 = -x + x-.方法三因为二次函数图像的对称轴为x= 1,又图像过点A( 3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A (1,0)也在图像上，所以可得二次函数的解析式为y = a(x + 3)( x 1).由题意得顶点坐标为(一1,2)或(一1 , 2),1 、 1分别代入上式，解得a= 2或a= 2,11 2311 2故所

9、求二次函数的解析式为y = 2(x + 3)( x 1) = x x +或y = 2(x+ 3)( x 1) = x +x 2.跟踪训练1解(1)把A(1 , m)代入y= 3x，得m= 3,把(1 , 3)代入 y = ax + 6x 8，得a + 6 8 = 3，即卩 a= 1.(2) 方法一 由 f( 4) = f (0),4+ 0知f (x)的对称轴为x= 2,又 f( 2) = 2,顶点坐标为(2, 2),2 2 f (x) = (x + 2) 2= x + 4x+ 2. 方法二 由 f ( 4) = f(0), 可设 f(x) = x(x+ 4) + c.代入x= 2，得2X (

10、2+ 4) + c= 2,. c = 2.2 f(x) = x2例 2 解 f (x) = x + 2x+ 32=(x 2x) + 3可得 y= (x1)+ 4,即y = x2+ 2x + 3的图像.引申探究解f(x)图像如图.由图知越接近对称轴，函数值越大.由 | 1 1|=2|2 1| = 1,即f (2)比f ( 1)更接近对称轴，-f(2) f( 1).跟踪训练2 662 2解析 f(x) = x 2x+ 1 = (x 1),其图像顶点为(1,0).将二次函数f(x) = x2 2x + 1的图像向下平移 3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为(3 , 3)，得到的抛物线

11、为y = (x 3)2 3,2即 f (x) = x + bx+ c,2 2 (x 3) 3 = x + bx + c,即 x2 6x + 6= x2 + bx+ c, b= 6, c= 6.1 21例3解(1)对函数右端的表达式配方，得f (x) = yx 3)2-,21所以函数图像的顶点坐标为(3 ,-),对称轴方程为x= 3，最小值为一214(2)由于 3 1,4，所以函数在区间1,3上是减函数，在3,4上是增函数,所以当x= 3时，ymin =214，t丄12113当 x = 1 时，ymax=4=,2113所以函数的值域为,.44跟踪训练 3 解 f(x) = a(x+ 1)2 +1 a.当a= 0时，函数f(x)在区间1,2上的值不变，恒为常数1,不符合题意，舍去；当a0时，函数f (x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2) = 8a+ 1 = 4,3解得a= ;8当a0时，函数f (x)在区间1,2上是减函数，最大值为f( 1) = 1 a= 4,解得a=