概率论第八章

1、2021-8-81概率论与数理统计概率论与数理统计主讲人：主讲人： 朱志勇朱志勇西北农林科技大学理学院西北农林科技大学理学院Probability & Statistics2021-8-82学期成绩的评定学期成绩的评定学期成绩是下面两部分成绩的加权平均学期成绩是下面两部分成绩的加权平均: : (一一) 平时成绩平时成绩 占占 30 由作业、考勤、上课表现等确定；由作业、考勤、上课表现等确定； (二二) 期末考试期末考试 占占70 2021-8-83第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率1.1 随机事件随机事件2021-8-841.1.1 随机现象与随机试验随机现象与随机试验n确定性现象

2、确定性现象在一定条件下必然发生的现象（在一定条件下必然发生的现象（事前可预言的现象事前可预言的现象），），例如，在标准大气压下，将水加热至例如，在标准大气压下，将水加热至100100必然沸腾；同性必然沸腾；同性电荷必然排斥等等。电荷必然排斥等等。 在自然界和实际生活中，我们通常会遇到两类不同的现在自然界和实际生活中，我们通常会遇到两类不同的现象，一类是象，一类是确定性现象，确定性现象，另一类是另一类是非确定性现象非确定性现象。一一 随机现象随机现象特征：特征：条件完全决定结果。条件完全决定结果。n非确定性现象：非确定性现象：模糊现象随机现象模糊现象随机现象. 模糊现象模糊现象 由事物本身含义不

3、确定导致结果不确定的现象由事物本身含义不确定导致结果不确定的现象，例，例如：如：“健康的人健康的人”，“稠密的深林稠密的深林”，“高大的山脉高大的山脉”等等。等等。 2021-8-85随机现象随机现象 事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行试验，事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定。发展却不能完全肯定。例如，掷一枚硬币，可能出现正例如，掷一枚硬币，可能出现正面向上，也可能出现反面向上；取粒种子做发芽试面向上，也可能出现反面向上；取粒种子做发芽试验，观察发芽的种子粒数

4、，结果可能是粒，验，观察发芽的种子粒数，结果可能是粒，粒，粒种子发芽等等。粒，粒种子发芽等等。 特征：特征：条件不能完全决定结果。条件不能完全决定结果。 确定性现象与随机现象的共同特点确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含是事物本身的含义确定。义确定。随机现象与模糊现象的共同特点随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性，是不确定性，随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义现象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确定，二是结果不确定。不确定，二是结果不确定。2021-8-86 模糊数学将

5、数学的应用范围从清晰确定扩大到模糊现模糊数学将数学的应用范围从清晰确定扩大到模糊现象的领域，而概率论与统计学则将数学的应用从必然现象象的领域，而概率论与统计学则将数学的应用从必然现象扩大到随机现象的领域。扩大到随机现象的领域。 对于随机现象，人们经过长期实践并深入研究之后，对于随机现象，人们经过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果会呈现发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果会呈现某种规律性，这种规律性我们称之为某种规律性，这种规律性我们称之为统计规律性。统计规律性。 概率论就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数概率论就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门

6、数学学科；数理统计是以概率论为基础，研究如何通过观察学学科；数理统计是以概率论为基础，研究如何通过观察和试验认识自然规律和社会规律的一门方法论学科。和试验认识自然规律和社会规律的一门方法论学科。2021-8-87概率论的起源概率论的起源 概率论起源于概率论起源于1515世纪中叶，肇事于所谓的世纪中叶，肇事于所谓的“赌金分配问赌金分配问题题”。赌金分配问题：赌金分配问题：在一场赌博中在一场赌博中, ,某一方先胜某一方先胜6 6局便算赢家局便算赢家, ,那那么么, ,当甲方胜了当甲方胜了4 4局局, ,乙方胜了乙方胜了3 3局的情况下局的情况下, ,因出现意外因出现意外, ,赌局赌局被中断被中断,

7、 ,无法继续无法继续, ,此时此时, ,赌金应该如何分配赌金应该如何分配? ?当时，有一答案是：当时，有一答案是：应当按照应当按照4:34:3的比例把赌金分给双方。的比例把赌金分给双方。意大利科学家帕意大利科学家帕西奥尼给出的西奥尼给出的2021-8-88 当时，许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公当时，许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理。因为平合理。因为, ,已胜了已胜了4 4局的一方只要再胜局的一方只要再胜2 2局就可以拿局就可以拿走全部的赌金，而另一方则需要胜走全部的赌金，而另一方则需要胜3 3局，并且至少有局，并且至少有2 2局必须连胜，这样要困难得多。但是，人们又找不到局必须

8、连胜，这样要困难得多。但是，人们又找不到更好的解决方法。在这以后更好的解决方法。在这以后100100多年中，先后有多位数多年中，先后有多位数学家研究过这个问题，但均未得到过正确的答案。学家研究过这个问题，但均未得到过正确的答案。2021-8-89 直到直到16541654年，一位经验丰富的法国赌徒年，一位经验丰富的法国赌徒默勒默勒以自己的亲以自己的亲身经历向身经历向帕斯卡帕斯卡请教请教“赌金分配问题赌金分配问题“，求助其对这种现象，求助其对这种现象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接受作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交

9、给另一位了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一位法国数学家法国数学家费尔马费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围绕。之后，他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯惠更斯获悉，回荷兰后，他也开始获悉，回荷兰后，他也开始就这方面展开研究。就这方面展开研究。 2021-8-810 帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，最后分别独立的解决了析计算赌博中出现的各种问题，最后

10、分别独立的解决了“分赌注问题分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念从而建立了概率论的一个基本概念数学期望，这是数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，也解决了掷骰子中的一些数学问题。多年的潜心研究，也解决了掷骰子中的一些数学问题。16571657年，他将自己的研究成果写成了专著年，他将自己的研究成果写成了专著论掷骰子游论掷骰子游戏中的计算戏中的计算。这本书迄今为止被认为是概率论中最早。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说

11、早期概率论的真正创立者是的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡帕斯卡、费尔马费尔马和和惠更斯惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，主要。这一时期被称为组合概率时期，主要是计算各种古典概率。是计算各种古典概率。 2021-8-811费尔马的解法费尔马的解法 费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可轮便可决出胜负，如果用决出胜负，如果用“甲甲”表示甲方胜，用表示甲方胜，用“乙乙”表示乙方胜，表示乙方胜，那么最后那么最后4轮的结果，不外乎以下轮的结果，不外乎以下16种排列。种排列。甲甲甲甲甲甲甲甲 甲甲乙乙甲甲乙乙 甲乙乙乙甲乙乙乙甲甲甲乙

12、甲甲甲乙 甲乙甲乙甲乙甲乙 乙甲乙乙乙甲乙乙甲甲乙甲甲甲乙甲 甲乙乙甲甲乙乙甲 乙乙甲乙乙乙甲乙甲乙甲甲甲乙甲甲 乙乙甲甲乙乙甲甲 乙乙乙甲乙乙乙甲乙甲甲甲乙甲甲甲 乙甲乙甲乙甲乙甲 乙乙乙乙乙乙乙乙乙甲甲乙乙甲甲乙2021-8-812 在这在这1616种排列中，当甲出现种排列中，当甲出现2 2次或次或2 2次以上时，次以上时，甲方获胜，这种情况共有甲方获胜，这种情况共有1111种；当乙出现种；当乙出现3 3次次或或3 3次以上时，乙方胜出，这种情况共有次以上时，乙方胜出，这种情况共有5 5种。种。因此，赌金应当按因此，赌金应当按11:511:5比例分配。比例分配。2021-8-813帕斯卡的

13、解法帕斯卡的解法 帕斯卡解决这个问题则利用了他的帕斯卡解决这个问题则利用了他的“算术三角形算术三角形”，欧洲人常称之为欧洲人常称之为“帕斯卡三角形帕斯卡三角形”。事实上，早在北宋时。事实上，早在北宋时期中国数学家期中国数学家贾宪贾宪就在就在黄帝九章算法细草黄帝九章算法细草中讨论过，中讨论过，后经南宋数学家后经南宋数学家杨辉杨辉加以完善，并载入其著作加以完善，并载入其著作详解九章详解九章算法算法一书中。这就是我们常说的一书中。这就是我们常说的杨辉三角形杨辉三角形。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 12021-8-814 帕斯卡利用这个三角形获得

14、了从帕斯卡利用这个三角形获得了从n n件物品中一件物品中一次取出次取出r r件的组合数件的组合数 ，由上图可知，三角形，由上图可知，三角形第五行上的数恰好是第五行上的数恰好是 ，其中，其中 是甲出现是甲出现4 4次的组合数，次的组合数， 是甲出现是甲出现3 3次次的组合数等等。因此赌金应按照的组合数等等。因此赌金应按照的比例分配，这与费马得到的结果是完全一致的。的比例分配，这与费马得到的结果是完全一致的。 rnC43210444441,4,6,4,1CCCCC44C34C5:11)(:)(0414243444 CCCCC2021-8-815 在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士在他们之

15、后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族数学家族伯努利家族伯努利家族的几位成员。关于概率论的后的几位成员。关于概率论的后续发展，可参见课本后面的附录续发展，可参见课本后面的附录1 1。 2021-8-816数理统计的起源数理统计的起源 数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的收集、整理和分析受随机因数学分支，研究如何有效的收集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议采取某种决策和行动提供依据或建议. . 统计学是

16、一门很古老的统计学是一门很古老的科学科学，它起源于人口统计、社，它起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动。例如：在我国，公元前会调查等各种描述性统计活动。例如：在我国，公元前22502250年，大禹治水，根据山川土质，人力和物力的多寡，年，大禹治水，根据山川土质，人力和物力的多寡，分全国为九州；在西方，公元前分全国为九州；在西方，公元前30503050年，埃及建造金字塔，年，埃及建造金字塔，为征收建筑费用，对全国人口进行的普查和统计等都属于为征收建筑费用，对全国人口进行的普查和统计等都属于描述性的统计活动。早期的统计工作大都与国家实施统治描述性的统计活动。早期的统计工作大都与国家实施统治

17、有关。一般认为其学理研究始于有关。一般认为其学理研究始于古希腊古希腊的的亚里斯多德亚里斯多德时代时代（公元前（公元前384-322384-322），迄今已有两千三百多年的历史。），迄今已有两千三百多年的历史。2021-8-817 现在，概率论与以它作为基础的数理统计学的应用范现在，概率论与以它作为基础的数理统计学的应用范围愈来愈广泛，在自然科学，社会科学，工程技术，军事围愈来愈广泛，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨直观地说，卫星上天，导弹巡航

18、，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报，游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计；电子海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计；电子技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。与数理统计也是密不可分的。 统计学的发展大致可分为古典时期、近代时期和现统计学的发展大致可分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段进一步的了解可参见课本后面的附录代时期三个阶段进一步的了解可参见课本后面的附录1. 1. “数理统计数理统计” 是统计学在

19、第三个发展阶段所形成的是统计学在第三个发展阶段所形成的所有收集和分析数据的新方法的一个综合性名词。所有收集和分析数据的新方法的一个综合性名词。2021-8-818二、二、 随机试验随机试验 对随机现象，在相同条件下可重复进行的观察或试验对随机现象，在相同条件下可重复进行的观察或试验称为称为随机试验随机试验，简称，简称试验试验，一般用，一般用E表示。表示。 可以是各类科学试验，可以是各类科学试验，也可以是对某些事物也可以是对某些事物的某些特征的观察。的某些特征的观察。2021-8-819一些随机试验的例子一些随机试验的例子 例例1.11.1 抛掷一枚硬币，观察正面抛掷一枚硬币，观察正面H，反面，

20、反面T出出现的情况。现的情况。 例例1.21.2 在分别写有数字在分别写有数字1 1，2 2，1010的的1010张卡张卡片中任意抽取一张卡片，观察其数字。片中任意抽取一张卡片，观察其数字。 例例1.31.3 投掷两枚骰子，观察朝上一面的点数。投掷两枚骰子，观察朝上一面的点数。 例例1.41.4 从一批灯泡中，任抽取一只，观察其使从一批灯泡中，任抽取一只，观察其使用寿命。用寿命。2021-8-820随机试验的三个特点随机试验的三个特点1.在相同条件下可重复进行；在相同条件下可重复进行；2.试验前由试验条件能预知试验的所有可能结试验前由试验条件能预知试验的所有可能结果，且所有可能结果不止一个；果

21、，且所有可能结果不止一个；3.每次试验前不能预知会出现哪一个结果。每次试验前不能预知会出现哪一个结果。 有时，我们也称满足以上三个特点的试验为有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随随机试验机试验。注：注：上面的结果指的是基本结果。上面的结果指的是基本结果。2021-8-8211.1.2 样本空间样本空间 随机事件随机事件 随机试验随机试验E的的所有可能的结果组成的集合所有可能的结果组成的集合称为称为E的的样本空间样本空间，记为，记为。的每个元素，即的每个元素，即的每一个可能的每一个可能的结果，称为的结果，称为E的一个的一个样本点或基本事件样本点或基本事件。样本点样本点 指的是基本指的是基本结

22、果结果一、样本空间一、样本空间2021-8-822上面提到的各试验的样本空间为上面提到的各试验的样本空间为1 1=H,T=H,T2 2=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10=1,2,3,4,5,6,7,8,9,103 3=(1,1),(1,2),=(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2),(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6),(3,1),(3,2),(2,6),(3,1),(3,2),(3,6),(4,1),(4,2),(3,6),(4,1),(4,2),(4,6),(5,1),(5,2),(4,6),(5,1),(5,2),(5,6),(6,1),(6,2

23、),(5,6),(6,1),(6,2),(6,6),(6,6)4 4=t:t0=t:t02021-8-823二、随机事件二、随机事件 从本质上讲，随机事件就是从本质上讲，随机事件就是关于随机试验结果的关于随机试验结果的命题命题；从集合的角度来讲，随机事件是；从集合的角度来讲，随机事件是样本空间的子样本空间的子集集，是由一部分样本点构成的集合，随机事件简称事，是由一部分样本点构成的集合，随机事件简称事件，常用英文字母件，常用英文字母A，B，C，表示。，表示。一个事件发一个事件发生当且仅当属于它的某一个样本点出现生当且仅当属于它的某一个样本点出现。不必是基本不必是基本结果结果 例如，在例如，在例例

24、1.2中中“出现的数字是出现的数字是3”，“出现的数出现的数字是偶数字是偶数”都是随机事件。都是随机事件。记为记为“B”,则则B=2,4,6,8,10 在一次具体的试验中，我们说在一次具体的试验中，我们说B发生了当且仅当发生了当且仅当B中的样本点中的样本点2，4，6，8，10中某一个出现。中某一个出现。2021-8-824随机事件的分类随机事件的分类随机事件随机事件基本事件基本事件复杂事件复杂事件特殊事件特殊事件试验最直接的可能结果试验最直接的可能结果 由若干个基本事件共同由若干个基本事件共同在一起才能表达的结果在一起才能表达的结果必然事件必然事件 不可能事件不可能事件每次试验必然发每次试验必

25、然发生的结果，生的结果，记为记为每次试验必不发生的每次试验必不发生的结果，记为结果，记为由满足某种条件的样由满足某种条件的样本点构成的集合本点构成的集合2021-8-825 显然，样本空间是以基本事件为元素的集合，显然，样本空间是以基本事件为元素的集合，复杂事件是样本空间的至少包含两个元素的真子集，复杂事件是样本空间的至少包含两个元素的真子集，基本事件就是一个单点集，必然事件就是样本空间，基本事件就是一个单点集，必然事件就是样本空间，不可能事件是样本空间的空子集。不可能事件是样本空间的空子集。从集合的角度看从集合的角度看AB 2021-8-8261.1.3 事件的关系及运算事件的关系及运算 设

26、设A，B，是随机，是随机试验试验E的事件，的事件，是是E的样本空间的样本空间。BA1. 事件的包含关系事件的包含关系 若事件若事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生，则称事件发生，则称事件A包含于包含于事件事件B或事件或事件B包含事件包含事件A，记作，记作 。 例如，在例如，在例例1.2中，若令中，若令 A=抽到能被抽到能被4整除的号码整除的号码， B=抽到偶数号码抽到偶数号码， 事实上，事实上，A=4A=4，88，B=2B=2，4 4，6 6，8 8，1010。则则BA 2021-8-827事件的相等事件的相等 若若 ，则称事件，则称事件A A 与事件与事件B B 相等，记作相等，记作

27、A=BA=B。ABBA且BA2021-8-8282.2.事件的和（并）事件的和（并） 我们称我们称“事件事件A A与事件与事件B B至少一个发生至少一个发生”的事件的事件为事件为事件A A与事件与事件B B的和事件，记作的和事件，记作A+BA+B（或或ABAB）。）。 例例1.5 1.5 连续射击两次，观察各次中靶情况。设连续射击两次，观察各次中靶情况。设事件事件A=A=第一次命中第一次命中 ，B=B=第二次命中第二次命中 ，则和事件，则和事件A+B=A+B=至少命中一次至少命中一次 。BABA2021-8-829 两个事件和的概念可以推广到任意有限多个两个事件和的概念可以推广到任意有限多个事

28、件，甚至无穷可列个事件上。事件，甚至无穷可列个事件上。的的和和事事件件。无无穷穷可可列列个个事事件件的的为为的的和和事事件件。称称个个事事件件为为推推广广：称称,211211AAAAAAnAkknnkk 2021-8-8303.3.事件的积事件的积 我们称我们称“事件事件A A和事件和事件B B同时发生同时发生”的事件的事件为事件为事件A A和事件和事件B B的积事件，记作的积事件，记作ABAB或或ABAB。如如例例1.51.5中，事件中，事件AB=AB=两次都命中两次都命中 。ABAB2021-8-831推广推广knkA 1kkA 1n n个事件的积事件个事件的积事件可列个事件的积事件可列个

29、事件的积事件2021-8-8324.4.事件的差事件的差 我们称我们称“事件事件A A发生而事件发生而事件B B不发生不发生”的事的事件为事件件为事件A A与事件与事件B B的差事件，记作的差事件，记作A-BA-B。 如在如在例例1.51.5中，事件中，事件A-B=A-B=第一次命中而第第一次命中而第二次未命中二次未命中 。ABABAB AB BA BA 2021-8-8335.5.事件的互斥性（互不相容性）事件的互斥性（互不相容性） 若每次试验中，事件若每次试验中，事件A A与事件与事件B B不能同时发不能同时发生，即生，即AB= AB= 。则称。则称事件事件A A与事件与事件B B互斥或互

30、互斥或互不相容。不相容。 在在例例1.21.2中，若令中，若令A=A=抽到的号码能被抽到的号码能被3 3整除整除 ，B=B=抽到的号码能被抽到的号码能被5 5整除整除 ，则，则A A与与B B互斥。互斥。2021-8-8346.6.事件的对立事件的对立 若事件若事件A A与事件与事件B B互斥，且在每次试验中事件互斥，且在每次试验中事件A A与事件与事件B B必有一个发生，即必有一个发生，即，且BABA 则称事件则称事件A A称为事件称为事件B B的对立事件，记为的对立事件，记为 。 实例实例 抛掷一枚硬币，抛掷一枚硬币， “出现花面出现花面” 与与 “出出现字面现字面”是两个对立的事件。是两

31、个对立的事件。BA 2021-8-835互斥事件与对立事件的区别互斥事件与对立事件的区别ABABA A、B 对立对立A、B 互斥互斥 ABBA且 AB互互 斥斥对对 立立2021-8-8368.8.互斥事件完备群互斥事件完备群 设设 为试验为试验E E的一组事件，如果它们之中任意的一组事件，如果它们之中任意两个之间互斥，且每次试验中必有其中一个发生，则称这组两个之间互斥，且每次试验中必有其中一个发生，则称这组事件形成互斥事件完备群事件形成互斥事件完备群。即。即nAAA,21。且njiAAAnjijiAA21 ),2,1, ,( 由定义可看出，互斥事件完备群构成样本空间的一个由定义可看出，互斥事

32、件完备群构成样本空间的一个分割。特别地，随机事件的任一事件分割。特别地，随机事件的任一事件A A与其对立事件与其对立事件 构成构成一个最简单的互斥事件完备群。一个最简单的互斥事件完备群。A1A2A3A2021-8-8371.1.4事件的运算律事件的运算律.,)1(BAABABBA 交换律交换律),()()2(CBACBA 结合律结合律,)()()()3(BCACCBCACBA 分配律分配律.,:(4)BABABABA 摩根律摩根律德德).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA 注注 这些运算律都可以推广到有限个事件的情况，对这些运算律都可以推广到有限个事件的情况，对偶律

33、还可以推广到无穷可列多个事件的情况偶律还可以推广到无穷可列多个事件的情况。2021-8-838 例例1.61.6 设设A A, ,B B, ,C C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事试将下列事件用件用A A, ,B B, ,C C 表示出来。表示出来。A A出现出现, ,B B, ,C C不出现不出现; ;A A, ,B B出现出现, , C C不出现不出现; ;三个事件都出现三个事件都出现; ;三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现; ;三个事件都不出现三个事件都不出现; ;不多于一个事件出现不多于一个事件出现; ;不多于两个事件出现不多于两个事件出现; ;三个事件至少

34、有两个出现三个事件至少有两个出现; ;A A, , B B 至少有一个出现至少有一个出现, , C C 不出现不出现; ;A A，B B，C C 中恰好有两个出现。中恰好有两个出现。2021-8-839解解;)1(CBA;)2(CAB;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA;)8(BCACBACABABC ;)()9(CBA.)10(BCACBACAB ;ABC或或;)6(CBACBACBACBA ,)7(BCACBACABCBACBACBACBA 2021-8-840概率论研究的一个概率论研究的一个基本任务基本任务就是给随机就是给随机事件发生的可能性大小一个合理而科学的测事件发生的可能性大

35、小一个合理而科学的测度。度。1.2事件发生的概率事件发生的概率这也就意味着我们需要找到这也就意味着我们需要找到一个定义在一个由随机试验一个定义在一个由随机试验的所有随机事件构成的集合的所有随机事件构成的集合上的集函数使得它能科学合上的集函数使得它能科学合理的反映集合当中每个元素理的反映集合当中每个元素发生的可能性大小。发生的可能性大小。2021-8-8411.2.1 古典概型中的概率定义古典概型中的概率定义 我们称具有下列两个特点的随机试验为古我们称具有下列两个特点的随机试验为古典概型典概型：。包含的基本事件数包含的基本事件数包含的基本事件数包含的基本事件数nkAP(A) （1 1）试验只有有

36、限个可能的的基本结果）试验只有有限个可能的的基本结果; ;（2 2）每次试验中，每个样本点出现的）每次试验中，每个样本点出现的可能性相同可能性相同。个个样样本本点点，则则中中有有事事件件个个样样本本点点，中中有有本本空空间间在在古古典典概概型型中中，如如果果样样kAn 古典概型中的概率定义，古典概型中的概率定义，只适用于古典概型。只适用于古典概型。2021-8-842 例例1.71.7 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷3 3次。（次。（1 1）设事件）设事件A A1 1为为恰有一次出现正面，求恰有一次出现正面，求P(AP(A1 1) )。（。（2 2）设事件）设事件A A2 2为至为至少有一次出现

37、正面，求少有一次出现正面，求P(AP(A2 2) )。解：解： 该实验的样本空间该实验的样本空间=HHH=HHH，HHTHHT，HTHHTH，THHTHH，HTTHTT，THTTHT，TTHTTH，TTTTTT。（1 1）因为）因为A A1 1=HTT=HTT，THTTHT，TTHTTH，故故 P(AP(A1 1)=3/8)=3/8。 。8 87 7) )（2）P(A（2）P(A2 2 2021-8-843例例1.8 设一批产品有设一批产品有a件次品，件次品，b b件合格品，随机从中件合格品，随机从中抽取抽取n n件产品，求抽到的件产品，求抽到的n n件产品中正好有件产品中正好有k k件是次件

38、是次品的概率。品的概率。考虑如下两种情况考虑如下两种情况: :（1 1）有放回抽取）有放回抽取（2 2）不放回抽取）不放回抽取记记 A=A=抽到的抽到的n n件产品正好有件产品正好有k k件次品件次品 2021-8-844样本空间中的样本点总数为样本空间中的样本点总数为确定哪确定哪k k次取得次品，次取得次品，看有多少种可能看有多少种可能在确定好哪在确定好哪k k次后，次后，考虑这考虑这k k个次品个次品共有多少中取法共有多少中取法在确定好哪在确定好哪k k次后，次后，考虑剩下考虑剩下n-kn-k个合格品个合格品共有多少中取法共有多少中取法knkknnknkknbabbaaCbabaCAP)(

39、)(（1）有放回抽取）有放回抽取概率论中称为是概率论中称为是二项分布二项分布的概率公式的概率公式knCkaknbnba)( 2021-8-845（2）无放回抽取）无放回抽取nbaknbkanbaknbkaknnbaknbkaknCCCnCknkCCCAAACAP !)!( !)(概率论中称为概率论中称为超几何分布超几何分布的概率公式的概率公式nbaA为样本空间的样本点总数恰好取出恰好取出k k个次个次品的组合数品的组合数2021-8-846例例1.91.9 3030只元件中有只元件中有2727只一等品，只一等品，3 3只二等品。只二等品。随机将随机将3030只元件平均分装入三盒，求：只元件平均

40、分装入三盒，求： （1 1）每盒有一只二等品的概率；）每盒有一只二等品的概率； （2 2）有一盒有）有一盒有3 3只二等品的概率。只二等品的概率。解解： （1 1）把）把3 3只二等品平均分到三个盒子有：只二等品平均分到三个盒子有：1233x2x13x2x1种分法。种分法。余下的余下的2727只应该平只应该平均分到均分到3 3个盒子中；个盒子中；99927189CCC有：有：种分法。种分法。2021-8-847999271891010103020103 2 1(1) ( )C C CCCCP A 1710103272010101010302010(2) ( )CC CCCCCP B 第第2 2

41、个问题，首先从个问题，首先从3 3个盒子中任选一个个盒子中任选一个出来放出来放3 3只二等品，这个盒子的另只二等品，这个盒子的另7 7只从只从余下的余下的2727个一等品中选；个一等品中选；2021-8-848。A AP P) )A A两两两两互互斥斥，则则P P( (A A, , ,A A, ,( (3 3) )设设事事件件A A 1 1；有有P P( () )( (2 2) )对对必必然然事事件件， 1 1；P P( (A A) )事事件件，则则0 0( (1 1) )设设A A为为任任一一随随机机 ：古古典典概概率率具具有有如如下下性性质质讲讲过过的的例例子子，不不难难看看出出由由古古典

42、典概概率率的的定定义义和和刚刚n n1 1i ii in n1 1i ii in n2 21 12021-8-8491.2.2几何概型中的概率定义几何概型中的概率定义 若随机试验若随机试验E E的样本空间的样本空间是某一是某一有界可度量有界可度量的区域的区域（可以是一维，二维，（可以是一维，二维，n n维空间的），此区域中每个维空间的），此区域中每个点都是点都是E E的一个样本点，其样本点具有所谓的的一个样本点，其样本点具有所谓的“均匀性均匀性质质”，即样本点落入，即样本点落入中任意一子区域中任意一子区域A A的概率与的概率与A A的测度的测度（长度，面积，体积等）成正比，而与（长度，面积，体

43、积等）成正比，而与A A的形状和位置无的形状和位置无关，我们称这种随机试验为关，我们称这种随机试验为几何概率模型几何概率模型。定义定义 设设E E为几何概型为几何概型,A,A为其任意一个事件，它的样本空间为其任意一个事件，它的样本空间的测度为的测度为()()， (A)(A)为事件为事件A A的测度，则事件的测度，则事件A A的概率的概率为为。()(A)p(A) 2021-8-850例例1.101.10 随机在单位圆内掷一点随机在单位圆内掷一点M M，求，求M M点到原点到原点距离小于点距离小于1/41/4的概率。的概率。1 1/4()()22( )(1/4)1116m AmP A 解：解：20

44、21-8-851 例例1.111.11 某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为两船在码头卸货时间分别为1 1小时和小时和2 2小时，设甲、小时，设甲、乙两船在乙两船在2424小时内随时可能到达，求它们中任何小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需要等待码头空出的概率。一船都不需要等待码头空出的概率。 ( , ):0,24x yx y 解：解：2 1:),( yxorxyyxA2021-8-85224Y=x+1Y=x-21(23 2322 22)( )2( )()24 24S AP AS2021-8-853 。两两两两互互斥斥，则则设设事事

45、件件；，有有对对必必然然事事件件；为为任任一一随随机机事事件件，则则设设有有如如下下性性质质：容容易易看看出出几几何何概概率率也也具具 niiniinAPAPAAAPAPA1121)(,)3( 1)()2( 1)(0)1( 2021-8-854零概率事件不一定不发生零概率事件不一定不发生 例如在例如在0,10,1区间上任意取一个随机数区间上任意取一个随机数, ,则这个随则这个随机数恰好等于机数恰好等于0.50.5的概率是多少的概率是多少? ?010.5P=P=点点(0.5)(0.5)的长度的长度/0,1/0,1区间的长度区间的长度=0=0？则A则A ，若P(A)若P(A) 02021-8-85

46、51.2.3概率的统计定义概率的统计定义 大量实践表明：大量实践表明：事件发生频率有波动性，但随着事件发生频率有波动性，但随着试验次数增加，事件发生频率会呈现某种稳定性，即试验次数增加，事件发生频率会呈现某种稳定性，即频率会稳定在某个值附近摆动，且频率会稳定在某个值附近摆动，且n越大摆动幅度越越大摆动幅度越小。小。 设设A是随机试验是随机试验E的一个随机事件，若在的一个随机事件，若在n次重次重复试验中，事件复试验中，事件A发生了发生了k次，则称比值次，则称比值k/n为事件为事件A在在n次试验中发生的频率，记为次试验中发生的频率，记为fn(A)。 在历史上，为了验证这一点，许多学者对抛硬在历史上

47、，为了验证这一点，许多学者对抛硬币进行了观察，一些记录如下表所示币进行了观察，一些记录如下表所示:nkAfn )(2021-8-856试试 验验 者者抛抛 掷掷 次次 数数出现正面的次数出现正面的次数出现正面的频率出现正面的频率德德. .摩根摩根20482048106110610.51800.5180蒲蒲 丰丰40404040204820480.50690.5069皮尔逊皮尔逊1200012000601960190.50160.5016皮尔逊皮尔逊240002400012012120120.50050.5005维维 尼尼300003000014994149940.49980.4998正面出现的

48、正面出现的频率频率抛掷次数的增加抛掷次数的增加1/21/22021-8-857容易验证，频率具有下列性质：容易验证，频率具有下列性质： 。两两两两互互斥斥，则则设设事事件件；，有有对对必必然然事事件件；为为任任一一随随机机事事件件，则则设设 niinniinnnnAfAfAAAfAfA1121)(,)3( 1)()2( 1)(0)1( 2021-8-858概率的统计定义概率的统计定义 设在相同条件下重复进行的设在相同条件下重复进行的n次试验次试验, , 事件事件A出现了出现了k次。次。若随着试验次数若随着试验次数n n的增大，事件的增大，事件A发生的频率发生的频率f（）稳定稳定地在某一常数地在

49、某一常数P附近摆动附近摆动, , 且且n n越大越大, ,摆动幅度越小摆动幅度越小, , 则称则称P为事件为事件A在一次试验中发生的概率在一次试验中发生的概率, , 记作记作P（A）。 2.2.以上以上概率的统计定义对试验没有特殊限制，适用概率的统计定义对试验没有特殊限制，适用于所有随机试验，在理论和实践上都有一定的意义。于所有随机试验，在理论和实践上都有一定的意义。优点是易于理解，在试验次数足够大时能给出概率优点是易于理解，在试验次数足够大时能给出概率的的近似值，近似值，也提供了一种检验理论正确与否的准则也提供了一种检验理论正确与否的准则；不足是不足是粗糙、模糊和不便使用粗糙、模糊和不便使用

50、。注注满满足足的的三三条条性性质质。也也具具有有上上述述频频率率)()( . 1 nfP2021-8-859 设设E是随机试验，是随机试验，是它的样本空间。对于每一个是它的样本空间。对于每一个事件事件A赋予一个实数赋予一个实数 P（A）,称为事件称为事件A 的概率，如的概率，如果集合函数果集合函数P（）满足以下三条：满足以下三条：; 1)(P 2. )(P)(P , 31121iiiiAAAA件对于两两互不相容的事1;P(A)0 A 1有对于每一个事件1.2.4 概率的公理化定义概率的公理化定义 非负性非负性规范性规范性可列可加性可列可加性19331933年，年，（前）苏联数学家柯尔莫哥落夫提

51、出的2021-8-8601.3 概率的性质概率的性质性质性质1 10)( P证明：因证明：因 ，由可列可叫性，由可列可叫性，( )( )( )( )PPPP 所以，所以，。0)(P性质性质2 设设nAAA,21是两两互斥的事件，则有是两两互斥的事件，则有。)()()()(2121nnAPAPAPAAAP概率的有限可加性概率的有限可加性这里的概率是公理化定这里的概率是公理化定义中的概率义中的概率2021-8-861证明：证明：,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP。)()()(21nAPAPAP)(21nAAAP且且12121n

52、nnAAAAAAA则由可列可加性，有则由可列可加性，有2021-8-862性质性质3 3 设设A A，B B是随机试验是随机试验E E的两个事件，且的两个事件，且B，B，A A P(A)。P(A)。P(B)P(B) (2)(2) P(A);P(A);P(B)P(B)A)A)P(BP(B (1)(1) 则则证明：证明：P(A)。P(A)。- -P(B)P(B)A)A)- -P(BP(B 于是于是A)。A)。P(BP(BP(A)P(A)P(B)P(B) 由有限可加性由有限可加性故故 ，A)A)- -(B(B且A且A A)，A)，- -(B(BA AB BB B（1）由A（1）由A P P( (A

53、A) )。P P( (B B) ) 0 0A A) )P P( (B BP P( (A A) )- -B B) )（2 2）由由（1 1），P P( (AB2021-8-863性质性质4 4 P(A)。P(A)。1 1) )A A则P(则P(是A的对立事件，是A的对立事件，A A设设，AAAAAA ,的对立事件的对立事件式式由由。P(A)P(A)1 1) )A AP(P(A)A)P(AP(A) )P(P(1 1所以所以 。) )A AP(P(P(A)P(A)证明：证明：性质性质5 5。，P(AB)P(AB)P(B)P(B)P(A)P(A)B)B)P(AP(A有有B BA A对于任意两事件对于任

54、意两事件) )加法公式加法公式( (2021-8-864证明：证明： 由图可得由图可得AB),AB),(B(BA AB BA A，AB)AB)(B(BA A且且。AB)AB)P(BP(BP(A)P(A)B)B)P(AP(A故故又由性质又由性质3 3得得因此得因此得P(AB),P(AB),P(B)P(B)AB)AB)P(BP(BABAB。P(AB)P(AB)P(B)P(B)P(A)P(A)B)B)P(AP(A2021-8-865 加法公式可以推广到有限个事件的情况，加法公式可以推广到有限个事件的情况，下面给出三个事件的情况下面给出三个事件的情况P P( (A AB BC C) )P P( (B

55、BC C) )P P( (A AC C) )P P( (A AB B) )P P( (C C) )P P( (B B) )P P( (A A) )C C) )B BP P( (A A2021-8-866例例1.12 1.12 A A，B B为两事件，已知为两事件，已知B)。B)。A AP(P( 求求0.7，0.7，B)B)0.3，P(A0.3，P(AP(B)P(B)。P(AB)P(AB)P(A)P(A)1 1P(AB)P(AB)P(B)P(B)P(B)P(B) )A AP(P(AB)AB)P(BP(BP(B)P(B) )A AP(P(B)B)A AP(P(P(B)P(B) )A AP(P(B)

56、B)A AP(P( 解解：AABB2021-8-867。因为0.40.40.30.30.70.7P(B)P(B)B)B)P(AP(AP(AB)P(AB)P(A)P(A) 0.6。0.6。B)B)A AP(P( 故故2021-8-8681.4 1.4 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性2021-8-8691.4.1 条件概率条件概率定义：设定义：设A A，B B是两个事件，且是两个事件，且P(B)P(B)0 0，则称，则称为已知事件为已知事件B B发生的条件下事件发生的条件下事件A A发生的条件概率。发生的条件概率。()(|)( )P ABP A BP B 2021-8-870例例1.

57、131.13 在有两个小孩的家庭中在有两个小孩的家庭中, , 考虑其性别，已考虑其性别，已知其中一个是女孩知其中一个是女孩, ,问另一个也是女孩的概率是多问另一个也是女孩的概率是多少少?(?(假定生男生女是等可能的假定生男生女是等可能的) )解法一解法一: : 考虑样本空间考虑样本空间: : 男，女），（女，女）男，女），（女，女） 记记A=A=另一个也是女孩另一个也是女孩 则则 P(A)=1/2.P(A)=1/2.解法二解法二: : 考虑样本空间考虑样本空间: : 男，男男，男 ， 男，女），（女，女）男，女），（女，女） ()(|)( )P ABP A BP B 2021-8-871 记记

58、B=B=两个孩子中至少有一个是女孩两个孩子中至少有一个是女孩 ，C=C=两个都两个都是女孩是女孩 。 则已知一个是女孩的条件下，另一个也是女孩的概则已知一个是女孩的条件下，另一个也是女孩的概率等价于已知率等价于已知B B发生的条件下，发生的条件下，C C发生的概率。发生的概率。记为记为P(C|B)P(C|B)我们知我们知由条件概率计算公式，由条件概率计算公式，213/23/1)()()|( BPBCPBCP解法二解法二2021-8-872例例1.141.14 袋中有袋中有7 7个白球和个白球和3 3个黑球，从中无放回个黑球，从中无放回地随机摸地随机摸3 3个球，已知其中之一是黑球，试求其个球，

59、已知其中之一是黑球，试求其余两球都是白球的概率。余两球都是白球的概率。解：设解：设A=A=取出的取出的3 3个球中至少有一个是黑球个球中至少有一个是黑球 ，B=B=一黑二白一黑二白 。故所求事件的概率为故所求事件的概率为P(BA)P(BA)。方法方法1.1.利用条件概率定义计算。此时样本空间的样本利用条件概率定义计算。此时样本空间的样本点总数为点总数为 , ,310C事件事件A A包含的样本点数包含的样本点数 。3317232713CCCCC 事件事件ABAB包含的样本点数包含的样本点数 。1327CC 。8563)()()( APABPABP()(|)( )P ABP A BP B 2021

60、-8-873方法方法2. 2. 考虑已知考虑已知A A发生的条件下的样本空间，则发生的条件下的样本空间，则。包含的样本点数包含的样本点数包含的样本点数包含的样本点数8563)( ABABP ini1i 13 A () P(A |)(|)jniiAijBP A B )|BP(-1A)|P(B 4A 2 P( |A)11 0P(B|A)1易知易知, ,条件概率具有概率的一切性质条件概率具有概率的一切性质: :2021-8-874例例1.151.15 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活2020岁以上的概率岁以上的概率0.8, 0.8, 活到活到2525岁以上的概率为岁以上的概率为0.4, 0.