等价无穷小量在求极限上的应用

1、 数理学院 jinggangshan university 毕业论文（设计） 等价无穷小量在求极限上的应用等价无穷小量在求极限上的应用 姓 名 单位地址 井冈山大学 邮政编码 343009 专 业 数学与应用数学 系（院） 数理学院 指导教师 2013 年 5 月 1 日 目目 录录 摘要摘要1 引言引言2 一、无穷小量一、无穷小量3 1.1 无穷小量的定义3 1.2 等价无穷小量的一些基本性质3 1.3 无穷小量阶的比较及等价无穷小量的定义3 二、等价无穷小量二、等价无穷小量4 2.1 等价无穷小量的重要性质4 2.2 一些常用的等价无穷小量4 三、极限问题的解法三、极限问题的解法5 3.1

2、 可以直接求极限的问题5 3.2 用两个重要极限求极限5 3.3 用洛必达法则求极限6 3.4 用等价无穷小量求极限7 3.5 等价无穷小代换的局限性8 3.6 阶数的求法9 3.7 利用泰勒公式求函数极限9 四、等价无穷小替换的优势四、等价无穷小替换的优势11 五、方法总结五、方法总结12 参考文献参考文献13 英文摘要英文摘要14 【摘摘 要要】 无穷小量从提出到正式的定义经过了一番曲折，还引发了一次数学危机，等价无穷小 量的提出，在微积分领域可以说具有划时代的意义，它为解决正项级数与极限等类型 的问题带来了很大的方便，特别是在极限问题上。这里我们只重点讨论它在求极限方 面的应用以及优势，

3、等价无穷小代换是一种应用很广泛的求极限方法，但是要注意遵 守无穷小量的替换法则，才能使得计算简化而又不出错，当然本文会具体去讨论应用 中要注意的事项。正确使用等价无穷小量能解决洛必达法则所不能解决的问题。在求 极限问题中，方法有很多，比如利用两个重要的极限求极限，利用洛必达法则还有等 价无穷小替换以及泰勒公式等方法求极限，这些方法都有它的优越性，但是我们总想 要去寻求一种最简单便捷的方法得到结果，其中等价无穷小替换有着不可替代的地位， 以及优越的简化计算的作用。 【关键词关键词】 等价无穷小量；洛必达法则；两个重要的极限；泰勒公式；优越性。 引言 微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。其实微积

4、分是由牛顿和莱布尼茨独自完成 的，一开始他们就是从直观的无穷小量开始的。数学中的分析学早期就叫无穷小分析， 无穷小量在当时是一个让人头疼的概念。 按照牛顿的流数法来计算导数的方法如下 ： n x x xxx nn ）（ x xxx nn xnx nnn 221 2 ) 1( 1121 2 ) 1( nnnn nxxxx nn nx 算法虽然很简单，可是确实有矛盾。我们知道，要使等式中式成立，则必需 0，而要式成立，则需。问题就成了讨论到底是不是 0? 如果是零 0，x0 xx 怎么能用它做除数? 如果不是，又怎么能把包含着的项去掉呢?这也是当时微积分x 的一个悖论贝克莱悖论。就这样，在完善微积

5、分基础理论问题的过程中，数学界 出现了比较混乱的局面，并由此引发了第二次数学危机。直到柯西系统地发展了极限极限 理论理论。他认为，如果硬要把这里的作为确定的量，即使是 0，都不算准确，它会与x 极限的定义发生矛盾；应该是要它如何小就如何小的量，将这样一个量命名为无穷无穷x 小量。小量。所以，本质上它是以零为极限的变量变量。定义为变量，才解开了人们对无穷小量 概念的模糊认识。第二次数学危机结束，贝克莱悖论得到解决。改用极限的概念 ,那 么求导数的过程就可以改写为： n x x xxx nn x ）（ 0 lim x xxx nn xnx nnn x 221 0 2 ) 1( lim 2 ) 1(

6、 lim 121 0 nnn x xxx nn nx 1 n nx 这样，就没有矛盾了。于是，无穷小量正式诞生了。 一、无穷小量 1.1无穷小量的定义 设 f 在某空心邻域内有定义.若,则称 为当时的无穷小量。无穷小量。）（ 0 0 ux0)(lim 0 xf xx 0 xx 1.2无穷小量的一些基本性质 根据无穷小量的定义，可以类似地定义当，以及 0 xx 0 xx x 时的无穷小量与有界量。 x 这里我们很容易判断,如函数,均为当时的无穷小量。 xcos-1 2 xxsin0 x 在这里我总结了一些无穷小量的性质无穷小量的性质： （1)无穷小量是一个变量。在变化过程中以零为极限. 如函数

7、，当时的无穷小量,但当时不是无穷小量。 1 xx1x (2) 绝对值非常小的数并不就是无穷小量；无穷小量是无限趋近于0 而又不等于0的 量。 （3）在一次运算过程中，有限个无穷小量的和、差、积还是无穷小。 【注意注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小。 例如，时是无穷小，但个之和为1，不是无穷小。n n 1 n n 1 （4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量。 如：， 0 1 ) 1(lim n n n 0 1 sinlim 0 x x x 0sin 1 lim x x x 1.3无穷小量阶的比较及等价无穷小量的定义 1）若 ,则称当时，是高阶无穷小，或称为的0 )( )( lim 0 xg

8、 xf xx 0 xx )(xf)(xg)(xg)(xf 低阶无穷小，记作= ().)(xf)(xg 0 xx 特别，特别，f为当x时的无穷小量记作 = (). 0 x)(xf) 1 ( 0 xx 2)若存在正数k和l,使得在某上有,则称与为当时的同)( 0 0 xul xg xf k )( )( fg 0 xx 阶无穷小量.特别当时，则称与必为当同阶无穷小。)0( )( )( lim 0 cc xg xf xx )(xf)(xg 0 xx 3) 若若，则称，则称与与是当是当时的时的等价无穷小量等价无穷小量. .记为记为. .1 )( )( lim 0 xg xf xx )(xf)(xg 0

9、xx )(xf)(xg 注：注：当x0 时，与 虽然都是无穷小量，却不能进行阶的比较，所以在进行 x x 1 sin 23 x 阶的比较时还要注意有没有意义。 二、等价无穷小量 2.1 等价无穷小量的重要性质 设, 等均为同一自变量变化过程中的无穷小。a 性质一：若, 且存在，则a lim () limlim lim lim lim lim) lim(lim 性质二：若，则.aa 性质一是等价无穷小量商的极限求法；性质二是等价无穷小量的传递性. 2.2 一些常用的等价无穷小量: (当 时)0 x （1）； （2）； （3）； xcos1 2 2 x xtanxxarcsinx （4）； （5）

10、； （6）；xarctanxxsinx1 x ex （7）； （8）. )1ln(xx1)1 ( n xnx 三、极限问题的解法 3.1 可以直接求极限的问题 3.1.1 直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限。 0 xx 0 x 0 xf 例例 1 1 2 1 523 123 lim 3 245 1 xx xxx x 若不存在，可以代入进去，看分子分母的值判断属于哪一类型，再做打算。 0 xf 例如： 就不能直接代入，但可以知道这是一个型的不定式，我们可以用以下的 2 4 lim 2 2 x x x 0 0 方法来求解。 3.1.2 （因式分解）： 例例 2 2 。42lim 2

11、 4 lim 2 2 2 x x x xx 3.1.3 （分子（分母）有理化）： 例例 3 3 0 1 1 lim 1 11 lim 1 1 lim1lim 22 222 2 xxxx xxxxxx xx xxxx 3.2 用两个重要极限求极限 在高等数学里， 有两个极限是很重要的，在求极限上很有用。这里我们只写出结论来， 证明省略： （1） （2） e x x x ) 1 1 (lim 0 1 sin lim 0 x x x 很多时候我们都会用到这两个重要的极限去快速的解决一些特殊的极限问题，列举两 个例题： 例例 4 4 求 x x x 2 7sin lim 0 例例 5 5 求 x x

12、x 3 0 ) 1 1 (lim 2 7 1 2 7 7 7sin lim 2 7 2 7 7 7sin lim 2 7sin lim 000 x x x x x x x x xxx 解： 解 33 0 3 0 ) 1 1(lim) 1 1 (lime xx x x x x 可是这两个重要极限的使用也有其局限性，对于更一般的极限，就不能用了，我们只 能另辟蹊径。 3.3 用洛必达法则求极限 我们定义两个无穷小或两个无穷大量之比的极限为型或型不定式极限。这两种情 0 0 况都不能直接用商的极限运算法则计算。而导数就是讨论型不定式极限的，所以， 0 0 我们可以用导数作为工具来研究一般不定式的极限

13、。这种方法我们称之为“洛必达法 则”。 例例 6 6 . 2 3 lim 24 4 1 xxx xx x 求 解：很明显这里是不能直接代入 1 的，用以上几种方法都显得“鸡肋”，我们用洛必 达法则试试。则有： （分子分母同时求导） 128 14 lim 3 3 1 xx x x 原式 224 12x lim 2 2 1 x x x x x 48 24 lim 1 2 1 用洛必达法则很容易就得出结果，那么看一下下面这个例题 例例 7 7 ) sin 11 (lim 22 0 xx x 求： （1） ，现在我们直接使用洛比达法则，则 xx xx x 22 22 0 sin sin lim 解：原

14、式 （2） xxxxx xxx x cossin2sin2 2cossin2 lim 22 0 原式 会发现，分子分母上的求导运算越来越复杂，并没有起到简化的作用。那么怎么办呢? 我们这时候要想到等价无穷小替换，如果在第（1）步中对分母上的无穷小量用等sin x 价无穷小量来替换，则x 3 1 24 2cos8 lim 24 2sin4 lim 12 22cos2 lim 4 2cossin2 lim sin lim 00 2 0 3 0 4 22 0 x x x x x x xxx x xx xxxxx 原式 这时再使用洛比达法则，运算过程就变的简单了。 同样的我们看到下面这个例题： 例例

15、8 8 )sin(tan )tan(sin lim 0 x x x 解： 原式 （用洛必达法则） xx xx x 2 2 0 sec)cos(tan cos)(sinsec lim （将 x=0 代入） )tan(sin )sin(tan lim 0 x x x （用洛必达法则） )sin(tan )tan(sin lim cos)(sinsec sec)cos(tan lim 0 2 2 0 x x xx xx xx 用洛必达法则求不出结果，会一直循环下去.怎么办？用等价无穷小量代换. 3.4 用等价无穷小量求极限 回到上面的例 8，因为 xsinxtanx(x0)，所以,原式= =1，问题

16、迎刃而解。 0 lim x x x 我们再一次看到了洛必达法则的局限性以及等价无穷小替换的方便。 例例 9 9 x x x cos1 tan lim 4 0 求 解 当当时,.x 01 cosx 21 2 x xtanx .2 2 1 lim 2 2 0 x x x 原式 同样的，这里如果只使用洛必达法则，上式越变越复杂,求出结果也是累的半死.改用 等价无穷小替换就方便的多了。 那么是不是任何时候都可以用等价无穷小来替换呢？ 3.5 等价无穷小代换的局限性 下面我们通过一个例题来具体讨论一下： 例例 1010:（1） （2） 3 0 2 2sin2tan lim x xx x x xx x 3

17、 33sin lim 0 先算第（1）题，利用重要极限和运算法则直接求： 2 sin 2 2tan lim2 2 sin22tan lim 2 )2cos1 (2tan lim 2 2sin2tan lim 2 0 3 2 0 3 0 3 0 x x x x x xx x xx x xx xxxx 如果改用等价无穷小替换： 3 0 2 2sin2tan lim x xx x 0 2 22 lim 3 0 x xx x 明显这是一个错误的结论。 同样的第（2）题也利用重要极限和运算法则直接求： 0 3 3sin 1lim 3 33sin lim 00 x x x xx xx 改用等价无穷小计算：

18、 结果与上式相同. x xx x 3 33sin lim 0 0 3 33 x xx 可是为什么会这样呢？有的可以作等价替换，而有的题目作替换后就出错？ 【注意】两个函数相减时就不能随便用等价无穷小替换了。 那么怎么判断两个函数相减时用等价无穷小替换到底是不是合适的呢？ 其实我们只要搞清楚等价无穷小代换的实质，原因就出在它的余项上。 第（1）题若用等价无穷小，实际上应当为 3 0 2 2sin2tan lim x xx x 3 0 3 0 2 )( lim 2 )(2()(2 lim x x x xxxx xx 因为分子是的高阶无穷小，而不是的高阶无穷小，所以不一定等于零。x 3 x 3 0

19、2 )( lim x x x 第（2）题中 . x xx x 3 33sin lim 0 0 )( lim 3 )(3()(3 lim 00 x x x xxxx xx 【注】无穷小量的的和，差，积还是无穷小量。 这里分子是的高阶无穷小，那么分子与的比值的极限为零。xx 也就是余项的阶数一定要统一，在余项的阶数不同的情况下，就不可随便等价代换。 以上结果说明在错用等价无穷小量时，一般是阶数的判断上出现错误，那么阶数应该 怎么求呢？请看下面的例题 3.6 阶数的求法 例例 1111 .2sin2tan,0的阶数关于求时当xxxx 解 3 0 2sin2tan lim x xx x 4) 2cos

20、1 2 2tan (lim 2 0 x x x x x 的三阶无穷小。是关于xxx2sin2tan 例例 1212 .tan,0: 3 的四阶无穷小为时当证明xxxx 证： 4 3 0 tan lim x xx x 1) tan (lim 3 0 x x x 所以，当。也就是，只要使得两个作比较的无的四阶无穷小是关于时xxxx 3 tan,0 穷小量的极限的是常数，此时，与之作比较的变量的幂就是阶数。x 如果作比较的无穷小量阶数不同，即等价无穷小替换出现条件限制，而使用洛必 达法则又很复杂的情况下，我们还可以考虑使用泰勒公式。 3.7 利用泰勒公式求函数极限 泰勒定理：若函数在a,b上存在直至

21、 n 阶的连续导函数，在（a,b）内存在（n+1）f 阶导函数，则对任意给定的a,b，至少存在一点 （a,b）,使得 0 ,xx 1 0 )1( 0 0 )( 00 0 )( )!1( )( )( ! )( )()()( n n n n xx n f xx n xf xxxfxfxf 一般我们用到的都是时的特殊形式：0 0 x )( ! )0( )0()0()( )( nn n xx n f xffxf 也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式麦克劳林公式。下面我们将用到这两个公式， 让我们将例 10 稍作修改，以便计算 第（1）题求改为 3 0 2 2sin2tan lim x xx x 求

22、3 0 tansin lim x xx x 同样，是在时，将与作比较，所以将和都要展开到项，0 x xxsintan 3 xxtanxsin 3 x 有如下展开式： , 33 1 tan() 3 xxxo x 3 3 sin() 3! x xxo x 则 3 0 tansin lim x xx x 3 33333 33 00 11 ()()() 33!2 limlim xx x xxo xxo xxo x xx 3 3 0 1()1 lim 22 x o x x 第（2）题求 x xx x 3 33sin lim 0 这里是在时，将与作比较，所以只需将展开到，就可以了。0 x xx33sinx

23、3x3sinx 有如下展开式： )(33sinxxx 所以，. x xx x 3 33sin lim 0 0 )( lim 3 3)(3 lim 00 x x x xxx xx 这里我们先初步了解用泰勒公式的基本步骤，可以看到对于这些简单的极限用泰勒公 式也很容易算出结果。下面我们再看个复杂一点的： 例例 1313 求极限 x x ex x x cos 1 1 1 lim 2 0 解解 我们分别用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去展开分子和分母,即： ；)(1 -1 1 22 xxx x )( 2 1 1cos 22 xxx )( 2 1 2 2 2 x x xe x x ex x x cos 1

24、 1 1 lim 2 0 1 )(2 )(2 lim )( 2 1 1)( 2 1 1 )(11 lim 2 2 0 2222 222 0 xx xx xxxxx xxxx xx 其实，我们不难发现，用泰勒公式虽然可以解决一些较复杂的求极限问题。但是过程 着实复杂，而且一不小心就容易在计算上出错，而往往一步错，就会导致整个结果全 错，而且错误还不容易发现，最麻烦的是要去判断应该展开到哪一项。所以泰勒公式 表现出优点的同时，也显现出弊端。这里就再一次体现出等价无穷小替换的好处了。 四、等价无穷小替换的优势 例例1414 求 x x x 5sin )51ln( lim 0 解解 首先，我们用两个重

25、要极限解答： 因为 ,1)51ln(lim 5 1 0 x x x1 5 5sin lim 0 x x x 所以有 = x x x 5sin )51ln( lim 0 1 5 5sin )51ln( lim 5 5sin 5 )51ln( lim 5 1 00 x x x x x x x x xx 然后，再用洛必达法则解题： 原式= x x x 5sin )51ln( lim 0 1 )51 (5cos 1 lim 5cos5 51 5 lim 00 xxx x xx 我们看一下等价无穷小替换： 由于等价于,等价于，则由等价无穷小替换有：)51ln(xx5x5sinx5 x x x 5sin

26、)51ln( lim 0 1 5 5 lim 0 x x x 从这个例子中我们看到，求解函数极限的方法有很多种，以上我们基本上都罗列出了 这些主要解题方法。我们解题当然是得出正确的结果最重要，运用泰勒公式虽然基本 上可以解决一些“难啃的骨头”，但是过程与其他的方法一样，往往显得很繁琐，这 是我们不想看到的。正是出于这种考虑，我们发现恰当地利用无穷小替换能够快速、 准确地求解一些函数极限。 五、方法总结 这么多求极限的方法，在运用这些方法的时候要注意什么呢？作个总结，如下: （1）能直接简单计算出来的就直接计算。 （2）若不能直接计算出来，检查是否满足 0 0 或 型不定式，再用洛必达法则， 若

27、条件符合洛必达法则，就可连续多次使用，直到求出极限为止。不符合条件，不可 随便用。 （3）如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合。比 如用等价无穷小量替换等等. （4）等价无穷小替换在使用的过程中也要注意两个函数相减时不能滥用等价无穷小替 换，要想用就必须注意余项的情况，进而确定能否用，不能用的时候，可考虑用泰勒 公式。 （5）一般情况下，都不会单一地去使用某个方法，而是几种变换相结合，达到最优的 解题效果，这就要求熟练地掌握这些方法的运用。 极限计算是数学分析中的一个重要内容。求极限的方法有很多，洛必达法则、泰 勒公式、等价无穷小替换都是常用的方法。纵观这些方法，

28、等价无穷小代换是比较理 想的，它具有简洁、快速、便于计算、在掌握限制条件的情况下不易出错等众多优势。 当然没有单一的万能公式可以解决所有的问题，任何方法都有缺陷，我们只是挑选相 对来说最简便的。通常这些方法会结合起来一起使用，目的肯定是使解题步骤简化， 减少运算错误。其替换的原则是整体代换或对其中的因式进行代换，即在等价无穷小 量的代换中，可以分子分母同时进行代换，也可以只对分子（或分母）进行代换。当 分子或分母为和（差）的形式时，就不能随便进行等价无穷小量替换了。而应将和式 作为一个整体进行代换；当分子或分母为几个因式相乘积时，也可以只对其中某些因 式进行等价无穷小量代换。总体来说，只有因式

29、才可以进行等价无穷小量替换，几个 函数相加减时就不能随便用等价无穷小替换了。 参参 考考 文文 献献 1 华东师范大学数学系.数学分析（上册） （第三版）北京：高等教育出版社,2008. 重印. 2 杨文泰,等价无穷小量代换定理的推广j.甘肃高师学报,2005,10（2）：1113. 3 王斌.用洛必达法则求不定式极限的局限性的探讨j. 4 华东师范大学数学系. 数学分析m. 北京: 高等教育出版社, 2001. 5 盛祥耀. 高等数学m. 北京: 高等教育出版社, 1987. 6 冯录祥. 关于等价无穷小量代换的一个注记j. 伊犁师范学院学报。 7 段丽凌,杨贺菊. 关于等价无穷小量替换的几

30、点推广. j . 8 同济大学应用数学系,主编.高等数学.第 5 版m.高等教育出版社,2002,7 5659. 9 马振明,吕克噗.微分习题类型分析 m .兰州：兰州大学出版社,1999.59,45- 65. 10 崔克俭,应用数学 m ,北京：中国农业出版社,2004. 11 张云霞. 高等数学教学j. 山西财政税务专科学校学报 , 2001.04. 12 任治奇 , 梅胤胜.数学分析m. 渝西学院学报(社会科学版) , 1998.02 13 song qb, shen j y. on illegal coping and distributing detection mechanism

31、for digital goods j. journal of computer research and development , 2001, 38(1): 121- 125. 14 shivakumar n, g.molina h. scam: a copy detection mechanism for digital documents a. the 2nd international conference in theory and practice of digital librariesc. usa austin texas: s. n, 1995: 9- 17. 15 shi

32、vakumar n, g.molina h. building a scalable and accurate copy detection mechanism a. the 1st acm conference on digital librariesc. usa bethesada maryland: s. n, 1996: 34- 41. 【abstract】 dimensionless from put forward to some twists and turns after the formal definition, triggered a crisis of mathematics, equivalent infinite small forward, can say is of epoch-making significance in the field of calculus, which in order to solve the problems of the positive series and limit type has brought gr