中考二轮数学练习精品讲解-四边形

1、2019 年中考二轮数学练习精品讲解- 四边形注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！本章小结小结 1本章概述本章通过学习平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质及判定，了解它们之间的关系，并能灵活运用它们的性质和判定解决一些计算问题和实际问题 . 同时，本章探索并了解了有关三角形中位线、梯形中位线的相关知识、小结 2 本章学习重难点【本章重点】 掌握并会灵活运用平行四边形的定义、性质及判定； 会灵活应用平行四边形及特殊平行四边形的相关知识解决一些简单的实际问题；掌握梯形及等腰梯形的定义、性质及判定， 并会灵活运用；理解并掌握三角形中位

2、线、梯形中位线的定义及性质，会应用它们解决一些计算及实际问题.【本章难点】掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质及判定条件，以及它们之间存在的联系与区别，会应用三角形中位线、梯形中位线解决一些简单问题.【学习本章应注意的问题】通过设立问题情境， 主动探索和自觉总结四边形的相关性质，掌握四边形的性质；同时要熟识几种特殊四边形的判定，掌握转化思想在本章中的应用，如将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来解决.小结 3中考透视中考关于四边形的考题大多结合三角形知识进行考查，而平行四边形的性质是证明两条直线平行、线段相等及角相等的依据 . 另外关于平行四边形的面积及周长、对称性也常出现在中

3、考题中，这类题有填空题、选择题、计算题和证明题，深刻理解和牢记多边形、平行四边形的性质和判定是关键和前提、知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题 1平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质题 .例 1 以下说法错误的选项是()A. 平行四边形的对角相等B. 等腰梯形的对角线相等C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形D. 对角线互相垂直的四边形是菱形分析 由平行四边形、矩形、等腰梯形的性质可以发现A，B， C 都是正确的对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，还可能是正方形或等腰梯形.答案： D【解题策略】对角线互相垂直的四边形不一定对角线互相平分.D不正确，例 2 如图 19-

4、125所示，在梯形 ABCD中， AB CD， E为 BC的中点，设DEA的面积为 S1，梯形 ABCD的面积为 S2，那么 S1与 S2的关系为 .分析 由 E 为 BC的中点，延长DE与 AB 的延长线交于点 F，由 CD AB，得CEBF，又因为CEDBEF ,CEBE,所以，CEDBEF所以 DE=EF，所以 S 菱形 ABCD=SDAF. 由等底等高的三角形面积相等，得S1=S AFE= 1，即2S21或 2S1S2.S12S2答案：1或 2S1 S2S1S22【解题策略】 根据三角形面积公式，当同底三角形的高相等式相同时，可以考虑由底的关系确定三角形的面积之间的关系.例 3 如图

5、19-126所示， ABCD是正方形， G是 BC上一点， DEAG 于点 E，BFAG 于点 F. 1求证 ABF DAE； 2求证 DE EF FB .分 析 1 根 据 正 方 形 的 性 质 证 明 全 等 的 条 件 . 2 由 全 等 和 DE AF , AE BF ，那么问题可证 .证明： 1在正方形ABCD中， ABAD ,BAD90 1 2 90 . DEAG , 2390 ，1 3 .又 BFAG, AFBDEA90 , ABF DAEAAS . 2由 1可知，ABFDAEDEAF , BFAE, DE AFAEEFBF EF , 即 DE EFFB .专题 2 平行四边形

6、含特殊的平行四边形的判定与性质之间的区别与联系【专题解读 】围绕平行四边形含特殊的平行四边形的判定与性质综合应用命题.例 4 如图 19-127所示，将一张矩形纸片ABCD沿着 GF折叠 F 在 BC边上，不与 B，C重合，使得 C 点落在矩形ABCD的内部点 E 处， FH平分BFE ，那么GFH 的度数 a满足A.90 a 180B. a=90C.0 a 90D. a 随关折痕位置的变化而变化分 析 利 用 矩 形 的 性 质 和 三 角 形 全 等 的 性 质 解 答 此 题 . 由 GCF GEF 得GFCEFG ，又有 EFHBFH ，所以1所以a 90.GFH180 90 ,2答案

7、： B例 5 如果菱形的一条对角线长是12 ，面积是30 cm2 ，那么这个菱形的另一条对角线长为 .分析 由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半表示，故另一条对角线的长为答案： 5302 .512例 6 如图 19-128 所示，ABCD的周长为16 ， 相交于点，AC BDOOE AC，交于点，那么的周长为ADEDCEA.4 B.6C.8 D.10 分析 因为ABCD 的周长为16 ， ADBC , AB CD , 所以116 8AD CD2，因为 O为 AC的中点，又因为 OEAC 于点 O，所以 AEEC ，所以 DCE的周长为 DC DECE DC DEA

8、E DCAD 8 .答案： C【二】规律方法专题专题 3 构造中位线解决线段的倍分关系【专题解读 】题目中涉及12或 2 倍关系时，常常考虑构造中位线.例 7 四边形 ABCD为平行四边形，ADa, BE AC， DE交 AC的延长线于 F 点，交 BE于 E 点 . 1求证 DF FE ; 2假设 AC2FC ,ADC60 , ACDC , 求 BE的长； 3在 2的条件下，求四边形的面积 .ABED证明： 1如图 19-129所示，延长 DC交 BE于点 M， BEAC， AB DC，四边形 ABMC是平行四边形 . CMABDC , C为 DM的中点 . BE AC， CF是 DME的中

9、位线， DFFE .解： 2由 1得是的中位线，故ME2CF.CFDME又 AC 2CF , MEAC .四边形 ABMC是平行四边形，BMAC . BE2BM2ME 2AC .又 ACDC ,ADC60 ，在 Rt ADC中，利用勾股定理得. BE3a .AC3 a2 3可将四边形的面积分为梯形和三角形两部分 .ABEDABMDDME在 Rt ADC中利用勾股定理得a .DC2由 CF为 DME的中位线得CMDCa .2aa.DMOC CMa22由四边形是平行四边形得.ABMCa , BM3 aABMCAC22梯形 ABMD的面积为.aa3a133 a22228由 ACDC 和 BE AC，

10、得三角形 DME是直角三角形，其面积为 13aa3a2，224四边形 ABED的面积为 3 3a23a253a2 .848专题 4 构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题【专题解读 】利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段相等、角相等的问题.例 8 如图 19-130 所示，在ABCD 中， AB2BC, M 是 DC的中点， BEAD , E 是垂足，求证EMC3 DEM .分析 添加辅助线，交BE于.为AB中点，由条件证得DEMEMN. 由三角MNF N形中位数性质证得BFEF , MFBE, 那么EMF1 ，又由四边形BCMN是菱形，证得 12 ，从而结论得证 .证明： 取 AB的

11、中点 N，连接 MN， MB. MN交 EB于 F.因为四边形ABCD是平行四边形，所以 ABDC.又 M， N分别是 DC，AB的中点，所以 DM AN， MC NB，即四边形 ANMD和四边形 MNBC都是平行四边形.所以DEMEMF .因为 N是 AB中点， NF AE，所以F是的中点 .BE又 BEAD ，所以 MFBE,EMF1 ，因为 MC=BC，所以BCMN 是菱形，所以12，即EMC12EMF 3 DEM .【解题策略】证明角的和、差、倍、分关系时，应依据题目的背景经观察分析后适当添加辅助线，把较大角分割成假设干较小角，最终归结到证明两个角相等的途径上以解决问题.此题添加辅助线

12、MN， MB后，利用菱形对角线性质及等腰三角形三线合一的性质证明有关角相等，从而解决问题.专题 5 有关四边形的性质与判定的开方探索题【专题解读 】这类题分为条件开放、结论开放、条件和结论双开放三种类型.例 9 如图 19-131所示，在ABCD 中， E， F 分别是边 AD，BC的中点，AC分别交 BE，DF于点 M，N. 给出以下结论： ABM CDN；1AC ;AM3DN2NF ; AMB. 其中正确的结论是. 只填序号S1 SABC2分析 四边形 ABCD是平行四边形， ABCD，BAMDCN , 又 E， F 分别是，BC的中点，DE，四边表BEDF是平行四边形，ADBFEBFED

13、F ,ABCADC ,ABECDF , . 正 确 . 由BEDF可 得ABMCDNB E DAEMNFC .又 AD BC，EAMNCF ,又AE CF ,B F ,D AME CNF ， A MC .N 由FN BM ， FC=BF ， 得CN=MN ， CMMN AM , AM1正确 . 1 S AMB 1 S ABC.不正AC.AMAC,333确 . FN 为 BMC的中位线， BM2 NF , ABM CDN，那么 BMDN , DN 2NF .正确 .答案：专题 6 动手操作题【专题解读 】这类题的特点是根据给出的图形，需要通过裁剪、平移、旋转等方法才能得到题中要求的图形和结论 .

14、例 10 某市要在一块块形状为平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是ABCD 面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求其分别在ABCD 的四条边上，请你设计两种方案.方案一：如图19-132 1所示，两个出入口合要求的四边形花园，并简要说明画法.方案二：如图 19-132 2所示，一个出入口求的梯形花园，并简要说明画法.E， F 已确定，请在图1上画出符M已确定，请在图2上画出符合要解：方案一画法1：过 F作 FH AB，交 AD于点 H.在上作取一点，连接那么四边形就是所要画的四DCGEF , FG ,GH ,HE ,EFGH边形，如图 19-133 1

15、所示 .画法 2：过 F 作 FH AB，交 AD于点 H.过 E 作 EG AD，交 DC于点 G，连接 EF , FG , GH , HE , 那么四边形 EFGH就是所要画的四边形，如图19-133 2所示 .画法 3：在 AD上取一点 H，使 DHCF .在 CD上任取一点 G，连接 EF, FG , GH , HE , 那么四边形 EFGH就是所要画的四边形，如图 19-133 3所示 .方案二画法：过M点作 MP AB，交 AD于点 P.在 AB上取一点 Q，连接 PQ.过 M作 MN PQ，交 DC于点 N，连接 QM， PN，那么四边形QMNP就是所要画的梯形，如图 19-13

16、3 4所示 .三、思想方法专题专题 7 转化思想【专题解读 】本章中转化思想主要是将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来处理 .例 11 如图 19-134所示，在梯形 ABCD中，ABCD， C90 , AB25, BC 24,将该梯形折叠，点A恰好与点 D重合， BE为折痕，那么AD的长度为 .分析 BD 是 AB 沿 BE 折叠得到的，BD AB 25,C 90，22. 过 点D作垂 足 为 . DC AB ， CDBDBC7DFAB ,FD FB C 2 4 ,F B D C 7 ,AFAB FB18,ADDF 2AF 230 .答案： 30【解题策略】 在梯形中求线段的长，常作梯形

17、的高为辅助线，使其转化为矩形和直角三角形，化整为零，化陌生为熟悉，这是处理梯形问题常见的转化方法.专题 8 方程思想【专题解读】本章主要表达在通过方程组、不等式组恒等变形等式代数方法解决有关图形计算的问题 .例 12 两个多边形的内角和为1440， 且两多边形的边数之比为1：3，求它们的边数分别是多少 .分析 先设某一个多边形的边数为x，由多边表的内角和公式(n2) 180列出关于x 的一元一次方程，求解即可 .解：设其中边数较少的多边形边数是x，那么另一个多边形边数是3 ，x由题意得 ( x 2) 180 (3 x2)180 1440 ，解得 x 3,3 x9 .答：它们的边数分别为3 和

18、9.2017 中考真题精选1. 如图，在梯形 ABCD中， AD BC， AB=DC，过点 D作 DE BC，垂足为 E，并延长 DE至 F，使 EF=DE、连接 BF、 CD、 AC、1求证：四边形ABFC是平行四边形；22如果 DE=BE?CE，求证四边形ABFC是矩形、考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质、专题：证明题、分析： 1连接 BD，利用等腰梯形的性质得到 AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到 AC=BF，然后证得 AC BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形； 2利用题目提供的等积式和

19、两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形、解答： 证明： 1连接 BD，梯形 ABCD中， AD BC， AB=DC，AC=BD， ACB= DBCDE BC，EF=DE， BD=BF， DBC= FBC， AC=BF， ACB= CBFAC BF，四边形ABFC是平行四边形；22 DE=BE?CE， DEB=DEC=90， BDE DEC BDC=BFC=90，四边形ABFC是矩形、点评：此题考查了等腰梯形的性质、 全等及相似三角形的判定及性质等， 是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大、2. 2017 四川广安，

20、23， 8 分如图 5 所示，在菱形 ABCD中， ABC 60， DE AC交 BC 的延长线于点 E、求证： DE 1 BE、2ADBCE图 5线段的倍分考点： 菱形的性质， 等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，关系专题：四边形分析：思路一：易知四边形ACED是平行四边形， 那么 AD CEBC，从而可知 BC 1 BE，2要说明 DE 1 BE，只需说明DE BC即可、2思路二：连接BD，先证 BDE 90，再证 DBE 30，根据 30的角所对的直角边等于斜边的一半可直接获得结论自己完成证明过程、解答： ABCD是菱形， AD/ BC，AB BCCD DA、又 ABC 60

21、，BC ACAD、DE ACACED为平行四边形、CEADBC， DEAC、DECEBC， DE 1 BE、2点评： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段，可实现线段的等量代换转移，这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件、3. 2017 重庆， 24，10 分如图，梯形ABCD中， ADBC， DCB=45， CD=2，BDCD、过点 C作 CE AB于 E，交对角线 BD于 F，点 G为 BC中点，连接 EG、AF、1求 EG的长；2求证： CF=AB+AF、ADEFBCG24 题图考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；

22、勾股定理分析： 1根据 BD CD， DCB=45，得到 DBC=DCB，求出 BD=CD=2，根据勾股定理求出 BC=22 ，根据 CE BE，点 G为 BC的中点即可求出 EG；2在线段 CF上截取 CH=BA，连接 DH，根据 BD CD， BE CD，推出 EBF= DCF，证出 ABD HCD，得到 AD=BD， ADB= HDC，根据 AD BC，得到 ADB= DBC=45，推出 ADB= HDB，证出 ADF HDF，即可得到答案、解答： 1解： BD CD， DCB=45， DBC=45 = DCB，BD=CD=2，在Rt BDC中BC=BD 2CD 2=22 ， CE BE

23、，点G为BC的中点，EG= 1BC=2 、2答： EG的长是2、2证明：在线段CF上截取 CH=BA，连接 DH，ADEFBCG24 题答图 BD CD，BE CE， EBF+EFB=90， DFC+ DCF=90， EFB=DFC， EBF=DCF，DB=CD， BA=CH， ABD HCD，AD=DH， ADB= HDC，AD BC， ADB=DBC=45， HDC=45， HDB= BDC HDC=45， ADB=HDB，AD=HD， DF=DF， ADF HDF，AF=HF，CF=CH+HF=AB+AF，CF=AB+AF、点评： 此题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质

24、，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键、4. 2017?泰州， 24， 10 分如图，四边形 ABCD是矩形，直线 l 垂直平分线段 AC，垂足为O，直线 l 分别与线段AD、 CB的延长线交于点E、F、 1 ABC与 FOA相似吗？为什么？ 2试判定四边形 AFCE的形状，并说明理由、考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。专题：证明题；综合题。分析： 1根据角平分线的定义，同角的余角相等可知AFO=CAB，根据垂直的定义，矩形的性质可知ABC= FOA，由相似三角形的判定可证ABC与 FOA相似； 2先证明四

25、边形 AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判断、解答：解： 1直线l 垂直平分线段AC， AFO= CFO， CFO+ FCO= CAB+FCO=90， AFO= CAB， AOF= CBA=90， ABC FOA、 2直线 l 垂直平分线段 AC， AF=CF，可证 AOF AOE， AE=CF， FO=EO、四边形 ABCD是矩形，四边形 AFCE是平行四边形，四边形 AFCE是菱形、点评：考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，综合性较强，有一定的难度、5. 2017 重庆， 26，12 分如图，矩形 ABCD中， AB=6，

26、 BC=2 3 ，点 O是 AB的中点，点 P在的延长线上，且=3、一动点E从O点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿匀速ABBPOA运动，到达 A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点 F 从 P点发发，以每秒1 个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点 E、 F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F 的运动过程中，以 EF为边作等边 EFG，使 EFG和矩形 ABCD在射线 PA的同侧、设运动的时间为 t 秒 t 0、 1当等边 EFG的边 FG恰好经过点 C时，求运动时间 t 的值； 2在整个运动过程中，设等边EFG和矩形 ABCD重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与t之间的函数

27、关系式和相应的自变量t的取值范围；3设 EG与矩形 ABCD的对角线AC的交点为 H，是否存在这样的形？假设存大，求出对应的t 的值；假设不存在，请说明理由、t ，使AOH是等腰三角DCAEOBFP26 题图考点： 相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形分析： 1当边 FG恰好经过点C时， CFB=60， BF=3 t ，在 Rt CBF中，解直角三角形可求 t 的值；2按照等边 EFG和矩形 ABCD重叠部分的图形特点，分为4 t 6 四种情况，分别写出函数关系式；0 t 1，1 t 3，3t 4，3存在、当AOH是

28、等腰三角形时，分为图形，根据特殊三角形的性质，列方程求tAH=AO=3， HA=HO， OH=OA三种情况，分别画出的值、解答：解：1当边FG恰好经过点C时， CFB=60， BF=3 t ，在Rt CBF中， BC=23 ，tan CFB= BC，即tan 60= 23 ，解得BF=2，即3 t =2，t =1，当边FG恰好经过点C时，BFBFt =1；GDCAEOBFP26 题答图2当 0 t 1 时， S=2 3 t +43 ；当 1 t 3 时， S=3 t 2+33 t + 7 3 ；22当 3 t 4时， S=43 t +203 ；当 4 6时， =3 t2123 t+363；tS

29、3存在、理由如下：在Rt ABC中， tan CAB= BC =3 ，AB3 CAB=30，又 HEO=60， HAE= AHE=30， = =3t或t3，AE HE1当 AH=AO=3 时，如图，过点 E 作 EM AH于 M，那么 AM= 1 AH= 3 ，22在 Rt AME中， cos MAE AM ，即 cos30 = 3，AE2AE =，即 3=或t 3=，AE3t33t =33 或 t =3+3 ，DCMHAEOBP26 题答图2当 HA=HO时，如图那么HOA=HAO=30，又 HEO=60， EHO=90， EO=2HE=2AE，又 AE+EO=3， AE+2AE=3，AE=

30、1，即 3 t =1 或 t 3=1， t =2 或 t =4；DCHAEOBP26 题答图3当 OH=OA时，如图，那么 OHA= OAH=30， HOB=60 = HEB，点 E 和点 O重合，AE=3，即 3 t =3 或 t 3=3， t =6舍去或t =0；DHCAO(E)BP26 题答图综上所述，存在5 个这样的t值，使是等腰三角形，即t=3或t=3+或t=2AOH33或 t =2 或 t =0、点评： 此题考查了特殊三角形、 矩形的性质， 相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识、关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论、6. 2017 湖北咸宁， 22， 10 分 1如图，在

31、正方形中，的顶点，F分别ABCDAEFE在 BC， CD边上，高 AG与正方形的边长相等，求EAF的度数、 2如图，在 Rt ABD中， BAD=90， AB=AD，点 M，N是 BD边上的任意两点，且 MAN=45，将 ABM绕点 A 逆时针旋转 90至 ADH位置，连接 NH，试判断 MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由、 3在图中，连接BD分别交 AE，AF于点 M，N，假设 EG=4，GF=6，BM=32，求 AG，MN的长、考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。分析： 1根据高 AG与正方形的边长相等，证明三角形相等，进而证明角相等，从而求出解、 2用三角形全等

32、和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论、 3设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果、解答： 1在 Rt 和 Rt 中，ABAG，AE AE，ABEAGE ABE AGE、BAEGAE 、同理， GAFDAF 、EAF1BAD45、2 2、MN222NDDHBAMDAH ，BAMDAN45 ，HANDAHDAN45 、HANMAN 、又 AMAH ， ANAN ，、AMNAHNMNHNBAD90 ， ABAD ，ABDADB45 、HDNHDAADB90 、 NH 2ND 2DH 2、 MN 2ND 2DH 2 、 3由 1知， BEEG ， DFFG 、A设 AGx ，那么 C

33、Ex4 ， CFx 6 、 CE 2CF 2EF 2 ，BMND(x4)2( x6)2102 、EGF解这个方程，得x112 ， x22 舍去负根 、C AG12 、（图） BDAB 2AD22 AG 212 2 、在 2中， MN2ND 2DH 2 ， BM DH ， MN 2ND 2BM 2 、设 MNa ，那么 a2(12 2 3 2a) 2(32) 2 、 a 52 、即 MN5 2 、点评： 此题考查里正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等、7. 2017?贵港 如下图， 在梯形 ABCD中，AD BC，AB=AD， BAD的平分线AE交 BC于点 E，连接 DE、 1求证：四边形 ABED是菱形； 2假设 ABC=60， CE=2BE，试判断 CDE的形状，并说明理由、考点：梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。专题：几何综合题。