解析函数孤立奇点

1、解析函数孤立奇点1 函数的孤立奇点及其分类函数的孤立奇点及其分类(P(P193193) )一一、函数孤立奇点的概念及其分类、函数孤立奇点的概念及其分类二、函数各类孤立奇点的充要条件二、函数各类孤立奇点的充要条件三、用函数的零点判断极点的类型三、用函数的零点判断极点的类型四四* *、函数在无穷远点的性态、函数在无穷远点的性态解析函数孤立奇点2例例10 z是函数是函数zzezsin,1的孤立奇点的孤立奇点.1 z是函数是函数11 z的孤立奇点的孤立奇点.注意注意: : 孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点, , 但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.一一 、函数孤立奇点的概念及其分类、函数

2、孤立奇点的概念及其分类在在定义定义 如果函数如果函数在在 不解析不解析, , 但但的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析内处处解析, , 则则0z)(zf)(zf0z 00zz0z)(zf为为的孤立奇点的孤立奇点. .称称解析函数孤立奇点3例例2 2 指出函数指出函数0 z在点在点zzzf1sin)(2 的奇点特性的奇点特性. .解解 kzz1,0 ),2,1( k，因因为为01lim kk即在即在0 z的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内, , 的奇点存在的奇点存在, , 函数的奇点为函数的奇点为)(zf总有总有0 z不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以解析函数孤立奇点4讨论函数在

3、孤立奇点的情况讨论函数在孤立奇点的情况如果点如果点 为函数为函数 的孤立奇点，则在点的孤立奇点，则在点 某去心邻域某去心邻域 内可设内可设 的的Laurent级数展开式为级数展开式为其中其中 nnnzzczf)()(0)()()(2110为为整整数数nzzdzzficcnn 为该去心邻域内围绕点为该去心邻域内围绕点z0的任一条正向简单闭的任一条正向简单闭曲线。曲线。C0z)(zf0z)(zf 00zz（5-1-1）解析函数孤立奇点5定义定义1 1 若若Laurent级数级数(5-1-1)中所含中所含(z-z0)的负幂的负幂项的项数分别为项的项数分别为1 1）零个，）零个， 2 2）有限个，）有

4、限个， 3 3）无穷多个，）无穷多个，则分别称则分别称z0为为f(z)的可去奇点、极点和本性奇点。的可去奇点、极点和本性奇点。且当且当z0为极点时，若级数中负幂的系数为极点时，若级数中负幂的系数c-m0 并且并且cn=0(n=-m-1,-m-2, ), 则称则称z0为为f(z)的的m级极点，级极点，一级极点又称为简单极点。一级极点又称为简单极点。解析函数孤立奇点61 1 可去奇点可去奇点如果如果Laurent级数中不含级数中不含 的负幂项的负幂项, , 0zz 0z)(zf则称孤立奇点则称孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.定义定义其和函数其和函数)(zF在在0z处解析处解析.的孤立奇点

5、，则的孤立奇点，则若是若是)(0zfz nnzzczzcczf)()()(0010内内在在 00zz二、函数各类孤立奇点的充要条件二、函数各类孤立奇点的充要条件解析函数孤立奇点7)(lim)(000zfczFzz 无论无论在在是否有定义是否有定义, )(zf0z可补充定义可补充定义则函数则函数在在解析解析.)(zF 0zz反过来，若反过来，若在在解析，解析，)(zf 00zz且且)(lim0zfzz存在，存在， 则则 必是必是 的可去奇点。的可去奇点。)(zf0z( (由于这个原因，因此把这样的奇点由于这个原因，因此把这样的奇点z0叫做叫做 f(z) 的可去奇点。的可去奇点。) )这样得到下面

6、的结论：这样得到下面的结论：解析函数孤立奇点8由定义判断由定义判断:的的 Laurent 级数无负级数无负0z)(zf在在如果如果幂项幂项, 由有界性判断：由有界性判断：0 0若若f f( (z z) )在在点点z z 的的去去心心邻邻域域内内有有界界则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.上上解解析析，在在设设Rzzzf 00)(则则0z为为)(zf的可去奇点的充要条件为的可去奇点的充要条件为存存在在并并且且是是有有限限值值。)(lim0zfzz0z为为)(zf 的可去奇点的可去奇点.则则注注：函数函数f(z)的可去奇点的可去奇点z0 0看作它的解析点，且规看作它的解析点，且规定定00)(

7、czf (证明见195页)解析函数孤立奇点9例例 说明说明0 z为为zez1 的可去奇点的可去奇点. .解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点.zez1 无负幂项无负幂项另解另解 zzzzeze00lim1lim 因为因为)1!1! 211(12 nznzzz, 1 所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点.zez1 解析函数孤立奇点10 由于由于z=0为函数为函数 的可去奇点，的可去奇点，且当且当z0时，时，f(z)1，因此可补充定义，因此可补充定义 f(0)=1，使使 f(z) 在整个复平面上处处解析。在整个复平面上处处解析。zezfz)1()

8、( 解析函数孤立奇点11如果补充定义如果补充定义:0 z时时, 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例 42! 51! 311sinzzzz中不含负幂项中不含负幂项,0 z是是zzsin的可去奇点的可去奇点 . 解析函数孤立奇点120 00 0i i0 0特特上上式式等等号号成成立立f(z )|=f(z )|=别别的的，如如果果或或存存在在圆圆内内一一点点z z使使得得|,|,则则|z |z |f(z)= e zf(z)= e z有有(|z|1)(|z|1)Schwarz 引理引理 如如果果f(z)f(z)在在单单位位圆圆|z|1|z|1内内解解析析，并并且且满满足足条条件件f