第二章 流体静力学

1、第二章第二章 流体静力学流体静力学第一节第一节 流体静压强及其特性流体静压强及其特性一、流体静压强的定义一、流体静压强的定义在静止流体中，围绕某点取一面积为在静止流体中，围绕某点取一面积为A的微小作用面，设作的微小作用面，设作用在其上的压力为用在其上的压力为P，则该点的流体静压强，则该点的流体静压强p就是面积就是面积A趋趋于无穷小时，单位面积上平均压力于无穷小时，单位面积上平均压力P/A的极限值，即的极限值，即limAaPpA 流体静压力和流体静压强都是压力的一种量度。它们的区别流体静压力和流体静压强都是压力的一种量度。它们的区别仅在于：前者是作用在某一面积上的仅在于：前者是作用在某一面积上的

2、总压力总压力；而后者是作用；而后者是作用在某一面积上的平均压强或某一点的在某一面积上的平均压强或某一点的压强压强。 第一节第一节 流体静压强及其特性流体静压强及其特性二、流体静压强的特性二、流体静压强的特性（1）静压强的）静压强的垂向性垂向性。在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个方向的流体静压强大小相等。方向的流体静压强大小相等。 （2）静压强的）静压强的各向等值性各向等值性。 流体静压强总是沿着作用面流体静压强总是沿着作用

3、面的内法线方向。的内法线方向。第一节第一节 流体静压强及其特性流体静压强及其特性各面上作用的表面力各面上作用的表面力质量力在各轴向的分力质量力在各轴向的分力第一节第一节 流体静压强及其特性流体静压强及其特性px= pnpz= pnpx= py= pz= pn略去高阶无穷小量，化简得略去高阶无穷小量，化简得py= pn同理，得同理，得第二节第二节 流体静压强的分布规律流体静压强的分布规律一、液体静压强的基本方程式一、液体静压强的基本方程式P2P1Gcos=0p2dAp1dAg l dA cos=0p2p1 = g h静止液体中任两点的压强差等静止液体中任两点的压强差等于两点间的深度差乘以密度和于

4、两点间的深度差乘以密度和重力加速度。重力加速度。 p = g hl cos= h第二节第二节 流体静压强的分布规律流体静压强的分布规律压强随深度不断增加，而深度增加的方向就是静止液体的质压强随深度不断增加，而深度增加的方向就是静止液体的质量力量力重力作用的方向，则压强增加的方向就是质量力作重力作用的方向，则压强增加的方向就是质量力作用方向。用方向。 液体静压强的基本方程式液体静压强的基本方程式在静止液体中，压强随深度按直线变化在静止液体中，压强随深度按直线变化的规律。静止液体中任一点的压强是由的规律。静止液体中任一点的压强是由液面压强和该点在液面下的深度与密度液面压强和该点在液面下的深度与密度

5、和重力加速度的乘积两部分组成。和重力加速度的乘积两部分组成。p= p0 ghp2p1 = g hp2= p1 +g h第二节第二节 流体静压强的分布规律流体静压强的分布规律深度相同的各点，压强也相同，这些深度相同的点所组成深度相同的各点，压强也相同，这些深度相同的点所组成的平面是一个水平面，可见水平面是压强处处相等的面。的平面是一个水平面，可见水平面是压强处处相等的面。pp= p0 p0 ghp= p0水静压强等值传递的帕斯卡定律水静压强等值传递的帕斯卡定律 :静止液体任一边界面上压静止液体任一边界面上压强的变化，将等值地传到其他各点（只要静止不被破坏）。强的变化，将等值地传到其他各点（只要静

6、止不被破坏）。静压强的作用方向垂直于作用面的切平面且指向受力物质静压强的作用方向垂直于作用面的切平面且指向受力物质（流体或固体）系统表面的（流体或固体）系统表面的内法向内法向。p= p0 gh结论：结论：水平面是等压面水平面是等压面。第二节第二节 流体静压强的分布规律流体静压强的分布规律流体静力学基本方程式的另一种形式：流体静力学基本方程式的另一种形式：pZCg上式除以上式除以g ，并整理后得，并整理后得第二节第二节 流体静压强的分布规律流体静压强的分布规律pZCg()pZg在同一种静止液体中，不论哪一点的在同一种静止液体中，不论哪一点的 总是一个常数。总是一个常数。所谓测压管是一端和大气相通

7、，另一端和液体中某一点相所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相接的管子。接的管子。Z：该点的位置相对于基准面的高度，称：该点的位置相对于基准面的高度，称位置水头位置水头。pg ：该点在压强作用下沿测压管所能上升的高度，称：该点在压强作用下沿测压管所能上升的高度，称压强压强水头水头。：测压管水面相对于基准面的高度，：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头测压管水头。pZg两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有各点的测压管水面必然在同一水平面上。各点的测压管水面必然在同一水平面上。第二节第二节 流体静压强的分布规律流体静压

8、强的分布规律二、分界面和自由面是水平面二、分界面和自由面是水平面两种密度不同互不混合的液体，在同一容器中处于静止两种密度不同互不混合的液体，在同一容器中处于静止状态，一般是重的在下，轻的在上，两种液体之间形成状态，一般是重的在下，轻的在上，两种液体之间形成分界面。分界面。分界面既是水平面又是等压面。分界面既是水平面又是等压面。从分界面上、下两方分别求压差从分界面上、下两方分别求压差第二节第二节 流体静压强的分布规律流体静压强的分布规律液体静压强分布规律只适用于液体静压强分布规律只适用于静止、同种、连续静止、同种、连续液体。液体。如果同一容器或同一连通器盛有多种如果同一容器或同一连通器盛有多种不

9、同密度的液体，要从某一种液体中不同密度的液体，要从某一种液体中某一点的已知压强，求另一种液体中某一点的已知压强，求另一种液体中另一点的未知压强时，必须先求出两另一点的未知压强时，必须先求出两种液体间的分界面的压强，进而求出种液体间的分界面的压强，进而求出未知的压强。若两种液体不直接相联，未知的压强。若两种液体不直接相联，则应先求出相互连通的各段液体的分则应先求出相互连通的各段液体的分界面的压强。总之，多种液体在同一界面的压强。总之，多种液体在同一容器或连通管的条件下求压强或压差，容器或连通管的条件下求压强或压差，必须注意把必须注意把分界面分界面作为压强关联的作为压强关联的联联系面系面。第二节第

10、二节 流体静压强的分布规律流体静压强的分布规律三、气体压强计算三、气体压强计算前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可压缩气体仍然适用。压缩气体仍然适用。上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气柱产生的压强很小，因而可以忽略柱产生的压强很小，因而可以忽略g h的影响，即的影响，即

11、 p= p0第二节第二节 流体静压强的分布规律流体静压强的分布规律四、等密面是水平面四、等密面是水平面静止非均质流体的水平面仍然是等压面。静止非均质流体的水平面仍然是等压面。水平面不仅是等压面，而且是等密度面。根据状态方程，压水平面不仅是等压面，而且是等密度面。根据状态方程，压强、密度相等，温度也必然相等。强、密度相等，温度也必然相等。 静止非均质流体的水平面是等压面，等密面和等温面静止非均质流体的水平面是等压面，等密面和等温面。ab第三节第三节 压强的计算基准和量度单位压强的计算基准和量度单位一、压强的两种计算基准一、压强的两种计算基准压强有两种计算基准：压强有两种计算基准：绝对压强绝对压强

12、和和相对压强相对压强。以毫无一点气体存在的绝对真空为零点起计算的压强，称为以毫无一点气体存在的绝对真空为零点起计算的压强，称为绝对压强，以绝对压强，以p表示，当问题涉及流体本身的性质，例如采用表示，当问题涉及流体本身的性质，例如采用气体状态方程进行计算时，必须采用绝对压强。气体状态方程进行计算时，必须采用绝对压强。以当地同高程的大气压强以当地同高程的大气压强pa为零点起计算的压强，称为相对为零点起计算的压强，称为相对压强，以压强，以p表示。表示。采用相对压强基准，则大气压强的相对压强为零。采用相对压强基准，则大气压强的相对压强为零。appp负压的绝对值又称为真空度（真空表读数），以负压的绝对值

13、又称为真空度（真空表读数），以pv表示表示。( )vaapppppp 当当pP，则，则物体下沉至底；物体下沉至底；（2）重力等于浮力，即）重力等于浮力，即G=P，则，则物体可在任一水深维持平衡；物体可在任一水深维持平衡；（3）重力小于浮力，即）重力小于浮力，即GP，则，则物体浮出液体表面，直至液面下物体浮出液体表面，直至液面下部分所排开的液体所受重力等于部分所排开的液体所受重力等于物体所受重力为止物体所受重力为止。第七节第七节 液体平衡微分方程液体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式及其积分一、流体平衡微分方程式及其积分1、作用于六面体的表面力、作用于六面体的表面力1()2ppdxx1()2pp

14、dxxx轴向压强轴向压强x轴向压力轴向压力1()2ppdx dy dzx1()2ppdx dy dzx第七节第七节 液体平衡微分方程液体平衡微分方程2、作用于六面体的质量力、作用于六面体的质量力 Xdxdydzx轴向轴向11()()022pppdx dydzpdx dydzXdxdydzxxx轴向的平衡轴向的平衡00pYypZz0pXx流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式（欧拉平衡方程）（欧拉平衡方程） 同理同理第七节第七节 液体平衡微分方程液体平衡微分方程000pXxpYypZz指出流体处于平衡状态时，作用于指出流体处于平衡状态时，作用于流体上的质量力与压强递增率之间流体上的质量力与压强递增

15、率之间的关系。它表示单位体积质量力在的关系。它表示单位体积质量力在某一轴的分力，与压强沿该轴的递某一轴的分力，与压强沿该轴的递增率相平衡。增率相平衡。 111pXxpYypZz单位质量力在各轴向的分力和压强单位质量力在各轴向的分力和压强递增率的符号相同。质量力作用的递增率的符号相同。质量力作用的方向就是压强递增率的方向。方向就是压强递增率的方向。第七节第七节 液体平衡微分方程液体平衡微分方程000pXxpYypZz()dpXdxYdyZdz()pppdxdydzXdxYdyZdzxyz如果流体是不可压缩的，即如果流体是不可压缩的，即为常数，上式右边的括号内为常数，上式右边的括号内的数值必然是某

16、一函数的数值必然是某一函数W（x，y，z）的全微分，即的全微分，即dWXdxYdyZdzdpdW函数函数W（x，y，z）为势函数）为势函数液体只有在有势的质量力作用液体只有在有势的质量力作用下平衡。下平衡。第七节第七节 液体平衡微分方程液体平衡微分方程dpdWpWC积分得积分得00CpW当已知流体内某一点的势函数当已知流体内某一点的势函数W0和压强和压强p0时时00()ppWW当仅有重力时当仅有重力时dpgdz -pgZC /ZpgC或或第七节第七节 液体平衡微分方程液体平衡微分方程二、等压面及其特性二、等压面及其特性0dpdW等压面上等压面上p=常数常数0dW W常数常数等压面方程等压面方程

17、0XdxYdyZdz当流体质点沿等压面移动距离当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所作的微功为时，质量力所作的微功为零。而质量力和位移都不为零，所以，必然是零。而质量力和位移都不为零，所以，必然是等压面和质等压面和质量力正交量力正交。只要知道质量力的方向，便可立刻知道它的垂。只要知道质量力的方向，便可立刻知道它的垂直方向线所构成的面，反之亦然。直方向线所构成的面，反之亦然。第八节第八节 液体的相对平衡液体的相对平衡一、等加速直线运动中液体的平衡一、等加速直线运动中液体的平衡单位质量力单位质量力单位质量的重力在各轴向的分力单位质量的重力在各轴向的分力牵连惯性力牵连惯性力单位质量的牵连惯性力在

18、各轴向的分力单位质量的牵连惯性力在各轴向的分力第八节第八节 液体的相对平衡液体的相对平衡单位质量力在各轴向的分力单位质量力在各轴向的分力由流体平衡微分方程式由流体平衡微分方程式第八节第八节 液体的相对平衡液体的相对平衡作等加速直线运动容器中，液体相对平衡时压强分布规律作等加速直线运动容器中，液体相对平衡时压强分布规律的一般表达式的一般表达式在坐标原点在坐标原点液面下任一点处的压强液面下任一点处的压强相对压强相对压强第八节第八节 液体的相对平衡液体的相对平衡自由液面，自由液面， p 0即等加速直线运动液体的自由面方程。即等加速直线运动液体的自由面方程。自由面是通过坐标原点的一个倾斜面，它与水平面

19、的夹角自由面是通过坐标原点的一个倾斜面，它与水平面的夹角为为，则，则第八节第八节 液体的相对平衡液体的相对平衡求任一点的压强：先求出该点沿铅直线在液面下的深度求任一点的压强：先求出该点沿铅直线在液面下的深度h,h,然后然后用水静力学方程进行计算。用水静力学方程进行计算。两者所受的单位质量两者所受的单位质量力在铅直轴向的分力力在铅直轴向的分力是完全一致的，即它是完全一致的，即它们在铅直轴向的压强们在铅直轴向的压强递增率相同，都服从递增率相同，都服从于同一形式的水静力于同一形式的水静力学方程。学方程。等加速直线运动液体等加速直线运动液体静止液体静止液体第八节第八节 液体的相对平衡液体的相对平衡二、

20、容器等角速旋转运动中液体的平衡二、容器等角速旋转运动中液体的平衡单位质量力单位质量力单位质量的重力在各轴向的分力单位质量的重力在各轴向的分力牵连离心惯性力牵连离心惯性力单位质量的离心惯性力在各轴向的分力单位质量的离心惯性力在各轴向的分力第八节第八节 液体的相对平衡液体的相对平衡单位质量力在各轴向的分力单位质量力在各轴向的分力由流体平衡微分方程式由流体平衡微分方程式绕铅直轴作等角速度旋转的容器中，液体平衡时压强分布规律的绕铅直轴作等角速度旋转的容器中，液体平衡时压强分布规律的一般表达式一般表达式第八节第八节 液体的相对平衡液体的相对平衡在坐标原点在坐标原点液面下任一点处的压强液面下任一点处的压强相对压强相对压强第八节第八节 液体的相对平衡液体的相对平衡取取 p 为常数，则等压面方程为为常数，则等压面方程为等压面是绕铅直轴旋转的抛物面簇。等压面是绕铅直轴旋转的抛物面簇。对于自由面对于自由面， p = 0同一水平面上，旋转中心的压强最低，外缘的压强最高。同一水平面上，旋转中心的压强最低，外缘的压强最高。自由面方程自由面方程轴心处（轴心处（ r 0） , z1 0；半径为；半径为r处，处，第八节第八节 液体的相对平衡液体的相对平衡求任一点的压强：先求出该点在液面下的深度求任一点的压强：先求出该点在液面下的深度h,然后用水静力然后用水静力学