理学概率论与数理统计20120220PPT学习教案

1、会计学1理学概率论与数理统计理学概率论与数理统计20120220BA或BA BAAB事件 A与事件B 至 少有一个发生BA发生nAAA,21的和事件 niiA1,21nAAA的和事件 1iiA A 与B 的和事件3. 事件的并(和)第1页/共61页 BA或AB事件 A与事件B 同时 发生BA发生nAAA,21的积事件 niiA1,21nAAA的积事件 A 与B 的积事件1iiABAB A4. 事件的交(积)第2页/共61页BABA发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生BAB A A 与B 的差事件5. 事件的差第3页/共61页 A 与B 互斥ABA、 B不可能同时发生ABnAAA,21两两

2、互斥,21nAAA两两互斥njijiAAji, 2 , 1, 2 , 1,jijiAAji6. 事件的互斥(互不相容)第4页/共61页 A 与B 互相对立BAAB,每次试验 A、 B中有且只有一个发生ABAB 称B 为A的对立事件(或逆事件)，记为注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念7. 事件的对立A第5页/共61页q 吸收律AABAAAA)(ABAAAAA)(q 幂等律AAAAAAq 差化积)(ABABABAq 重余律AA 运算律运算律对应事件运算集合运算第6页/共61页q 交换律ABBABAAB q 结合律)()(CBACBA)()(BCACABq 分配律)()()

3、(CBCACBA)()(CABABCABABABAABniiniiAA11niiniiAA11q 反演律运算顺序： 逆交并差，括号优先逆交并差，括号优先 第7页/共61页设 随机试验E 具有下列特点：q 基本事件的个数有限q 每个基本事件等可能性发生则称 E 为 古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记 个数中所包含的基本事件的n的基本事件的个数组成 Am nmAP)(则2. 古典概型古典概型 概率的古典定义概率的古典定义第8页/共61页几何概率几何概率 设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率为的测度的测度GAP)(第

4、9页/共61页概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立. 4. 概率的公理化定义概率的公理化定义 即通过规定概率应具备的基本即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率性质来定义概率. . 第10页/共61页 设 是随机试验E 的样本空间，若对于E 的每一事件 A ，都有一个实数P ( A )与之对应, 则称之为事件 A 的概率，只要满足下面的三条公理：q 非负性：0)(,APAq 规范性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 为两两互斥事件，第11页/共61页1.3 概率的基本运算法概率的基本运算法则则 它给出了概率所必须满足的最基本的它给出了概率所必须

5、满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础坚实的基础.概率的公理化定义概率的公理化定义 由概率所必须满足的三条公理，我们由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质推导出概率的其它几条重要性质. 它们在它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式计算概率时很有用，尤其是加法公式.第12页/共61页三条公理：q 非负性：0)(APq 规范性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 为两两互斥事件，1. 概率的性质概率的性质0)(P基本性质加法公式第13页/共61页性质性质1 加法公加法公式式)()()(,BP

6、APBAPBA互斥，则若事件niiniinAPAPAAA1121)(,两两互斥，则若事件第14页/共61页S因为因为AAS互斥与AA1=P(S)=P(A)+P( )AAS 性质性质2逆事件公式逆事件公式)(1)(APAP对任一事件A ，有第15页/共61页 性质性质2在概率的计算上很有用，如果在概率的计算上很有用，如果正面计算事件正面计算事件A的概率不容易，而计算其的概率不容易，而计算其对立事件对立事件 的概率较易时，可以先计算的概率较易时，可以先计算 ，再计算，再计算P(A).)(APA)(1)(APAP注意注意:第16页/共61页S)()(ABAPBP0)( ABP再由再由)(ABA)()

7、(ABPAP由可加性由可加性 设设、B是两个事件，若是两个事件，若 , 则则有有 )()()(APBPABP)()(APBPBABA性质性质3 减法公式减法公式)()(APBP移项得移项得)()()(APBPABP第17页/共61页q 对任意两个事件A, B, 有 )()()(ABPBPABP BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B AB) B - ABAB注意注意:第18页/共61页S)()()()(ABBPAPABBAPBAPBAB 又因又因再由性质再由性质 3得证得证 .)(ABBA 对任意两个事件对任意两个事件A、B，有，有 )()()()(ABPBPAPBAPABAB

8、性质性质4 广义广义加法公式加法公式第19页/共61页推广推广：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)() 1()()()()(2111111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP一般一般：右端共有 项.12 n第20页/共61页.4305. 1格品的概率件，求至少有一件不合任取件不合格品，从中件产品，其中有设有例解法一：321AAAAiAAi件不合格品，则表示恰好有品，表示至少有一件不合格设)()()()()(321321APAPAPAAAPAP4504473)(CCCAPiii2255. 0性质1第21页/共61页

9、解法二：)(1)(APAPA表示全是合格品，则因为450447)(CCAP4504471CC2255. 0计算事件计算事件A的概率不容易，而计算其对立的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以利用性质事件的概率较易时，可以利用性质2。性质2第22页/共61页例例2 有有r 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天的天的任何一天是等可能的，试求事件任何一天是等可能的，试求事件“至少有两至少有两人同生日人同生日”的概率的概率. rrPAP)365()(365rrPAPAP)365(1)(1)(365A为求为求P(A), 先求先求P( )解：令解：令 A=至少有两人同生日至少有两人

10、同生日 = r 个人的生日都不同个人的生日都不同A则则第23页/共61页用上面的公式可以计算此事出现的概率为用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1- -0.524=0.476)(AP 美国数学家伯格米尼曾经做过一个美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了随机地在某号看台上召唤了22个球迷，个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日发现其中有两人同生日.即即22个球迷中至少有两人同生日的概率个球迷中至少

11、有两人同生日的概率为为0.476.第24页/共61页 这个概率不算小，而且这个概率随着球这个概率不算小，而且这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下表所示：迷人数的增加而迅速地增加，如下表所示： 人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所有这些概率都是所有这些概率都是在假定一个人的生日在在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等天的任何一天是等可能的前提下计算出来可能的前提下计算出来的的. 实际上实际上,这个假

12、定这个假定并不完全成立，有关的并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的实际概率比表中给出的还要大还要大 . 第25页/共61页 例 已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/9 则事件A，B，C 全不发生的概率为 .)(1)(CBAPCBAP)()()(1CPBPAP.36/179/24/31)()()()(ABCPBCPACPABP第26页/共61页(A)( )()(B)( )()(C)( )( )( ) 1(D)( )( )( ) 1ABCP CP ABP CP ABP CP AP BP CP AP

13、B例当事件与同时发生时，事件必发生，则下列结论正确的是,C( )().()( )( )()( )( )( )()( )( ) 1( ).ABABCP CP ABP ABP AP BP ABP CP AP BP ABP AP BC事件与同时发生时 事件必发生又由所以应选第27页/共61页2. 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 在解决许多概率问题时，往往需要在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息在有某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.(1). 条件概率条件概率 如在事件如在事件A发生的条件下求事件发生的条件下求事件B发发生的概率，将此概率记作生的概率，将此概率记作P(

14、B|A). 一般一般 P(B|A) P(B) 第28页/共61页P(B )=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，B=掷出掷出2点点， A=掷出偶数点掷出偶数点，P(B|A)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件A发生，此时试验所发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是有可能结果构成的集合就是A，于是于是P(B|A)= 1/3.A中共有中共有3个元素，它们的出现是个元素，它们的出现是等可能的，其中只有等可能的，其中只有1个在集个在集合合B中，中，容易看到容易看到)()(636131APABPP(B|A)第29页/共61页 又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品件

15、次品，7件正品中有件正品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 现从现从这这10件中任取一件，记件中任取一件，记 A=取到正品取到正品,B=取到一等品取到一等品，P(B|A)()(10710373APABPP(AB )=3/10， P(A)=7/10第30页/共61页 设A、B为两事件, P ( A ) 0 , 则称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.定定义义ABP)()(APABP)()()|(BPABPBAP称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率.同理第31页/共61页条件概率也是概率条件概率也是概率, , 故具有概率的性质：故具有概率的性质：0)(ABP1)(AP

16、11iiiiABPABPq 非负性q 规范性 q 可列可加性 )()()()(212121ABBPABPABPABBPq )(1)(ABPABPq )()()(21121ABBPABPABBPq 概率的一些重要性质都适用于条件概率概率的一些重要性质都适用于条件概率. 例如例如:性质性质第32页/共61页计计算算 2) 可用缩减样本空间法可用缩减样本空间法1) 用定义计算用定义计算:,)()()|(APABPABPP(A)0 掷骰子掷骰子例：例：B=掷出掷出2点点， A=掷出偶数点掷出偶数点P(B|A）=31A发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩

17、减样本空间中中B所含样本点所含样本点个数个数第33页/共61页例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1: )()()|(BPABPBAP解法解法2: 2163)|(BAP解解: 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在B发生后的缩减发生后的缩减样本空间中计算样本空间中计算21366363第34页/共61页例例2 某单位某单位100名员工做体检，名员工做体检，95人血压正常人血压正常（事件（事件A），），94人肝功能正

18、常（事件人肝功能正常（事件B），），92人两项都正常。随机抽一人，求人两项都正常。随机抽一人，求P(A|B),P(B|A).用第二种方法简单98. 09492)|(BAP97. 09592)|(ABP第35页/共61页ABP)()(APABP由条件概率的定义：由条件概率的定义：若已知若已知P(A), P(B|A)时时, 可以反过来求可以反过来求P(AB).乘法公式乘法公式第36页/共61页利用条件概率求积事件的概率即乘法公式乘法公式) 0)()()(APABPAPABP) 0)()()(BPBAPBPABP推广推广) 0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAA

19、AP(2) 乘法公式乘法公式第37页/共61页例例3 3 盒中装有100个产品, 其中3个次品，从中不放回地取产品, 每次1个, 求（1）取两次，两次都取得正品的概率;（2）取两次，取得正品次品各一件的概率;（3）取三次，第三次才取得正品的概率。解解 令 Ai 为第 i 次取到正品94. 0999610097)()()() 1 (12121AAPAPAAP)()()()2(21212121AAPAAPAAAAP059.09931009799971003)|()()|()(121121AAPAPAAPAP第38页/共61页(3) 213121321)(AAAPAAPAPAAAP0006. 098

20、979921003提问：第三次才取得正品的概率, 是?)()(321213AAAPAAAP还是第39页/共61页乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进中，并且再加进c个与所抽出的球具有相个与所抽出的球具有相同颜色的球同颜色的球. 这种手续进行四次，试求第这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率球的概率. （波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）b个白球个白球, r个红球个红球第40页/共61页于是于

21、是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ” 随机取一个球，观看颜色后随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进放回罐中，并且再加进c个与所抽个与所抽出的球具有相同颜色的球出的球具有相同颜色的球. 解解: 设设Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,4b个白球个白球, r个红球个红球第41页/共61页用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当c 0 时，由于每次取出球后会增加下时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球

22、的概率一次也取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病传染病模型模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率再传染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)第42页/共61页一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞个球迷好不容易才搞到一张入场券到一张入场券.大家都想去大家都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“入场券入场券”，其余的什么，其余

23、的什么也没写也没写. 将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”后抽的确比先抽吃亏吗？后抽的确比先抽吃亏吗？让我们用概率论的知识来计算一下。让我们用概率论的知识来计算一下。（抽签问题）（抽签问题）第43页/共61页我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然，显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券

24、”第44页/共61页因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，个人未抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 计算得：计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5第45页/共61页)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必，必须第须第1、第、第2个人都没

25、有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入入场券场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说，第46页/共61页 我们说，在事件我们说，在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于的条件概率一般地不等于A的无条件概率的无条件概率. 但是，会不会出现但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？的情形呢？ 我们介绍了条件概率的概念，给出我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘

26、法公式，它在计算概率时经常使用的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握，需要牢固掌握.独立性问题第47页/共61页 从从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋只鞋子中子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的）的概率是多少？概率是多少？ 下面的算法错在哪里？下面的算法错在哪里？4102815)(CCCAP错在同样的错在同样的“4只配只配成两双成两双”算了两次算了两次.97321456810从从5双中取双中取1双，从剩双，从剩下的下的 8只中取只中取2只只思考题思考题第48页/共61页正确的答案是：正确的答案是：请思考：还有其它解法吗？请思考：还有

27、其它解法吗？410252815)(CCCCAP211321,.2410445410445CCCC率为：则至少有一双成对的概基本事件总数为数为：没有一双成对的事件个第49页/共61页习题一.)2() 1 (:13. 4有同号的概率；没有同号的概率求取出的三张牌中，中，有放回抽三次张黑桃从一副扑克牌的313111213)(AP)(1)(APAP3131112131第50页/共61页不定任何报的。至少订一种报的；恰好订两种报的；只订一种报的；报的；与只订报的；只订求下列概率：报的占与同时订报的占与同时订报的占与同时订报的占与同时订报的占订报的占订报的占订在居民中三种报纸某城市有)6()5()4()3

28、()2() 1 (%,3,%,5%,8%,01%,30%,35%,45,.,. 5BAACBACBCABACBACBA3 . 0)()()()()(ABCPACPABPAPCBAP07. 0)()()(ABCPABPCABP73. 0)()()(CBAPCBAPCBAP14. 0)()()(CBAPBCAPCABP9 . 0)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP1 . 0)(1)(CBAPCBAP第51页/共61页的概率。中间号码为的概率；最大号码为的概率；最小号码为个，求：号球，任取袋子里有5)3(5)2(5) 1 (3101. 612131025CC

29、20131024CC613101514CCC第52页/共61页在两边。第一卷或第五卷不出现两边；第一卷或第五卷出现在两边；第一卷及第五卷出现在第一卷出现在两边；架上，求下列概率：五卷文集任意摆放在书)4() 3()2() 1 (. 7521014521074524242)()()()(ABPBPAPBAP或与第二问互为逆事件109第53页/共61页形的概率。求恰好能构成一个三角，的木棒，任意折成三段有一根长为l. 84/1)(:.2,20 ,20| ),()()(: ,0 ,0 ,0),(,APlyxllylxyxGxyxlyyyxlxyxyxlGAlyxlylxyxyxlyx相应的几何概率即的原则两边之和大于第三边应满足相应的区域三段构成三角形而随机事件和设折得的三段长度为ll第54页/共61页9.某种植物有三种基因型：AA ， Aa ， aa.每一基因的数量分别为200，600，50.随机抽取一个体，问(1)其基因型为AA的概率是多少？(2)其基因型为AA或aa的概率是多少？174850200)(AP17585050850200)( BAP第55页/