2016年11月18圆与旋转讲解

1、2016年11月18圆与旋转一 选择题（共8小题）1已知：如图，O O的半径为2, AB是O O的一条弦，把弦 AB绕点A顺时针旋转60 点B正好与O O上的另一点C重合，那么弦AB所经过图形（阴影部分）的面积是（ ）9A n B 2n C. n D .无法计算32如图，正三角形 ABC内接于半径是1的圆，则阴影部分的面积是（）216cm，则该半圆的半径为（ ）二 cmA 一 I B 一 八 一 D - 3如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为4如图，正方形 ABCD的边AB=1 , H和上都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（D7TB-5.如图，将矩形ABCD绕点

2、A旋转至矩形AB CD位置，此时AC的中点恰好与 D点重合,AB交CD于点E.若AB=3，则 AEC的面积为（）A的坐标（2, 晶），底边OB在x轴上.将 AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得C dA. 70 B. 35 C. 40 D. 50A. 3 B. 1.5 C. 2: D.:6.如图， AOB为等腰三角形，顶点AOB，点A的对应点A在x轴上，则点O的坐7.如图，在 ABC中，/ CAB=70 将厶ABC绕点A逆时针旋转到 AB C的位置，使得 CC 7/ AB，则/ BAB的度数是（ ）&如图，将 ABC绕点C （0,- 1）旋转180。得到 A B C,设点A的坐标为（a, b

3、）,则 点A的坐标为（ ）-b- 1)C. (- a, - b+1)D. (- a, - b- 2)二.填空题（共7小题）9.如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，点P是母线AC的中点，若一个小虫子从点 B处出发沿圆锥表面爬到点处 P,则小虫子经过的最短路程是 m （结果不取近似值）.-）c10.如图A是半圆上一个三等分点，B是丁的中点，P是直径MN上一动点.已知O O半径为1,求AP+BP的最小值 .11.如图，AB是O O的一条弦，点C是O O上一动点，且/ ACB=30 点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O O交于G、H两点.若O O的半径为7,则GE+FH

4、的最大值为 .12.如图，在 ABC中，AB=BC=2，/ ABC=90 则图中阴影部分的面积是13.如图，在扇形 AOB中，/ AOB=90 点C为OA的中点，CE丄OA交、于点E,以点O为圆心，OC的长为半径作咬OB于点D .若OA=2，则阴影部分的面积为 .14. 如图，等腰 Rt ABC中，/ ACB=90 AC=BC=1，且AC边在直线a上，将 ABC绕 点A顺时针旋转到位置 可得到点P1,此时仁将位置 的三角形绕点P1顺时针 旋转到位置，可得到点P2,此时AP2=1+；将位置的三角形绕点P2顺时针旋转到 位置，可得到点P3,此时AP3=2+ ：;，按此规律继续旋转，直至得到点P20

5、14为止.则 AP2014=15. 如图，在直角坐标系中，已知点 A (- 3, 0), B ( 0, 4),对厶OAB连续作旋转变换, 依次得到三角形，则三角形的直角顶点的坐标为 .(2)若 AD=2 , CD=5，求 BC 的长.三解答题(共15小题)16 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现；当销售单价25元/件时，每天的销售量是 250件，销售单价每上涨 1元，每天的销售量就减少 10件.(1 )写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w (元)与销售单价 x (元)之间的函数关系式；(2 )求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？17

6、.如图，AB地半圆O的直径，AD和BC是它的两条切线，切点分别为 A、B, CO平分 / BCD .(1)求证:CD是半圆O的切线.AD与O O相切于点 A , DE与O O相切于点E,点C为DE延长线上一点，且 CE=CB .(1)求证：BC为O O的切线；(2 )若AB=4 , AD=1，求线段 CE的长.19.如图，AB为O O的直径，射线 AP交O O于C点，/ PCO的平分线交O O于D点，过 点D作DE丄AP交AP于E点.(1)求证：DE为O O的切线；(2 )若DE=3, AC=8，求直径 AB的长.和点F.AP为直径的O O分别交AB、AC于点E(1) 若/ BAC=45 EF

7、=4，则AP的长为多少？(2 )在(1)条件下，求阴影部分面积.(3)试探究：当点 P在何处时，EF最短？请直接写出你所发现的结论，不必证明.BP C21.如图，已知 ABC是等边三角形，以 AB为直径作O 0,交BC边于点D，交AC边于 点F,作DE丄AC于点E.(1)求证：DE是O 0的切线；求EF的长度.22如图，圆锥的母线长为6cm,其侧面展开图是半圆，求:(1) 圆锥的底面半径；(2) / BAC的度数；(3) 圆锥的侧面积(结果保留n).23. 如图，O C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B,点A的坐标为(0, 2), D为OC在第一象限内的一点且/ ODB=60 解答下列各题

8、：(1) 求线段AB的长及O C的半径；(2) 求B点坐标及圆心C的坐标.24. 如图，O O是厶ABC外接圆，AB为直径，弧 AC=弧CF , CD丄AB于D，且交O O于G, AF 交 CD 于 E.(1)直接写出/ ACB的度数；G25.如图，ABCD是围墙，AB / CD，/ ABC=120 一根6m长的绳子，一端拴在围墙一角 的柱子上(B处)，另一端拴着一只羊(E处).(1 )请在图中画出羊活动的区域.(2)求出羊活动区域的面积.26.如图， ABC中，AB=AC=1，/ BAC=45 AEF是由 ABC绕点A按顺时针方向 旋转得到的，连接 BE、CF相交于点 D .（1）求证:BE

9、=CF ;（2）当四边形 ACDE为菱形时，求 BD的长.E27.在正方形 ABCD的边AB上任取一点 E,作EF丄AB交BD于点F,取FD的中点G, 连接EG、CG,如图（1）,易证EG=CG 且 EG 丄 CG .D（1 ）将厶BEF绕点B逆时针旋转 位置关系？请直接写出你的猜想.（2 ）将厶BEF绕点B逆时针旋转90如图（2）,则线段EG和CG有怎样的数量关系和180如图（3），贝懺段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.28课题学习问题背景甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1, E是边长为a的正方形ABCD中CD边上任意一点，以点 A为中心，把 AD

10、E顺时针旋转90画出旋转后的图形 任务要求：（1 ）请你在图1中画出旋转后的图形 甲、乙、丙三名同学又继续探索： 在正方形ABCD中，/ EAF=45 点F为BC上一点，点 E为DC上一点，/ EAF的两边AE、AF分别与直线 BD交于点M、N.连接EF甲发现：线段 BF，EF，DE之间存在着关系式 EF=BF+DE ;乙发现： CEF的周长是一个恒定不变的值；2 2 2丙发现：线段 BN，MN，DM之间存在着关系式 BN +DM =MN）现请也参与三位同学的研究工作中来，你认为三名同学中哪个的发现是正确的，并说 明你的理由.圈1DB F C图2第7页（共37页）29. (1)如图1，点P是正

11、方形ABCD内的一点，把 ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是 Q.若PA=3，PB=2匚，PC=5，求/ BQC的度数.(2)点P是等边三角形 ABC内的一点，若 PA=12, PB=5, PC=13，求/ BPA的度数.5C图1图230.如图，在等腰 ABC中，AB=BC，/ A=30 将厶ABC绕点B顺时针旋转 30得厶AlBCl, AiB交AC于点E, AiCi分别交AC、BC于D、F两点.(1) 证明： ABE CiBF;(2) 证明：EAi=FC;(3) 试判断四边形 ABC iD的形状，并说明理由.2016年11月18圆与旋转参考答案与试题解析一 选择题（

12、共8小题）1. （ 2014秋？微山县期末）已知：如图，O O的半径为2, AB是O O的一条弦，把弦 AB绕 点A顺时针旋转60点B正好与O O上的另一点C重合，那么弦AB所经过图形（阴影部 分）的面积是（ ）9A. n B. 2n C. n D .无法计算3【考点】扇形面积的计算.【分析】连接AO,作OD丄AC于点D，利用含30。的直角三角形求出 AD，再求出AC,利 用扇形面积的计算即可.【解答】 解：如图，连接 AO,作OD丄AC于点D, AD= AC=2 二，JT（2a/3）60弦AB所经过图形（阴影部分）的面积是 =2 n360故选：B.【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，解题的

13、关键是求出AC的值.2. （ 2013秋?海原县校级期末）如图，正三角形 面积是（）ABC内接于半径是1的圆，则阴影部分的AIB ;C 一D 一【考点】三角形的外接圆与外心.【分析】利用正三角形的性质，由它的内接圆半径可求出它的高和边， 再用圆的面积减去三角形的面积即可.【解答】 解：如图，点0既是它的外心也是其内心，0B=1，/ 仁300D= , BD=_2 2 AD= , BC=二，2 Sa ABC J X X-2而圆的面积=nX 1 =n所以阴影部分的面积=n m 故选A .【点评】熟练掌握正三角形的性质，特别是它的外心，内心，重心，垂心重合记住正三角 形的内切圆半径，外接圆半径和它的高

14、的比（1 : 2: 3）是解题的关键.23. （2015?大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm ,则该半圆的半径为（）A .！: cm B. 9 cm C . Ws cm D. Ws cm【考点】 垂径定理；勾股定理.【专题】 计算题；压轴题.【分析】 连接 OA、OB、OE，证 Rt ADO 也 Rt BCO，推出 OD=OC，设 AD=a，贝U OD=a,由勾股定理求出 OA=OB=OE=EF=FC=4cm，在 OFE中由勾股定理求出 a,即可求出答案.四边形ABCD是正方形， AD=BC，/ ADO= / BCO=9O 在 Rt ADO 和 Rt B

15、CO 中.rOA=OEAD 二 Rt ADO 也 Rt BCO , OD=OC ,四边形ABCD是正方形，AD=DC , 设 AD=acm，贝U OD=OC= 1 DC=AD=acm,在厶AOD中，由勾股定理得:2 2 2OA=OB=OE=丄丄 acm,16cm2,2小正方形EFCG的面积为/ EF=FC=4cm ,在厶OFE中，由勾股定理得:I*：=42+解得：a=- 4 （舍去），a=8,-a=4：（cm）,故选C.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用,行计算的能力，用的数学思想是方程思想.主要考查学生运用定理进4. （2015?黄冈中学自主招生）如图,正方形 ABCD

16、的边AB=1 ,和都是以1为半径的C.兀D . 1-圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（1兀A .- B . 1 - 一24【考点】扇形面积的计算.【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和-正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即9QK XjX 2 _ 仁匹 _ 【解答】解：如图：正方形的面积=Si+S2+S3+S4；两个扇形的面积=2S3+Sl+S2；，得：S3 _ S4=S扇形S正方形=小_ 1=- |3602【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法.找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题

17、的关键.5. （ 2015?抚顺）如图，将矩形 ABCD绕点A旋转至矩形 ABC D位置，此时AC的中点恰 好与D点重合，AB交CD于点E.若AB=3，则 AEC的面积为（）A. 3 B. 1.5 C. 2: D.:【考点】旋转的性质.【专题】 计算题；压轴题.【分析】根据旋转后AC的中点恰好与 D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形 ACD中， / ACD=30 再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到/DAE为30进而得到/EAC= / ECA，利用等角对等边得到 AE=CE，设AE=CE=x ,表示出AD与DE ,利用勾股定 理列出关于x的方程，求出方程的解得到 x的值，确定出EC的

18、长，即可求出三角形 AEC 面积.【解答】 解：旋转后AC的中点恰好与D点重合，即ADAC = 1 AC ,在 Rt ACD 中，/ ACD=30 即/ DAC=60 / DAD =60 / DAE=30 / EAC= / ACD=30 AE=CE ,在 Rt ADE 中，设 AE=EC=x，则有 DE=DC - EC=AB - EC=3 x, AD= x 3=乙3根据勾股定理得：x2= （3 - x） 2+ （ 7） 2,解得：x=2 , EC=2 ,则 SaAEC= 1 EC?AD= :,2故选：D.【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟

19、练掌握性质及定理是解本题的关键.6. （ 2014?苏州）如图， AOB为等腰三角形，顶点 A的坐标（2,丽），底边OB在x轴 上.将厶AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得A OB，点A的对应点A在x轴上，则点O的坐标为（）C.【考点】坐标与图形变化-旋转.【专题】 计算题；压轴题.【分析】 过点A作AC丄OB于C,过点O作OD丄A B于D，根据点A的坐标求出OC、AC,再利用勾股定理列式计算求出 OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出 OB，根据旋 转的性质可得 BO =OB，/ A BO =Z ABO，然后解直角三角形求出 O D、BD，再求出OD , 然后写出点O的坐标即可.【解答】

20、 解：如图，过点 A作AC丄OB于C,过点O作O D丄A B于D ,TA （2,需）, OC=2 , AC=二，由勾股定理得，OA=厂廿；二=屮亠.去.亠3, AOB为等腰三角形，OB是底边, OB=2OC=2 X 2=4,由旋转的性质得， BO =OB=4，/ A BO = / ABO , o D=4 X -=332 SBD=4 X =,3 3Q on OD=OB +BD=4+亠,33点0的坐标为（，二1）.33【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.7. （2014?桂林）如图，在 ABC中

21、，/ CAB=70 将厶ABC绕点A逆时针旋转到 AB C 的位置，使得 CC7/ AB，则/ BAB的度数是（）A. 70 B. 35 C. 40 D. 50【考点】旋转的性质.【分析】根据旋转的性质得 AC =AC , / BAB= / CAC ,再根据等腰三角形的性质得/ AC C= / ACC ，然后根据平行线的性质由 CC / AB得/ ACC = / CAB=70 则/ AC C= / ACC =70 再根据三角形内角和计算出/ CAC =40 所以/ B AB=40 【解答】 解： ABC绕点A逆时针旋转到 AB C 的位置， AC =AC，/ B AB= / C AC ,/ A

22、C C= / ACC 7,/ CC / AB ,/ ACC = / CAB=70 / AC C= / ACC 7=70/ CAC =180 - 2X 70=40 / B AB=40 故选：C.【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了平行线的性质.& （ 2015?仪征市一模）如图，将 ABC绕点C （ 0, - 1）旋转180。得到 A B C,设点A 的坐标为（a, b）,则点A的坐标为（）BA .（ a, b） B. （ a, b 1）C.（ a, b+1）D.（ a, b 2）【考点】坐标与图形变化-旋

23、转.【专题】常规题型.【分析】设点A的坐标是（x, y）,根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点 公式列式求解即可.【解答】解：根据题意，点 A、A关于点C对称，设点A的坐标是（x, y）, 则八：=0,丄_ =- 1,2 2解得 x= a, y= b 2,点A的坐标是（-a, b 2）.故选D.【点评】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点 A、A关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方.二填空题（共7小题）9.（ 2008秋？吴江市期末）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为 6m的正三角形ABC , 点P是母线AC的中点，

24、若一个小虫子从点 B处出发沿圆锥表面爬到点处 P,则小虫子经过【考点】圆锥的计算；平面展开-最短路径问题.【分析】要求小虫子爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据两点之间线段最短得出结果.【解答】解：将圆锥展开为扇形,Tso的最短路程是7_m （结果不取近似值）n=180由于f为扇形一半，故/ BAC=90 ,BP=-=3 m.上【点评】本题主要考查两点之间线段最短和空间想象能力.10. （2013秋？房山区期末）如图 A是半圆上一个三等分点，B是邛的中点，P是直径MN上一动点.已知O O半径为1，求AP+BP的最小值_ 匚【考点】 垂径定理；勾股定理；轴对称 -最短路线问题.【专题】动

25、点型.【分析】找点A或点B关于MN的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置根据题意先求出/CAE，再根据勾股定理求出 AE，即可得出PA+PB的最小值.【解答】 解：作点B关于MN的对称点E,连接AE交MN于点P此时PA+PB最小，且等于AE .作直径AC ,连接CE, OE,又 B是丁的中点,亠=-!=.= - !,2又 A是半圆的三等份点，/ AOM=60 / MOE/ AOM=30 2/ AOE=90 / CAE=45 又 AC为圆的直径,/ AEC=90 ,/ C=Z CAE=45 CE=AE=AC= 匚，即AP+BP的最小值是 .故答案为：:.【点评】

26、 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，此题的难点是确定点P的位置：找点B关于MN的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和AE于MN的交点P就是所求作的位置再根据弧的度数和圆心角的度数求出/ CAE，根据勾股定理求出 AE即可.11. （2013?陕西）如图，AB是O O的一条弦，点C是O O上一动点，且/ ACB=30 点E、 F分别是AC、BC的中点，直线 EF与O O交于G、H两点.若O O的半径为7,则GE+FH 的最大值为10.5 .【考点】圆周角定理；三角形中位线定理.【专题】压轴题.【分析】由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=丄AB=3.5为2定值，

27、则 GE+FH=GH - EF=GH - 3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值.而直径 是圆中最长的弦，故当 GH为O O的直径时，GE+FH有最大值14 - 3.5=10.5 .【解答】 解：当GH为O O的直径时，GE+FH有最大值.当GH为直径时，E点与O点重合， AC也是直径，AC=14 ./ ABC是直径上的圆周角，/ ABC=90 / C=30 AB= - AC=7.2点E、F分别为AC、BC的中点， EF= 1 AB=3.5 ,2 GE + FH=GH - EF=14 - 3.5=10.5 .故答案为：10.5.【点评】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，

28、有一定难度.确定GH的位置是解题的关键.12. （2014?达州）如图，在 ABC中，AB=BC=2，/ ABC=90 则图中阴影部分的面积是n 2第仃页（共37页）B【考点】扇形面积的计算；等腰直角三角形.【专题】几何图形问题.【分析】通过图形知 S阴影部分面积=S半圆AB的面积+S半圆BC的面积SABC的面积, 所以由圆的面积公 式和三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积.【解答】 解：在 ABC 中，AB=BC=2，/ ABC=90 ABC是等腰直角三角形，图中阴影部分的面积是：S阴影部分面积=s半圆AB的面积+S半圆BC的面积SaaBC的面积=T 厂斗J T 、厂-.；=冗-2.故答案

29、为：n- 2.【点评】 本题考查了扇形面积的计算、勾股定理.解题的关键是推知S阴影部分面积 =S 半圆AB的面积+S半圆BC的面积-Sa ABC的面积.13. （2015?河南）如图，在扇形 AOB中，/ AOB=90 点C为OA的中点，CE丄OA交陆 于点E,以点O为圆心，OC的长为半径作II交OB于点D .若OA=2，则阴影部分的面积+ 12- 2【考点】扇形面积的计算.【专题】压轴题.【分析】 连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得/ CEO=30 继而可得厶AEO为等边 三角形，求出扇形 AOE的面积，最后用扇形 AOB的面积减去扇形 COD的面积，再减去 S 空白AEC即可求出阴影

30、部分的面积.【解答】解：连接OE、AE ,点C为OA的中点，/ CEO=30 / EOC=60 AEO为等边三角形，.60H X 22 2 S 扇形 AE=,= n，二S阴影=S扇形AOB S扇形COD _90兀 X 22 _ 90兀 X 1 龙=，、 n- ：5 -4 32_一 + 一(S 扇形 AOE- SaCOE)(n- 1 X 1 X ；)3212 2【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式:14. (2014?黑龙江)如图，等腰 Rt ABC中，/ ACB_90 AC_BC_1，且AC边在直线 a 上，将 ABC绕点A顺时针旋转到位置可得到点Pi，此时AP

31、i_；将位置的三角 形绕点Pi顺时针旋转到位置，可得到点P2，此时AP2_1 + ：-P2顺时针旋转到位置，可得到点P3,此时AP3_2+ ；，按此规律继续旋转，直至得到点 P2014为止.则 AP2O14_ 1342+672 一：_ .【考点】旋转的性质.【专题】规律型._【分析】由已知得AP1_ .：, AP2_1+ ：, AP3_2+打再根据图形可得到 AP4_2+2 .：;AP5_3+2 話:；AP6_4+2 :; AP 7_4 +3：；些8_5+3:; AP9_6+3二每三个一组，由于 2013_3X 671，则 AP2013_ (2013 - 671)些71 :,然后把 AP201

32、3 加上即可.【解答】 解：AP1_ .：, AP2_1+ .：, AP3_2+AP4_2+2 二；AP5_3+2 二；AP6_4+2 _j；AP7_4+3*； AP8_5+3*：； AP9_6+3 ：；/ 2013_3 X 671 ,二 AP 2013_ (2013 - 671) +671_：_1342+671：,二 AP 2014_1342+671.:+=1342+672.：.故答案为：1342+672:.【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.15. (2009?嘉兴)如图，在直角坐标系中，已知点 A (-

33、3, 0), B ( 0, 4),对厶OAB连续 作旋转变换，依次得到三角形 ，则三角形的直角顶点的坐标为 (36 ,【专题】 压轴题；规律型.【分析】根据前四个图形的变化寻找旋转规律，得到的直角顶点的坐标.【解答】解：由原图到图 ，相当于向右平移了 12个单位长度，象这样平移三次直角顶点 是(36, 0),再旋转一次到三角形 ，直角顶点仍然是(36, 0),则三角形的直角顶点 的坐标为(36, 0).故答案为：(36, 0).【点评】本题主要考查平面直角坐标系及图形的旋转变换的相关知识，要通过几次旋转观察旋转规律，学生往往因理解不透题意而出现问题.三解答题(共15小题)16. (2015秋?

34、衢州期末)某商场要经营一种新上市的文具， 进价为20元/件，试营销阶段发 现；当销售单价25元/件时，每天的销售量是 250件，销售单价每上涨 1元，每天的销售量 就减少10件.(1 )写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w (元)与销售单价 x (元)之间的函数关系式；(2 )求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用.【分析】(1)利用每件利润X销量 =总利润，进而得出 w与x的函数关系式；(2) 利用配方法求出二次函数最值进而得出答案.【解答】 解：(1)由题意可得：w= (x - 20) 250- 10 (X- 25)=-10 (x -

35、20) (x - 50)2=-10x +700x - 10000；2 2(2)T w= - 10x +700x - 10000= - 10 (x - 35)+2250,当x=35时，w取到最大值 2250,即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元.【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键.17. (2015秋？荔湾区期末)如图， AB地半圆O的直径，AD和BC是它的两条切线，切点 分别为A、B, CO平分/ BCD .(1) 求证：CD是半圆O的切线.(2 )若 AD=2 , CD=5，求 BC 的长.【分析】(1)过点0作0E

36、丄DC,垂足为E.先证明ECO BCO，于是得到OE=OB，从 而可知DC是半圆O的切线；(2)由切线长定理可知：DE=DA，EC=CB，从而可求得 BC的长.【解答】 解：(1)如图所示：过点 O作OE丄DC,垂足为E./ BC是圆0的切线，OB 丄 BC ./ CEC= / OBC=90 / CO 平分/ ECB ,/ ECO= / BCO .VECO=ZBCO在厶 ECO 和厶 BCO 中， ZCEC二 Z0BO90。,0C二0C ECO BCO . OE=OB ./ OE 丄 DC , OE=OB , DC是圆O的切线.(2) T AD、DC、CB是圆的切线， DE=DA , EC=C

37、B . BC=DC - AD=5 - 2=3 .【点评】本题主要考查的是切线的性质和判定、切线长定理的应用，掌握切线的性质和判定、切线长定理是解题的关键.18. (2015秋？昌图县期末)如图所示，AB是O O的直径，AD与O O相切于点 A , DE与OO相切于点E,点C为DE延长线上一点，且 CE=CB .(1)求证：BC为O O的切线；(2)若AB=4 , AD=1，求线段 CE的长.【考点】切线的判定与性质.【分析】(1)由切线得出/ OEC=90 证明 OBC OEC，得出/ OBC= / OEC=90 证 出BC为O O的切线；(2)作辅助线求出 DF=AB=4 , BF=AD=1

38、 ,设CE=x , Rt CDF中，根据勾股定理得：(x+1)2 2-(X - 1)=16，得出 x=4 即可.【解答】(1)证明：连接 OE, OC;如图所示：/ DE与O O相切于点E/ OEC=90 在厶OBC和厶OEC中，rOB=OE电 CB=CE ,LOCOC OBC心 OEC (SSS),/ OBC= / OEC=90 BC为O O的切线；(2)过点D作DF丄BC于F;如图所示：设 CE=x/ CE , CB 为O O 切线， CB=CE=x ,/ DE , DA 为O O 切线， DE=DA=1 , DC=x +1,/ DAB= / ABC= / DFB=90 四边形ADFB为矩

39、形， DF=AB=4 BF=AD=1 , FC=x - 1 ,RtA CDF中，根据勾股定理得：2 2(X+1)-( x - 1)=16 ,解得：x=4 , CE=4 .根据切线的性质利用【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及切线的判定与性质; 勾股定理计算是解决问题的关键.19. (2014秋？铜陵期末)如图，AB为O O的直径，射线 AP交O O于C点，/ PCO的平分 线交O O于D点，过点 D作DE丄AP交AP于E点.(1)求证：DE为O O的切线；(2 )若DE=3, AC=8，求直径 AB的长.【考点】 切线的判定；勾股定理；垂径定理.【分析】(1)连接OD，若要证明DE为O

40、 O的切线，只要证明/ ODE=90。即可;(2)过点O作OF丄AP于F，利用垂径定理以及勾股定理计算即可.【解答】(1)证明：连接OD ./ OC=OD ,/ 仁/ 3./ CD 平分/ PCO,/ 1 = / 2 ./ 2= / 3./ DE 丄 AP ,/ 2+Z EDC=90 / 3+/ EDC=90 即/ ODE=90 OD 丄 DE. DE为O O的切线.(2)过点O作OF丄AP于F.由垂径定理得，AF=CF ./ AC=8 , AF=4 ./ OD 丄 DE , DE丄 AP,四边形ODEF为矩形. OF=DE ./ DE=3 , OF=3 .2 2 2 2 2在 Rt AOF

41、中，OA =OF +AF =4 +3 =25 . OA=5 . AB=2OA=10 .【点评】本题考查了圆的切线的判定和性质、垂径定理的运用、 矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度中等，是一道不错的中考题.20. (2011秋？锡山区期末)在厶 ABC中，P是BC边上的一个动点，以 AP为直径的O O分 别交AB、AC于点E和点F.(1) 若/ BAC=45 EF=4，贝U AP的长为多少？(2 )在(1)条件下，求阴影部分面积.(3) 试探究：当点 P在何处时，EF最短？请直接写出你所发现的结论，不必证明.【考点】圆周角定理；勾股定理；等腰直角三角形；垂径定理；扇形面积

42、的计算.【分析】(1)连接OE、OF构建等腰直角三角形 OEF，然后利用勾股定理求得 AP的长度;(2 )利用扇形的面积公式和三角形的面积公式分别求得S扇形EOF、Sa EOF的值；然后根据图形的特点知：S阴影=S扇形EOF - Sa EOF；(3)由垂径定理知，当 AP最短时，EF则取最小值；又根据点到直线的距离垂线段最短垂 线段最短知当 AP丄BC时，AP最短.【解答】(1)连接OE、OF ./ EOF=2 / EAF，/ EAF=45 / EOF=90 EOF是等腰直角三角形，直径 AP=2OE=4 :;(3) 在三角形 OEP中，根据垂径定理和勾股定理知，当0P取最小值时，EF的值最小

43、;又根据点到直线的距离垂线段最短垂线段最短知当AP丄BC时，AP最短.所以当AP丄BC时，EF最短.BP C【点评】考查了同学们综合利用垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力.21. (2015秋？朝阳区期末)如图，已知 ABC是等边三角形，以 AB为直径作O O,交BC 边于点D，交AC边于点F,作DE丄AC于点E.(1)求证：DE是O O的切线;【考点】切线的判定；等边三角形的性质.ODE=90 根据切线的判定定理证明【分析】(1)连接OD,根据等边三角形的性质求出/ 即可；(2) 连接AD , BF,根据等边三角形的性质求出DC、C

44、F,根据直角三角形的性质求出EC,结合图形计算即可.【解答】(1)证明：如图1，连接OD , ABC是等边三角形，/ B= / C=60 / OB=OD ,/ ODB= / B=60 / DE 丄 AC ,/ DEC=90 / EDC=30 / ODE=90 DE丄OD于点D ./点D在O O上， DE是O O的切线；(2)解：如图2，连接AD , BF , / AB为O O直径,/ AFB= / ADB=90 AF 丄 BF, AD 丄 BD . ABC是等边三角形,1 1/ EDC=30 等边三角形的性质以及直角三角形的性质, 径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键.掌握经过

45、半22. （2011秋?海门市期末）如图，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图是半圆，求:（1）圆锥的底面半径；（2）/ BAC的度数；（3） 圆锥的侧面积（结果保留n）.【考点】圆锥的计算；弧长的计算；扇形面积的计算.【专题】计算题.【分析】（1）根据圆锥的母线长等于展开半圆的半径，然后求得其弧长，利用圆的周长求得 其面积；(2) 利用圆锥的咼，母线和底面半径构造的直角三角形中的勾股定理和等腰三角形的基本性质解题即可；(3) 圆锥的侧面积是展开图扇形的面积，直接利用公式解题即可，圆锥的侧面积为2【解答】解：(1)v圆锥的母线长等于半圆的半径，圆锥的侧面展开扇形的弧长 =6冗cm,设圆的半径为r

46、,则 2 n=6 n解得r=3,圆锥的底面半径为 3;(2)T 1 =2,T圆锥高与母线的夹角为30则/ BAC=60 (3 )T r=3cm l=2r=6cm ,圆锥的侧面积为一=18 n (cm2).2【点评】本题主要考查圆锥的特点和圆锥侧面面积的计算.易错易混点：学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，从而造成错误.23. ( 2015秋？苍溪县期末)如图，O C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B,点A的坐标为(0, 2) , D为O C在第一象限内的一点且/ ODB=60 解答下列各题：(1) 求线段AB的长及O C的半径；(2) 求B点

47、坐标及圆心C的坐标.【考点】 垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理.【分析】(1)连接AB ;由圆周角定理可知，AB必为O C的直径；Rt ABO中，易知OA的长，而/ OAB= / ODB=60 通过解直角三角形，即可求得斜边AB的长，也就求得了OC的半径；(2)在Rt ABO中，由勾股定理即可求得 OB的长，进而可得到 B点的坐标；过 C分别 作弦OA、OB的垂线，设垂足为 E、F;根据垂径定理即可求出 OE、OF的长，也就得到了 圆心C的坐标.【解答】 解：(1)连接 AB ;/ ODB= / OAB，/ ODB=60 / OAB=60 / AOB是直角， AB 是O C 的直径，/ OB

48、A=30 AB=2OA=4 ,.O C 的半径 r=2 ; (5 分)(2)在Rt OAB中，由勾股定理得：OB2+OA2=AB2,OB=,二， B 的坐标为：(，7，0)( 8 分)过C点作 CE丄OA于E, CF丄OB于F,由垂径定理得：OE=AE=1 , OF=BF= 7, CE=二，CF=1 , C的坐标为( , 1 ) (12 分)【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、点的坐标意义、勾股定理等知识的综合应用能力，综合性较强，难度适中.24. (2014秋？肇庆期末)如图，O O是厶ABC外接圆，AB为直径，弧 AC=弧CF, CD丄 AB于D，且交O O于G, AF交CD于E.

49、(1) 直接写出/ ACB的度数；(2) 求证：AE=CE .G【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系.【分析】(1)由AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得/ACB的度数；(2)由CD丄AB，由垂径定理即可求得 =“,则可得/ ACE= / B,又由弧 AC=弧CF, 易证得AE=CE .【解答】(1)解：T AB为直径，/ ACB=90 (2)证明：T CD 丄 AB ,/ CAE= / B,/ ACE= / CAE , AE=CE .【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及等腰三角形的判定此题难度不大，注意掌 握数形结合思想的应用.25. （2010秋？潍坊期末）

50、如图， ABCD是围墙，AB / CD，/ ABC=120 一根6m长的绳 子，一端拴在围墙一角的柱子上（B处），另一端拴着一只羊（E处）.（1 ）请在图中画出羊活动的区域.（2）求出羊活动区域的面积.【考点】扇形面积的计算.【专题】应用题.【分析】 羊的活动区域应该分为两部分：以/ ABC为圆心角，BE长为半径的扇形； 以/ BCD的补角为圆心角，以（BE - BC）长为半径的扇形；可根据两个扇形各自的圆心角 和半径，计算出羊活动区域的面积.【解答】 解：（1）如图，扇形BFG和扇形CGH为羊活动的区域.(2) q 扇形 gbf=12 nm360厂仁：22S 扇形 HCG= I m3603羊

51、活动区域的面积为：【点评】此题主要考查的是扇形的面积计算方法，正确的判断出羊的活动区域是解答此题的关键.26. (2015?湖北)如图， ABC 中，AB=AC=1，/ BAC=45 AEF 是由 ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D .(1) 求证：BE=CF ;(2) 当四边形 ACDE为菱形时，求 BD的长.E【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质.【专题】计算题；证明题.【分析】(1)先由旋转的性质得 AE=AB , AF=AC，/ EAF= / BAC，则/ EAF + Z BAF= / BAC+Z BAF ,即/ EAB= / FAC,利用AB=AC 可得AE=AF ,于是根据旋转的定义， AEB 可由 AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD ;(2)由菱形的性质得到 DE=AE=AC=AB=1 , AC / DE ,根据等腰三角形的性质得Z AEB= Z ABE ,根据平行线得性质得Z ABE= Z BAC=45 所以Z AEB= Z ABE=45 于是可判断 ABE为等腰直角三角形，所以 BE= .：AC= ，于是利用BD=BE - DE求解.【解答】(1)证明： AEF是由 ABC绕点A按顺时针方向旋转