工程力学第十章梁的内力图1

1、15-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系主讲：邬月琴主讲：邬月琴武汉大学土建学院工程力学系武汉大学土建学院工程力学系2一、载荷集度、剪力和弯矩间的关系一、载荷集度、剪力和弯矩间的关系二、用微积分关系作内力图二、用微积分关系作内力图3上节内容回顾上节内容回顾1. 梁横截面上的内力梁横截面上的内力 剪力剪力Q ：使脱离体有顺时针转动的趋势为正，反：使脱离体有顺时针转动的趋势为正，反 之为负。之为负。 弯矩弯矩M ：使脱离体下端受拉为正，反之为负：使脱离体下端受拉为正，反之为负。2. 用截面法求内力用截面法求内力3. 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程4. 剪力图和弯矩图

2、剪力图和弯矩图 在集中力作用处，剪力图有突变，突变值为集中在集中力作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小，从左至右作图，突变方向为集中力的方力的大小，从左至右作图，突变方向为集中力的方向，弯矩图在相应位置有尖角；向，弯矩图在相应位置有尖角； 在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变值为集在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变值为集中力偶矩的大小，从左至右作图，顺时针的力偶使中力偶矩的大小，从左至右作图，顺时针的力偶使弯矩图向下突变，剪力图在相应位置无变化。弯矩图向下突变，剪力图在相应位置无变化。4q(x)对对 dx 段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有：0YF由)(dd )(xQxxqdxxq

3、(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy ) 1 ( ddxqxxQq(x)以向上为正以向上为正)(xQxxqd)()(d)(xQxQ0一、载荷集度、剪力、弯矩间的关系一、载荷集度、剪力、弯矩间的关系5 0)(iAFm(2)(d)(dxQxxMq(x)略去二阶微量略去二阶微量xxQ)d()(xM2)(d(21xxq)(d)(xMxM0M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy6(2)(d)(dxQxxM荷载集度与剪力、弯矩的微分关系是：荷载集度与剪力、弯矩的微分关系是：) 3()()(22xqdxxMd ) 1 (ddxqxxQ7d(

4、 )d( )Q xxq xd( )d( )M xxQ xd( )dd( )d( )22M xxQ xxq x左式说明：剪力图在一处的斜率等于左式说明：剪力图在一处的斜率等于该处的分布力的数值该处的分布力的数值表示表示M图上某处的斜率等于图上某处的斜率等于该处剪力该处剪力Q之值之值 。表示表示M图上某处的斜率的变化图上某处的斜率的变化率等于该处载荷集度率等于该处载荷集度q之值。之值。8根据载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系，可判断图形的性质：根据载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系，可判断图形的性质：1)q0，2)q常数，常数，3) 剪力剪力Q=0处，弯矩取极值处，弯矩取极值。4) 集中力作用处，剪力

5、图突变；集中力作用处，剪力图突变； 1 区间上区间上2 点上点上分布载荷向上（分布载荷向上（q 0），），抛物线呈凸形；抛物线呈凸形；分布载荷向下（分布载荷向下（q 0），抛物线呈凹形。），抛物线呈凹形。Q=常数，常数， 剪力图为直线；剪力图为直线；M(x) 为为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。Q(x) 为为 x 的一次函数，剪力图为斜直线的一次函数，剪力图为斜直线；M(x) 为为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。集中力偶作用处，弯矩图突变。集中力偶作用处，弯矩图突变。9把式（把式（1）和式（）和式（2）积分）积分 xQxxMdd xx

6、QxMdd babaxxQxMdd )5(baQAaMbM xqxxQdd xxqxQdd babaxxqxQdd )4(baqAaQbQ式式(4)和式和式(5)称为荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系称为荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系。10二、微积分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：二、微积分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。应用截面法或者是积分法确定控制面上的剪力应用截面法或者是积分法确定控制面上的剪力和弯矩数值和弯矩数值。建立建立Q Q一一x x和和M M一一x x坐标系，并将控制面上的剪力和坐标系，并将控制面上的

7、剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。弯矩值标在相应的坐标系中。微分关系确定各段控制面之间的剪力图和弯微分关系确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状矩图的形状. . 画出剪力图与弯矩图。画出剪力图与弯矩图。 11BA1.5m1.5m1.5m1kN.m2kNRARB例例1.1.作图示作图示简支梁的内力图。简支梁的内力图。解：解：1.1.求约束反力求约束反力00 ，由BAMM2.2.求控制截面的剪力和弯矩求控制截面的剪力和弯矩kNRQQQQAEDCA89. 0kNRQQBBF11. 1kNRkNRBA11. 1 , 89. 0得0AMQ图图0.89kN1.11kNmkNAMACQC335. 15 . 189. 0mkNMMDD335. 015 . 189. 0- 左侧外力右侧外力FFEMMMmkN 665. 15 . 111. 1M图图mkN 335. 1mkN 665. 10BMmkN 335. 012Q图图M图图4/9qa4/7qaqa32/812qa2qa4/9aARBR例题例题2.作图示外伸梁的作图示外伸梁的剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图解解:1.求约束反力求约束反力0 0BAMM和由可求得可求