复合函数微分不定积分定积分-复合积分

1、二、复合函数的求导法则设 y = /() u =（p（x）都可导,=/9（无）也可导，且y9 =dydy du=dxdu dx（复合函数）k终变量=（复合函数）上间变量X （中间变量）箋终变量推广设 y = /(), u =(p(v), v = (x), 则复合函数 J =的导数为dydy du dv= dxdu dv dx例4求函数j = (x2 + l)10dy29丄= 10(厂+ 1)9( dx的导数X2 + l)r=20x(x2 +1)9.一、原函数与不定积分的概念微分运算与求不定积分的运算是互逆的.(sin x) = cos xsin x是cos兀的原函数.例(in x) = (x

2、0)XIn兀是丄在区间(0，+8 )内的原函数.不定积分的定义:在区间/内,函数/(X)的带有任意常数项的原函数称为/(*)在区间/内的 不定积分，记为J f(x)dx .XI77(、积分变量被积表达式11X/|被积函数积分号如X)必的解 例解6x 5dx =+ C J 61十21+ Xarctan x + C 基本积分表实例严1+ C.JX + 1 （“工-1）启示能否根据求导公式得出积分公式?结论既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式基本积分表J kdx = kx + C 仏是常数);W);x 0fdx = arctan x + C;Jl + x2fdx = a

3、rcsin x + C;J a/1-x2J cos xdx = sin x + C;J sin xdx = 一 cos x + C;r dx r 9I；= I sec xdx = tan x + C;J cos r Jf Jx2J； = esc xdx = 一 cot x + C;sin 兀 J11z(3 X z(| sec x tan xdx = sec x + C;zj esc x cot xdx = 一 esc x + C;J e x dx =ex + C ;a xf a Xdx =F C;JIn aJ sinh xdx = cosh x + C;J cosh xdx = sinh x

4、+ C;例4求积分J x2 a/xdx 5“+丄 X + c ju + 1解 j x2 xdx = J x 2dx根据积分公式厶5+17x22_=5 -+1 2+ C = -x2 + C.7三、不定积分的性质(1)J/(x) g(x)dx = j f(x)dx 土 J g(x)dx;(2) J kf (x)dx = k j f (x)dx .(氐是常数，氐工0)一、第一类换元法问题 f cos 2xdx sin 2x + C 9解决方法 利用复合函数，设置中间变量过程 令/ = 2x n dx = dt，2Jcos2x=2fcos=2sinz + C=2sin2x + C.例 1 求J sin

5、 2 xdx .(_)（二）(三)1sin 2xdx = sin 2xd (2x)2J=一 - cos 2x + C;2J sin 2 xdx = 2j sin x cos xdx=2J sin xd (sin x)= (sin x)2 + C;J sin 2 xdx = 2| sin x cos xdx=-2jcos xJ (cos x)= -(cos x)2 + C.求 fdx J 3 + 2 兀111 ,(3 + 2x)3 + 2x 2 3 + 2xr 111I -dx = -f(3 + 2x)fdxJ 3 + 2x 2J 3 + 2x1111=du = In m + C = ln( 3

6、 + 2x) + C .2J w22例16 求 J / 2 2dx (a 0).J a/x + a解令兀=a tan dx = a sec 2 tdt t eX7C Tt11)例 1 7 求 J y/l x2 dx.解令 x = sin t dx = cos tdt t 丘， I 2 2)X2 dx =2isin r cos tdt2 tdt=f (1 + cos 2t)dt / 21=Z / 2 + sin 2z / 4X基本积分表61z(171z(19z(20zJ tan xdx =J cot xdx = J sec xdx = J esc xdx =J 2 12 必J a + x一 In cos x + C;In sin x + C;ln(sec x + tan x) + C;ln(csc x - cot x) + C;1x=arctan + C;(22)(23)(24)(21)=arcsinx+ C；2 a=ln( x + a/x2 + a2) + C.分 积 定曲边梯形由连续曲线无=“所围成、冋题的提出实例1 （求曲边梯形的面积）y = /（x）（/（x） 0）、 兀轴与两条直线兀=。、用矩形面积近似取代曲边梯形面积bo（四个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积.积分变量