短时Fourier变换第二版

1、短时Fourier变换 由于在实际工作中所遇到的信号往往是时变的，即信号的频率在随时间变化，而传统的傅立叶变换，由于其基函数是复正弦，缺少时域定位的功能，因此傅立叶变换不适用于时变信号。信号分析和处理的一个重要任务，一方面是要了解信号所包含的频谱信息，另一方面还希望知道不同频率所出现的时间。 尤金维格纳（Eugene Wigner）于1932年基于传统傅里叶变换的缺陷提出了一种联合时频分析方法，即找到一个二维函数，它可以把信号的时域分析和频域分析结合起来，联合时频分析的结果既反映了信号的频率内容，也反映了频率内容随时间变化的规律。该方法大体可分为两类：线性联合时频分析方法和非线性联合时频分析方

2、法。线性联合时频分析方法主要包括短时傅里叶变换、Gabor展开及小波变换。对于非线性联合时频分析方法，它包括Wigner-Ville分布和广义的双线性时频分布等2。 在1946年，丹尼斯加博尔（Dennis Gabor）提出了短时傅里叶变换和Gabor 展开的概念。短时傅里叶变换，其基本思想是将信号加窗，将加窗后的信号再进行傅里叶变换。加窗处理使得变换结果为时刻t附近的很小时间段上的局部谱，窗函数可以根据时间t的变化在整个时间轴上平移，即利用窗函数可以将任意时刻t附近的频谱实现时间局域化，从而构成信号的二维时频谱。即使信号s(t)是非平稳的或时变的，但加窗处理将它分成许多小段后，可以假定每一小

3、段的信号都是平稳的，所以短时傅里叶变换也可以用于非平稳信号或时变信号的分析。短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform）。其主要思想是将信号加窗，将加窗后的信号再进行傅里叶变换，加窗后使得变换为时间t附近的很小时间上的局部谱，窗函数可以根据t的位置变化在整个时间轴上平移，利用窗函数可以得到任意位置附近的时间段频谱实现时间局域化。 但是，短时Fourier变换使用固定大小的时频分析网络，视频网络在时频平面上的变化只限于平行移动（时间平移和频率平移），因此只适用于分析具有固定不变带宽的非平稳信号。弥补这个缺点，后人又研究出了小波变换，但这并不在本次课的讨论范

4、围之内。 下面，我们分成连续和离散两种情况，来深入探讨一下短时Fourier变换的定义、条件和性质。连续短时傅立叶变换给定一个时间宽度很短的窗函数则信号的短时傅立叶变换为： 如果把传统的Fourier变换看作是Fourier分析的话，那么Fourier反变换则应称为Fourier综合，因为Fourier反变换是利用Fourier频谱来重构或综合原信号的。类似地，短时Fourier变换也有和综合之分。为了使真正STFT是一种有实际价值的非平稳信号分析工具，那么信号 应该能够由STFTz(t,f)完全重构出来，设重构公式为：设输入信号中z(t)是两个信号之和，即有将重构公式带入上式，容易证明利用D

5、irac 函数性质，我们可以得到 显然，为了实现“完全重构”，即p(u)=z(u)，则必须要满足下列条件，称之为短时Fourier变换的完全重构条件。显然，我们选取的窗函数 恰好满足完全重构条件，那么，可将前式写成： 上式可视为广义短时Fourier反变换，与维数相同的正、反Fourier变换形成对照的是，短时Fourier变换STFTz(t,f)具有明显的物理意义，它可以看作是信号z(t)在分析时间t附近的“局部频谱”。图下图所示：短时Fourier变换的性质：1、根据短时Fourier变换的基本定义，我们可以在验证： 这表明，STFT具有频移不变性，但不具有时移不变性，不过他在一调制范围相

6、差一相位因子的范围内还是可以保持时间移位不变的。2、 除此之外，短时Fourier变换还可以理解为通过一定滤波器之后发生的变化，通过不同的变换，我们发现可以由带通和低通两种滤波器进行变换。窗函数g(t)的选择由于时间t的STFT是被窗函数预加窗后信号的频谱，所以位于以时间t为中心的局部窗时间宽度内的所有信号特性都会在STFT(t,f)内显示出来，显而易见，欲提高STFT的时间分辨率，就要综合窗 尽可能短。另一方面，有一在频率f处的STFT本质上是信号z(t)通过带通滤波器的结果，因此有要求它的时间宽度长，显然两者相悖。归根到底，局部频谱的正确表示还在于窗函数g(t)的宽度与信号的局域平稳长度相

7、适应。下面讨论取g(t)= 即综合窗与分析窗相同时，如何选取窗函数g(t)。我们用R代表实数集合，L2(R)代表可测量的、且模平方可积分的一维函数空间，即 虽然原则上，我们可以任意选择窗函数，但是在实际应用中，还是期待它有很好的时间和频率的聚集性（即能量在时频平面时高度集中的），使得STFTz(t,f)能够有效地对应为信号x(t)在时频点（t,f）附近的“内容”，也就是前面多次强调过的，g(t)的窗款应该与信号的局部平稳长度相适应，常用的一种特殊选择是下面的高斯窗函数： 所得到的基函数 在物理学中叫做“标准相干态”，而在工程文献中称作Gabor基函数。Gabor基函数g0t,f在时频平面上高度

8、聚集在时频点(t,f)附近，即Gabor基函数的另一个重要特性是满足不确定性原理即Heisenberg不等式中的等号关系，即对于一般的基函数gtf，它应该满足“恒等分辨”要求。所谓恒等分辨，就是任何一个能量有限的信号z(t)都应该能够从STFTz(t,f)完全重构出来，容易验证：这里使用了Fourier变换 ，于是 这满足前面讲到的完全重构条件。显然，欲实现作为的恒等分辨，即实现则必须对窗函数施加下列约束条件由此可见，能量归一化的约束不仅是短时Fourier变换对窗函数g(t)的一个要求，而且也是Gabor展开对窗函数g(t)的要求之一。离散短时Fourier变换 以上讨论的是连续短时Fourier变化，对于任何实际应用而言，我们都需要将STFTx(t,f)离散化。为此，我们来考虑STFT在等间隔视频网格点（mT,nF）处的采样，其中T0，F0分别是时间变量和频率变量的采样周期，而m和n为整数，为了简便，我们记为STFT(m,n)。令x(k)为离散信号，于是得到STFT分析公式的离散化形式和ST