余弦函数图像与性质(公开课使用)

1、余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质X 各位老师好！各位老师好！正弦函数的图象正弦函数的图象描点法几何法几何法五点法（关键点）思考： 余弦函数怎么画呢？余弦函数的图像 描点法 几何法 五点法思考：还有其他的方法吗？R Rx x , , cosxcosxy y-2 - o 2 3 x-11y提示：由已知到未知？作余弦函数作余弦函数 y=cosx (xR) y=cosx (xR) 的图象的图象 思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？x)x)cos(cos(cosxcosxy yx)x)( (2 2sinsinx x) )2 2s si in n

2、( ( 注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左平移向左平移 个单位长度而得到。余弦函数个单位长度而得到。余弦函数的图象叫做余弦曲线。的图象叫做余弦曲线。2 2x6yo-12345-2-3-41 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 余弦函数的图象余弦函数的图象 正弦函数的图象正弦函数的图象 x6yo-12345-2-3-41y=cosx=sin(x+ ), xR2 余弦曲余弦曲线线(0,1)( ,0)2( ,-1)( ,0)23( 2 ,1)正弦曲正弦曲线线形状完全一样形状完全一样只是位置不同只是位置不同正弦函数的性质我们已经学习了正弦函数的性质，能不

3、能类比学习余弦函数的性质呢？ 定义域 值域 周期性 单调性 奇偶性 对称性1. 具体有哪些不同呢？余弦函数的性质我们从下面几个方面考虑： 定义域和值域 周期性 单调性 奇偶性 对称性xyo1-1-2 - 2 3 4 R Rx xs si in nx x, ,y y1.正弦曲线的正弦曲线的定义域和值定义域和值域域R Rx x , , cosxcosxy y-2 - o 2 3 x-11y余弦曲线余弦曲线 函数函数定义域定义域 值域值域sinyxcosyx 1,1 1,1RRyx2346021-15 y=sinx (x R) 当当x= x= 时，函数值时，函数值y y取得最大值取得最大值1 1；k

4、22当当x= x= 时，函数值时，函数值y y取得最小值取得最小值-1-1k22观察下面图象：yx2346021-15 y=cosx (x R) 当当x= 时，函数值时，函数值y取得最大值取得最大值1；k 2当当x= x= 时，函数值时，函数值y y取得最小值取得最小值-1-1k 2观察下面图象：因为终边相同的角的三角函数值相同，所以因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在的图象在， 与与y=sinx,x0,2的图象相同的图象相同2,4 ,0 ,2,2,0,4,2正弦曲线的周期正弦曲线的周期xy-1-12o46246sin(2)sinxkx kZ因为终边相同的角的三角函数值相

5、同，所以因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在的图象在， 与与y=cosx,x0,2的图象相同的图象相同2,4 ,0 ,2,2 , 0,4 ,2余弦曲线的周期余弦曲线的周期2o46246xy-1-1 cos(2)cosxkx kZ 由此可知，2 ,4 , , 2 , 4 , 2 (,0)k k Z k 2都是这两个函数的周期。是它的周期，最小正周期为最小正周期为2,0kkZ k即 正弦、余弦函数的相同性质正弦、余弦函数的相同性质x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R) x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R) 定义域定义域值值 域域周期

6、性周期性x Ry - 1, 1 T = 2 3.正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性sin(-x)= - sinx (x R) y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是奇函数是奇函数 正弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性图像关于原点对称 3. 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性x6o-12345-2-3-41ycos(-x)= cosx (x R) y=cosx (x R) 是偶函数是偶函数 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性 一般的，对于函数一般的，对于函数f(x)的定义域内的的定义域内的任任意意一个一个x，都有，都有f(-x) f(x)，则称，则

7、称f(x)为为这这一定义域内一定义域内的偶函数。的偶函数。关于关于y轴对称轴对称 3.正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性sin(-x)= - sinx (x R) y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是奇函数是奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)= cosx (x R) y=cosx (x R) 是偶函数是偶函数定义域关于原点对称定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性 4.正弦、余弦函数的单调性正弦、余弦函数的单调性 正弦函数的单调性正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间为增区间为 ， 其值从其值从-1增至增

8、至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0 -1减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12 23 +2k , +2k ,k Z2 2 +2k , +2k ,k Z2 23 4.正弦、余弦函数的单调性正弦、余弦函数的单调性 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R) x cosx2 2 - 0 -1 0 1 0 -1yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 增区间为 其值从-1到1 减区间为 其值从-1到10,0,2,2,kkkZ2,2,kkkZ对称性对称性yx2346

9、021-15 y=sinx (x R) )0 ,k对称中心（2kx对称轴：观察下面图象：yx2346021-15 y=cosx (x R) )0 ,2k对称中心（kx 对称轴：观察下面图象： 函函 数数 性性 质质y= sinx (kz)y= cosx (kz)定义域定义域值域值域最值及相应的最值及相应的 x的集合的集合周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性对称中心对称中心对称轴对称轴x Rx Rx Rx R-1,1-1,1-1,1-1,1x= 2kx= 2k时时y ymaxmax=1=1x= 2k+ x= 2k+ 时时 y yminmin=-1=-1周期为T=2周期为周期为T=2T=2奇函数奇

10、函数偶函数偶函数在x2k- ， 2k 上都是增函数 。在x2k， 2k+ 上都是减函数 , (k,0)(k,0)x = kx= 2k+时时y ymaxmax=1=1x=2kx=2k- - 时时 ymin=-122在x2k- , 2k+ 上都是增函数 , 在x2k+ ，2k+ 上都是减函数.22232(k+ ,0)(k+ ,0)2x = k+2例子例子 例例 画出函数画出函数y= cosx-1，x 0, 2 的简图，并讨论性质：的简图，并讨论性质： x cosx cosx-12 23 0 2 10-101 0 -1 -2 -1 0 yxo1-122322y= cosx-1，x 0, 2 y=co

11、sx，x 0, 2 还有其他方法吗有什么性质呢？函 数 y=cosx-1定义域 R值 域 -1,1奇偶性偶函数周期性单调性当 时，函数是增加的；当 时，函数是减少的最 值当 时，最大值为0；当 时，最大值为-222, 21xkkkZ21,2xkkkZ2xkkZ 21xkkZ 余弦函数的图象余弦函数的图象 小小结结1.余弦曲线余弦曲线五点法五点法2.注意与正弦函数的性质对比来理解余弦函数注意与正弦函数的性质对比来理解余弦函数的性质的性质正弦函数得出（借助诱导公式）正弦函数得出（借助诱导公式）谢谢！ 作业：课本P33 2、4.XYO.2 22 23 32 2xsinxsinx2 22 23 32 20 0 1 0 -1 01-1用五点法作用五点法作y=sinx , x0y=sinx , x0， 的简图的简图2 2.XYO.2 22 23 32 2xcosx2 22 23 32 20 1 0 -1 0 11-1五点法作五点法作y=cosx, x0y=cosx, x0， 的简图的简图2 22oxy-11-13232656734233561126-oxy-11-13232656734233561126与与x轴的交点轴的交点)0 ,0()0 ,()0 ,2(图象的最高点图象的最高点)1,(2 图象的最低点图象的最低点) 1(, 23与与x轴