【备战】高考数学专题讲座 第21讲 高频考点分析之平面向量探讨

1、【备战2013高考数学专题讲座】第21讲：高频考点分析之平面向量探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探讨，912讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。平面向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，它包括向量的概念和运算。向量的坐标表示，定比分点及数量积。以前教材中，在解析几何、复数中涉及到平面向量的问题，只是对一个概念的介绍；而在现在教材中，是高一的必学内容，教学大纲要求理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决

2、实际问题的能力。一般来说，平面向量在高考中所占份量不大，一道选择题或填空题，结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下三方面探讨平面向量问题的求解：1. 平面向量的概念、性质和计算：2. 平面向量的坐标表示和计算；3. 平面向量与其它知识的综合。一、平面向量的概念、性质和计算：典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）中，边上的高为，若，则【 】a b c d 【答案】d。【考点】向量垂直的判定，勾股定理，向量的加减法几何意义的运用。【解析】，在中，根据勾股定理得。由等面积法得，即，得。又点在上，。故选d。例2.（2012年四川省理5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条

3、件是【 】a、 b、 c、 d、且【答案】c。【考点】充分条件。【解析】若使成立， 即要、共线且方向相同，即要。所以使成立的充分条件是。故选c。例3. （2012年天津市理5分）已知为等边三角形，设点满足，若，则【 】（a） （）（）（）【答案】a。【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.。【分析】=，=， 又，且，即，即，解得。故选a 。例4.（2012年天津市文5分）在中，=90，=1，设点满足，。若，则=【 】（a） （b） （c） （d）2【答案】b。【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用。【分析】如图

4、，设 ，则。又，。由得，即。故选b。例5. （2012年浙江省理5分）设，是两个非零向量【 】 a若，则 b若，则 c若，则存在实数，使得 d若存在实数，使得，则【答案】c。【考点】平面向量的综合题。【解析】利用排除法可得选项c是正确的：|ab|a|b|，则a，b共线，即存在实数，使得ab，选项a：|ab|a|b|时，a，b可为异向的共线向量，不正确；选项b：若ab，由正方形得|ab|a|b|，不正确；选项d：若存在实数，使得ab，a，b可为同向的共线向量，此时显然|ab|a|b|，不正确。故选c。例6. （2012年辽宁省理5分）已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确

5、的是【 】(a) ab (b) ab (c) a=b (d)a+b=ab【答案】b。【考点】平面向量的运算，向量的位置关系。【解析】由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0，所以ab。故选b。 或根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以ab。故选b。例7. （2012年全国课标卷理5分）已知向量夹角为 ，且；则 【答案】。【考点】向量运算。【解析】，。向量夹角为 ，且 ，解得，。例8. （2012年北京市理5分）已知正方形abcd的边长为l，点e是ab边上的动点。则的值为 ；

6、 的最大值为 【答案】1；1。【考点】平面向量的运算法则。【解析】如图，根据平面向量的运算法则，得 。 ，正方形abcd的边长为l，。 又， 而就是在上的射影，要使其最大即要点e与点b重合，此时。 的最大值为。例9. （2012年浙江省理4分）在中，是的中点，则 【答案】。【考点】平面向量数量积的运算。【解析】此题最适合的方法是特殊元素法：如图，假设abc是以abac的等腰三角形，am3，bc10，由勾股定理得abac。则cosbac，。例10. （2012年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 【答案】。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，

7、锐角三角函数定义。【解析】由，得，由矩形的性质，得。 ，。 记之间的夹角为，则。 又点e为bc的中点，。 。 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。例11. （2012年湖南省文5分）如图，在平行四边形abcd中 ，apbd，垂足为p，且 ，则= .【答案】18【考点】平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算。【解析】设，则=。二、平面向量的坐标表示和计算：典型例题：例1. （2012年安徽省理5分）在平面直角坐标系中，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是【 】 【答案】。【考点】向量的计算。【解析】设，得。又向量按逆时针旋转后，得向量，。故选。例2.（2012年广

8、东省理5分）若向量=（2,3），=（4,7），则=【】a（-2,-4） b(2,4) c(6,10) d(-6,-10)【答案】a。【考点】平面向量的坐标运算。【解析】= 。故选a。例2.（2012年广东省文5分）若向量，则【 】 a b c d 【答案】a。【考点】平面向量的坐标运算。【解析】 。故选a。例3. （2012年福建省文5分）已知向量，则的充要条件是【 】ax bx1 cx5 dx0【答案】d。【考点】向量数量积的运算和性质。【解析】由向量垂直的充要条件得 所以x =0 。故选d。例4. （2012年辽宁省文5分）已知向量若则=【 】(a) 1 (b) (c) (d)1【答案】d

9、。【考点】向量的数量积。【解析】，。故选d。例5. （2012年重庆市理5分）设r，向量且，则【 】（a） （b） （c） （d）10【答案】b。【考点】平面向量的基本运算及向量共线、垂直的性质。【分析】且，。 又，。 。故选b。例6. （2012年重庆市文5分）设 ，向量且 ，则【 】（a） （b） （c） （d）【答案】。【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。【分析】通过向量的垂直，求出向量 ，求出 ，然后求出模： ，向量且，即。 。故选b。例7. （2012年陕西省文5分）设向量=（1，）与=（1， 2）垂直，则等于 【 】a. b. c .0 d.1【答案】c。【考点】数量积判断

10、两个平面向量的垂直关系，二倍角的余弦。【解析】，。 又=（1，）与=（1， 2），即。故选c。例8. （2012年上海市理4分）若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】。【考点】直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率的关系，反三角函数的表示角。【解析】设直线的倾斜角为，则。例9. （2012年上海市文4分）若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）【答案】。【考点】直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率的关系，反三角函数的表示角。【解析】设直线的倾斜角为，则。例10. （2012年安徽省文5分）设向量，若,则 【答案】。【考点】向量的计

11、算。【解析】， 。 又，即，解得。 。例11. （2012年山东省理4分）如图，在平面直角坐标系xoy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点p的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为 。【答案】。【考点】圆的弧长，锐角三角函数，向量的坐标。【解析】根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点p旋转了弧度，此时点p的坐标为：，。例12. （2012年湖北省文5分）已知向量，则 （）与同向的单位向量的坐标表示为；（）向量与向量夹角的余弦值为。【答案】（）；（）。【考点】向量的数量积，向量同向的条件，单位向量，向量间的夹角。【解析】（）由，得。设与同

12、向的单位向量为，则,且，解得。，即与同向的单位向量的坐标为。（）由，得。设向量与向量的夹角为，则。三、平面向量与其它知识的综合：典型例题：例1. （2012年广东省理5分）对任意两个非零的平面向量和，定义若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=【】a b.1 c. d. 【答案】c。【考点】新定义，平面向量的数量积，三角函数的值域，集合的概念。【解析】由定义 ，=，。 ，即。，。又，=。 ，=。故选c。例2. （2012年广东省文5分）对任意两个非零的平面向量，定义若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中，则【 】a b c d 【答案】d。【考点】新定义，平面向量的数量积，三角函数的值域

13、，集合的概念。【解析】由定义 ，=，。 ，即。，。=。故选d。例3. （2012年湖南省理5分）在abc中，ab=2，ac=3，= 1则【 】a. b. c. d. 【答案】 a。【考点】平面向量的数量积运算，余弦定理。【解析】如图知。又由余弦定理得，即，解得。故选a。例4. （2012年上海市理4分）在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 .【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系。平行四边形中，。设，则。由得，。的横坐标为，的纵坐标为。函数在有最大值，在时，函数单调增

14、加。在时有最小值2；在时有最大值5。的取值范围是。例5. （2012年上海市文4分）在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过所在直线为轴建立平面直角坐标系。在矩形中， ，。设，则。由得，。的坐标为。，。的取值范围是。例6. （2012年安徽省理5分）若平面向量满足：；则的最小值是 来【答案】。【考点】平面向量，基本不等式的应用。【解析】，。 又，。 的最小值是。例7.（2012年山东省理12分）已知向量m=（sinx，1），函数的最大值为6。（）求a；（）将函数y=f（x

15、）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。【答案】解：（）。 函数的最大值为6。而 。（）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数。当时，.。函数g（x）在上的值域为。【考点】向量的运算，三角函数的值域，函数图象平移的性质。【解析】（）求出函数关于的表达式，化简后根据三角函数的值域确定a。（）由平移的性质，求出g（x），由得出的范围，从而求得函数g（x）在上的值域。例8.（2012年湖北省理12分）已知向量，设函数的图像关于直线=对称，其中

16、为常数，且（）求函数的最小正周期；（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。【答案】解：。（）函数的图像关于直线=对称，。又，。的最小正周期为。（ii）若的图像经过点，则有，。，。函数在区间上的取值范围为。【考点】数量积的坐标表达式，三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（）先利用向量数量积运算性质，求函数的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数化为，最后利用函数的对称性和的范围，计算的值，从而得函数的最小正周期。（ii）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数的值域。例9. （20

17、12年江苏省14分）在中，已知（1）求证：；（2）若求a的值【答案】解：（1），即。 由正弦定理，得，。 又，。即。 （2） ，。 ，即。 由 （1） ，得，解得。 ，。【考点】平面向。量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得a的值。例10.（2012年上海市理18分）对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称x具有性质p. 例如具有性质p. （1）若2，且，求的值；（4分） （2）若x具有性质p，求

18、证：1x，且当n1时，1=1；（6分） （3）若x具有性质p，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）【答案】解：（1）选取，则y中与垂直的元素必有形式。 ，从而=4。 （2）证明：取，设满足。 由得，、异号。 1是x中唯一的负数，所以、中之一为1，另一为1。故1x。假设，其中，则。选取，并设满足，即。则、异号，从而、之中恰有一个为1。若=1，则，矛盾；若=1，则，矛盾.=1。 （3）猜测，i=1, 2, , 。 记，=2, 3, , 。 先证明：若具有性质p，则也具有性质p。 任取，、.当、中出现1时，显然有满足。 当且时，、1。 具有性质p，有，、，使得。从而和中有一个是1，不妨设=1，假设且，则