正交设计和均匀设计

1、正交设计和均匀设计 在全面试验点中挑选出最具有代表性的点做试验在全面试验点中挑选出最具有代表性的点做试验，挑选的点在其范围内具有均匀分散和整齐可比的，挑选的点在其范围内具有均匀分散和整齐可比的特点。特点。 事实上，正交最优化方法的优点不仅表现在试验的事实上，正交最优化方法的优点不仅表现在试验的设计上，更表现在对试验结果的处理上。设计上，更表现在对试验结果的处理上。一、正交试验的提出：一、正交试验的提出：正交设计和均匀设计 正交试验法优点：正交试验法优点： （1）试验点代表性强，试验次数少。）试验点代表性强，试验次数少。 （2）不需做重复试验，就可以估计试验误差。）不需做重复试验，就可以估计试验

2、误差。 （3）可以分清因素的主次。）可以分清因素的主次。 （4）可以使用数理统计的方法处理试验结果，提）可以使用数理统计的方法处理试验结果，提出展望好条件。出展望好条件。正交试验（表）法的特点：正交试验（表）法的特点： （1）均衡分散性代表性。）均衡分散性代表性。 （2）整齐可比性可以用数理统计方法对）整齐可比性可以用数理统计方法对试验结果进行处理。试验结果进行处理。正交设计和均匀设计 用正交表安排试验时，对于例用正交表安排试验时，对于例1：A1 A2 A3B3B2B1C1C2C3123654789用正交试验法安排试验只需要用正交试验法安排试验只需要9次试验次试验正交设计和均匀设计用正交表安排

3、试验用正交表安排试验 一、指标、因素和水平一、指标、因素和水平 试验需要考虑的结果称为试验指标（简称指标）试验需要考虑的结果称为试验指标（简称指标） 可以直接用数量表示的叫定量指标；可以直接用数量表示的叫定量指标； 不能用数量表示的叫定性指标。定性指标可以按评不能用数量表示的叫定性指标。定性指标可以按评定结果打分或者评出等级，可以用数量表示，称为定结果打分或者评出等级，可以用数量表示，称为定性指标的定量化定性指标的定量化 试验中要考虑的对试验指标可能有影响的变量简称试验中要考虑的对试验指标可能有影响的变量简称为因素，用大写字母为因素，用大写字母A、B、C表示表示 每个因素可能出的状态称为因素的

4、水平（简称水平每个因素可能出的状态称为因素的水平（简称水平）正交设计和均匀设计SNLq 正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。我们只介绍它的记号、特点和使用方法。我们只介绍它的记号、特点和使用方法。 正交表的记号及含义正交表的记号及含义记号及含义记号及含义 正交表的列数正交表的列数（最多能安排的因素个数，（最多能安排的因素个数，包括交互作用、误差等）包括交互作用、误差等）S正交表的行数正交表的行数（需要做的试验次数）（需要做的试验次数）N各因素的水平数各因素的水平数（各因素的水平数相等）各因素的水平数相等）q正交表的代号正交表的代号L正交设

5、计和均匀设计 正交表的正交性（以正交表的正交性（以L9 (34 )为例）为例） 1 2 3 41 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 3 1 3 28 3 2 1 39 3 3 2 1列号试验号正交表的特点：正交表的特点：每个列中，每个列中，“1”、“2”、“3”出现的次数出现的次数相同；相同；任意两列，其横方向形成的九个数字对中，任意两列，其横方向形成的九个数字对中，恰好（恰好（1，1）、（）、（1，2）、（）、（1、3）、（）、（2，1）、（）、（2，2）、（）、（2，3）、（）、（3，1）、（）、（3，2）、（）、（

6、3、3）出现的次数相同）出现的次数相同这两点称为正交性：这两点称为正交性：均衡分散，整齐可比，代表性强，效率高均衡分散，整齐可比，代表性强，效率高均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐齐整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀 正交设计和均匀设计 用正交表安排试验用正交表安排试验（以例（以例1为例）为例）（1）明确试验目的，确定试验指标）明确试验目的，确定试验指标 例例1中，试验目的是搞清楚中，试验目的是搞清楚A、B、C对转化率的影响，试验指标为转对转化率的影响，试验指标为转化率化率（2）确定因素水平表）确定因素水平表（3

7、）选用合适正交表）选用合适正交表 本试验可选取正交表本试验可选取正交表L9 (34 ) 安排试验安排试验因素水平A温度（）B时间（Min）C用碱量（x%）123808590901201505%6%7%因素水平ABC123A1A2A3B1B2B3C1C2C3正交设计和均匀设计 （4）确定试验方案）确定试验方案 “因素顺序上列，水平对号入座，横着做因素顺序上列，水平对号入座，横着做”1 1(80) 1(90Min) 1(5%) 1 312 1(80) 2(120Min) 2(6%) 2 543 1(80) 3(150Min) 3(7%) 3 384 2(85) 1(90Min) 2(6%) 3 5

8、35 2(85) 2(120Min) 3(7%) 1 496 2(85) 3(150Min) 1(5%) 2 427 3(90) 1(90Min) 3(7%) 2 578 3(90) 2(120Min) 1(5%) 3 629 3(90) 3(150Min) 2(6%) 1 64 列号列号试验号试验号A温度温度()1 B时间时间(Min) 2C用碱量用碱量(x%)34 4转化率（转化率（x%）4正交设计和均匀设计正交试验结果分析极差分析法 以例以例1为例为例 分析内容：分析内容：3个因素中，哪些因素对收益率影响大，哪些因素个因素中，哪些因素对收益率影响大，哪些因素影响小；影响小；如果某个因素对

9、试验数据影响大，那么哪个水平如果某个因素对试验数据影响大，那么哪个水平对提高收益率有利。对提高收益率有利。 利用正交表的利用正交表的“整齐可比整齐可比”性进行分析：性进行分析：正交设计和均匀设计 对于因素对于因素A A温度温度()1 B时间时间(Min)2 C用碱量（用碱量（x%）3 4 转化率（转化率（x%）1 1(80) 1(90Min) 1(5%) 1 312 2(120Min) 2(6%) 2 543 3(150Min) 3(7%) 3 384 2(85) 1(90Min) 2(6%) 3 535 2(120Min) 3(7%) 1 496 3(150Min) 1(5%) 2 427

10、3(90) 1(90Min) 3(7%) 2 578 2(120Min) 1(5%) 3 629 3(150Min) 2(6%) 1 64列号列号试验号试验号正交设计和均匀设计 从表中可以看出，从表中可以看出，A1、A2、A3各自所在的那组试验中，其各自所在的那组试验中，其它因素（它因素（B、C、D）的）的1、2、3水平都分别出现了一次。水平都分别出现了一次。 计算方法如下：计算方法如下： K1A = x1 + x2 + x3 = 31+54+38=123 k1A = K1A/3=123/3=41 K2A = x4 + x5+ x6 =53+49+42=144 k2A = K2A/3=144/

11、3=48 K3A = x7 + x8+ x9 = 57+62+64=183 k3A = K3A/3=183/3=61 我们比较我们比较K1A、 K2A、K3A 时，可以认为时，可以认为B、C、D对对K1A、 K2A、K3A 的影响是大体相同的。于是，可以把的影响是大体相同的。于是，可以把K1A、 K2A、K3A 之间之间的差异看作是的差异看作是A取了三个不同水平引起的。取了三个不同水平引起的。 正交设计的整齐可比性正交设计的整齐可比性正交设计和均匀设计 对于因素对于因素B A温度（温度（）1 B时间（时间（Min） 2 C用碱量（用碱量（x%）3 4 转化率（转化率（x%）1 1(80) 1(

12、90Min) 1(5%) 1 314 2(85) 2(6%) 3 537 3(90) 3(7%) 2 572 1(80) 2(120Min) 2(6%) 2 545 2(85) 3(7%) 1 498 3(90) 1(5%) 3 623 1(80) 3(150Min) 3(7%) 3 386 2(85) 1(5%) 2 429 3(90) 2(6%) 1 64列号列号试验号试验号正交设计和均匀设计 同理可以算出：同理可以算出： K1B = x1 + x2 + x3 = 31+53+57=141 k1B = K1B/3=141/3=47 K2B = x4 + x5+ x6 =54+49+62=1

13、65 k2B = K2B/3=165/3=55 K3B = x7 + x8+ x9 = 38+42+64=144 k3B = K3B/3=183/3=48 我们比较我们比较K1B、 K2B、K3B 时，可以认为时，可以认为A、C、D对对K1B、 K2B、K3B 的影响是大体相同的。于是，可以把的影响是大体相同的。于是，可以把K1B、 K2B、K3B 之间之间的差异看作是的差异看作是B取了三个不同水平引起的。取了三个不同水平引起的。 对于对于C与此同理与此同理正交设计和均匀设计 （1）确定因素的主次）确定因素的主次 将每列的将每列的 k1 、 k2 、k3 中最大值于最小值之差称为极差（反映中最

14、大值于最小值之差称为极差（反映了同一因素取不同水平时，试验结果的变化幅度。变化幅度了同一因素取不同水平时，试验结果的变化幅度。变化幅度越大，说明该因素对试验结果的影响越大。）越大，说明该因素对试验结果的影响越大。） 即：第一列（即：第一列（A因素）因素） k3A k1A614120 第二列（第二列（B因素）因素） k2B k1B55478 第三列（第三列（C因素）因素） k2C k1C574512 影响大，就是该因素的不同水平对应的平均收益率之间的差影响大，就是该因素的不同水平对应的平均收益率之间的差异大异大 直观看出：一个因素对试验结果影响大，就是主要因素直观看出：一个因素对试验结果影响大，

15、就是主要因素 本例中：因素主次为本例中：因素主次为A C B主 次正交设计和均匀设计 （2）确定各因素应取的水平 A温度（温度（）1 B时间（时间（Min） 2 C用碱量（用碱量（x%）3 4 转化率（转化率（x%）1 1(80) 1(90Min) 1(5%) 1 312 1(80) 2(120Min) 2(6%) 2 543 1(80) 3(150Min) 3(7%) 3 384 2(85) 1(90Min) 2(6%) 3 535 2(85) 2(120Min) 3(7%) 1 496 2(85) 3(150Min) 1(5%) 2 427 3(90) 1(90Min) 3(7%) 2 5

16、78 3(90) 2(120Min) 1(5%) 3 629 3(90) 3(150Min) 2(6%) 1 64列号列号试验号试验号K1123K2144K3183k1A = K1A/3=123/3=41k2A = K2A/3=144/3=48k3A = K3A/3=183/3=61本例要求指标越大越好，本例要求指标越大越好， 应取指标最大应取指标最大的水平，的水平， k3A最大，故因素最大，故因素A应该取应该取A3正交设计和均匀设计 表格示意如下表格示意如下： K1 123 141 135 K2 144 165 171 K3 183 144 144 k1 41 47 45 k2 48 55

17、57 k3 61 48 48 R 20 8 12 指标越大越好，应该选取指标最大的水平。从上表可以指标越大越好，应该选取指标最大的水平。从上表可以看出，看出，本试验应该选取每个因素中本试验应该选取每个因素中k1、k2、k3最大的那个水平。最大的那个水平。即：即： A3B2C2 正交设计和均匀设计70605040 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3指标因素图因素指标也可以选取图形中最高的水平点得到最优生产条件也可以选取图形中最高的水平点得到最优生产条件：同时可以估计，随着同时可以估计，随着A的增加，指标还有向上的趋势的增加，指标还有向上的趋势正交设计和均匀设计 选取原则：选取原

18、则： （1）对主要因素，选使指标最好的那个水平）对主要因素，选使指标最好的那个水平 于是本例中于是本例中A选选A3，C选选C2 （2）对次要因素，以节约方便原则选取水平）对次要因素，以节约方便原则选取水平 本例中本例中B可选可选B2或者或者B1 于是用于是用A3B2C2、A3B1C2各做一次验证试验，结果如下各做一次验证试验，结果如下：试验号试验号 试验条件试验条件 收益率（收益率（x） 1 A3B2C2 74 2 A3B1C2 75最后确定最优生产条件为最后确定最优生产条件为A3B1C2正交设计和均匀设计综上所述，可获得应用正交试验法的一般综上所述，可获得应用正交试验法的一般步骤为：步骤为：

19、1）定指标，挑因子，选水平；定指标，挑因子，选水平；2）选用适当的正交表，排表头；选用适当的正交表，排表头；3）严格按表中指定条件做完各次试验，并将严格按表中指定条件做完各次试验，并将试验数据填入表格右端；试验数据填入表格右端；4）计算各列同一水平的数据和与极差，并填计算各列同一水平的数据和与极差，并填入表格下端；入表格下端；5）按极差的大小排出因子的主次；按极差的大小排出因子的主次；正交设计和均匀设计6）选取较优的生产条件；选取较优的生产条件；7）进行验证性试验，作进一步分析。进行验证性试验，作进一步分析。极差分析法的优点：简便易行，计算量少。极差分析法的优点：简便易行，计算量少。但其缺点是

20、：没有将试验条件改变引起数据的但其缺点是：没有将试验条件改变引起数据的波动与试验误差引起数据的波动区分开来；没波动与试验误差引起数据的波动区分开来；没有提供判断因子影响是否显著的标准。有提供判断因子影响是否显著的标准。正交设计和均匀设计1)确定考察的因素数目和因素水平数目。NCH3NH2CH2OHNCH3OHCH2OHCH2OHNaNO2, HClVB6酸滴加温度水解温度氢化物：亚硝酸钠：酸氢化物浓度催化剂1HCl687288921:2.32:1.58原浓度不加2H2SO4889296981:1.80:1.58浓缩0.15倍加4%因素水平维生素维生素B6的制备中，重氮化及水解反应的制备中，重氮

21、化及水解反应正交设计和均匀设计2)选用正交表Ln（tq) L表示正交设计，t表示水平数，q表示因素数，n表示试验次数。 选用L8(27)表正交设计和均匀设计操作者操作者酸酸滴加温滴加温度度配比配比催化剂催化剂氢化物氢化物浓度浓度水解温水解温度度重量重量g收率收率%111111111.9767.85211222213.0060.63322112215.9674.46422221112.7672.35512121212.5371.03612212113.7063.90721122113.6263.52821211213.5878.52k1 k2 R 正交设计和均匀设计操作者操作者酸酸滴加温滴加温度

22、度配比配比催化剂催化剂氢化物氢化物浓度浓度水解温水解温度度重量重量g收率收率%111111111.9767.85211222213.0060.63322112215.9674.46422221112.7672.35512121212.5371.03612212113.7063.90721122113.6263.52821211213.5878.52k168.8265.8567.6369.2271.1872.4766.91k269.2472.2170.4468.8566.8865.6371.16R0.426.362.810.374.306.844.25正交设计和均匀设计酸和氢化物浓度的极差R较大

23、，分别为6.36和6.84。用硫酸代替盐酸，氢化物原浓度，均使收率提高。其次水解温度（R4.25)对收率的影响也较重要。 进一步确定硫酸代替盐酸和催化剂对收率的影响，用L4(23）正交表。正交设计和均匀设计酸酸滴加时间滴加时间min催化剂催化剂重量重量g收率收率1234HClHClH2SO4H2SO460306030不加不加加加7%加加7%不加不加9.469.269.899.7670.6068.9673.8172.83K1K2R69.7873.323.5472.2170.891.3271.7271.380.34通过正交试验，维生素通过正交试验，维生素B6重氮化及水解最适宜的工艺条件为：重氮化及

24、水解最适宜的工艺条件为：配比：氢化物：亚硝酸钠：硫酸配比：氢化物：亚硝酸钠：硫酸1.0:2.0:1.5氢化物浓度：原浓度氢化物浓度：原浓度滴加亚硝酸钠温度：滴加亚硝酸钠温度：7882水解温度：水解温度：9698正交设计和均匀设计二、 均匀设计及优选方法 引言引言 正交试验设计利用：正交试验设计利用： 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正交试

25、结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正交试验的次数也会很大。如验的次数也会很大。如5因素因素5水平，用正交表需要安排水平，用正交表需要安排 25次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用5次试验就次试验就可能得到能满足需要的结果可能得到能满足需要的结果正交设计和均匀设计 均匀设计为我国数学家方开泰和王元首创，可适用于均匀设计为我国数学家方开泰和王元首创，可适用于多因素、多水平试验设计方法。试验点在试验范围内充分多因素、多水平试验设计方法。试验点在试验范围内充分均衡分散，这就可以从全面试验中挑选更少的试验点为代均衡分散，这就可以从全面试验中挑选更少的试验

26、点为代表进行试验，得到的结果仍能反映该分析体系的主要特征表进行试验，得到的结果仍能反映该分析体系的主要特征。这种从均匀性出发的设计方法，称为均匀设计试验法。这种从均匀性出发的设计方法，称为均匀设计试验法。 均匀设计与正交设计一样，也需要使用规范化的表格（均匀设计与正交设计一样，也需要使用规范化的表格（均匀设计表）设计试验。均匀设计还有使用表，设计试验均匀设计表）设计试验。均匀设计还有使用表，设计试验时必需将设计表与使用表联合使用。时必需将设计表与使用表联合使用。 均匀设计法愈正交设计法的不同：均匀设计法愈正交设计法的不同： 均匀设计法不再考虑均匀设计法不再考虑“数据整齐可比数据整齐可比”性，只

27、考虑试验性，只考虑试验点在试验范围内充分点在试验范围内充分“均衡分散均衡分散”正交设计和均匀设计 均匀设计表均匀设计表 均匀设计表符号表示的意义均匀设计表符号表示的意义Un(tq)均匀表的代号试验次数（行数）因素的水平数因素数（列数）均匀设计每因素、每水平只作一次实验，即行数等于水平数，均匀设计每因素、每水平只作一次实验，即行数等于水平数，列数是可安排的最大因素数，一般行数列数是可安排的最大因素数，一般行数(n)一列数一列数(q)+1。正交设计和均匀设计 如如U6(64)表示要做次表示要做次6试验，每个因素有试验，每个因素有6个水平，该个水平，该表有表有4列。列。 12341123622465

28、33624441535531266541U6(64)列号试验号正交设计和均匀设计 每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。下表是下表是U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1，3两列来安排试验；若有三个因素，应选用两列来安排试验；若有三个因素，应选用1，2，3三列，三列，最后，最后1列列D表示刻划均匀度的偏差表示刻划均匀度的偏差(discrepancy)，偏差值越

29、小，偏差值越小，表示均匀度越好。，表示均匀度越好。s列 号 D213 0.18753123 0.2656412340.2990U6(64)的使用表正交设计和均匀设计均匀设计有其独特的布（试验）点方式：均匀设计有其独特的布（试验）点方式： 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点仅有一个试验点 以上两个性质反映了均匀设计试验安排的以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性均衡性”，即对各因，即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。素，每个因素的

30、每个水平一视同仁。 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价 不要片面追求过少的实验次数，实验次数最好是因素数的不要片面追求过少的实验次数，实验次数最好是因素数的3倍。倍。正交设计和均匀设计 例如用例如用U6(64)的的1，3 和和1，4列分别画图，得到下面的图列分别画图，得到下面的图 (a)和和图图 (b)。我们看到，。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而的点散布比较均匀，而(b)的点散布并的点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同，因不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。此，

31、每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。均匀设计表的选用均匀设计表的选用1）根据水平数选用，如）根据水平数选用，如5水平，选用水平，选用U5（54）表；）表；7水平选用水平选用U7（76）表等表等.2）附表中均为试验次数（水平数）为奇数的均匀设计表，当水平数为）附表中均为试验次数（水平数）为奇数的均匀设计表，当水平数为偶数时，选用比水平数大偶数时，选用比水平数大1的奇数表划去最后一行即可。的奇数表划去最后一行即可。正交设计和均匀设计 试验结果分析试验结果分析均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不能采用一般的方差分析方法，通常用多元回归分能采用一般的方差分

32、析方法，通常用多元回归分析方法，找出影响因素与指标（或收率）之间统析方法，找出影响因素与指标（或收率）之间统计学关系的回归方程；或用逐步回归分析的方法计学关系的回归方程；或用逐步回归分析的方法找出主要因素及其最佳值。找出主要因素及其最佳值。正交设计和均匀设计 利用均匀设计表来安排试验的步骤：利用均匀设计表来安排试验的步骤： （1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。 （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将用表从中选出列号，将因素分别安

33、排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排好了好了正交设计和均匀设计 在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比取了原料配比(A)、吡啶量、吡啶量(B)和反应时间和反应时间(C)三个因三个因素，它们各取了素，它们各取了7个水平如下：个水平如下： 原料配比（原料配比（A）：）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4 吡啶量（吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28 反应时间（反应时间（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，

34、2.5，3.0，3.5 7个水平，根据因素和水平，我们可以选用个水平，根据因素和水平，我们可以选用U7(76)完成该试完成该试验。验。正交设计和均匀设计1234561123656224653533624144415363553124266541217777777U7(76)列号试验号正交设计和均匀设计因素数列号213 3123 41236 512346 6123456U7(76)使用表使用表U7(76)共有6列，现在有3个因素，根据其使用表，应该取1，2，3列安排试验。正交设计和均匀设计No.配比配比（A）吡啶量吡啶量（B）反应时反应时间（间（C）收率收率（Y）11.0(1)13(2)1.5(3)0.33021.4(2)19(4)3.0(6)0.3