数学思想讲座-数学文化

1、2021/3/111 2021/3/112 正整数的美学审视 对无理数的品位 无限世界的美妙 2021/3/113 美学的基本内涵： 行为的基本准则审美动机 社会进步的标准发展需要 高级的心理活动精神需求 2021/3/114 数学的价值： 历史证明：“一个国家的科 学水平可以用它消耗的数学来度 量” （A.N.RAO） 繁荣的中国需要数学。 2021/3/115 正整数的美学审视 你对正整数有感觉吗？ 你喜欢哪个（些）正整数？ 你知道数论数论吗？ 正整数优美吗？ 2021/3/116 因 数: 完美数: 素 数: | ,1, . 1 ii x a inxa 12 1 n axxx 1 1 n

2、n nn 的因数之和恰好为 即 2021/3/117 完美数有多少? 61,2,3 6123的因数为 2 81, 2 , 4 , 7 1 2 812471 4 4 的 因 数 为， 4961,2,4,8,18,31,62,124,24 4961248 1831 62 124248 8 的因数为 2021/3/118 8,12 (18 000)第四个完美数是多年前 33,550,336(1538)第五个完美数是年 8,589,869,056(1588)第六个完美数是年 物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别 用途，但优美数的奇异和美丽吸引了许 多人 2021/3/119 Euclid在探寻完美数的时

3、候发现： 完美数可能的公式： 1 2(21) nn n C 21 , . 18 n n n C 并猜想当和都是素数时 是完美数 此猜想被世纪的一 位数学家所证明. 2,3,5,7,13,17, . n n C 当时 确实是前6个完美数 2021/3/1110 21, 2 1 n n n Mersen M 形 如的 素 数 称 为素 数 记 为 2 8: 2 , 3 , 5 , 7 , 1 3 , 1 7 , 1 9 , 3 1, 6 1, 8 9 1 0 7 , 1 2 7 , 5 2 1, 6 0 7 , 1 2 7 9 , 2 2 0 3 2 2 8 1, 3 2 1 7 , 4 2 5

4、3 , 4 4 2 3 , 9 6 8 9 9 9 4 1, 1 1 2 1 3 , 1 9 9 3 7 , 2 1 7 0 1, 2 3 2 0 9 , 4 4 4 9 7 , 8 6 2 4 3 M e r s e n n 共 有个素 数 被 发 现 2021/3/1111 86243 2125000 是一个多位的数, 需要用30页A4纸. 是通过高性能 计算机来检验它是一个素数的. Mersen数在代数编码（密码学） 中有用。 2021/3/1112 区间素数个数 1-10025 100-20021 200-30016 300-40016 400-50017 500-60014 600-

5、70016 2021/3/1113 区间比例 1-1001/4 1-10001/6 1-100001/8 1-1000001/10 2021/3/1114 19世纪有一位数学爱好者观 察了600000内的素数，发现 在n和2n之间至少有1个素数。 9年后一位俄国数学家证明了 猜想的正确性。 2021/3/1115 1-n的区间 素数个数(n)(n)/n n100251/4 n10001681/5 n1000012291/8 n10000095921/10 2021/3/1116 n101001000100001000001000000 (n)/n2.545.958.1410.4212.05 l

6、n n 2.34.66.99.211.513.1 ln lim1 /( ) n n nn 2021/3/1117 1800年一位德国数学家猜想这 一等式成立，96年后，两位法 国数学家同时独立地证明了猜 想的正确性。 数学在法国地位崇高，视数 学为国学。 2021/3/1118 ( ) ln n n n 猎奇审美，它们之间是相 通的。 在杂乱无章的素数分布上， 人们发现了许多奇特的规律， 犹如万树丛中的鸟语花香 2021/3/1119 2.对无理数的品位 古希腊数学十分繁荣，与艺术和哲学 紧密相连的。古希腊哲学（毕达哥拉 斯流派）对数（正整数）和对世界的 思考是不可分割的。他们认为： 万物皆数

7、，数生万物，1最神圣 古中国：一生二、二生三、三生万物 2021/3/1120 2.对无理数的品位 无理数的发现打破了古希腊数 学与哲学的和谐，产生了数学 （也是哲学）的第一次危机 2 51 2 ： 正方形对角线长与其边长之比 ： 正五边形对角线长与其边长之比 2021/3/1121 2.1 黄金分割 AB C ACAB CBBC 问题：在直线 上找一点 ，使得 BAC x 1 1 ( 51 0.6 1 18. 1) 2 ABA x Cx x xx 若， 那么 于是 2021/3/1122 2.1 黄金分割2.1 黄金分割 2 1 2 1 10 51 2 51 2 xx x x 方程（）等价于

8、 它的两个根为 正五边形对角线长与 边长之比 正五边形边长与对角 线长之比 BAC 0.618x C点称为黄金分割 2021/3/1123 2.1 黄金分割 人体: 躯干部分的宽与长之比 肚脐、膝盖 植物：相邻两叶在与茎垂直的平面 上的投影的两夹角的比 利于通风采光 2021/3/1124 2.1 黄金分割 名曲: 高潮出现在全曲的黄金分割点 名画：充分利用了0.618 建筑: 如建筑物的特征点、门窗等 黄金分割点体现了美与实用，沟通 了人与自然 2021/3/1125 2.2 e与 无理数分类 代数无理数：整系数多项式的根 超越无理数：代数无理数以外的 无理数 证明它们是超越 无理数是相当困

9、难的。 2 51 10. 2 xx 如是的根 , e如 2021/3/1126 2.2 e与 e 与几何有关 与物理学、经济学、生物学 等有关。它可以刻画天体运 动、衰变和利率、生物繁殖 2021/3/1127 2.2 e与 无理数的定义说明它们不可以用有 限个有理数来表示。微积分的无穷 级数提供了无理数的有理数的无限 和表示。例如 111 41 357 111 11 2 !3 !4 ! e 2021/3/1128 2.2 e与 446333 3 3 36 .1 1565 588 2 22 2. 18 81828 5 0 5527 9 4 9 9 7 4 9 e 猜测：1.每隔10位数就会出现同样的 数字; 2. 的数字中必有e的前n位数字, e的数字中必有的前n位数字。 2021/3/1129 2.2 e与 456 . 10. i e e 数学美的象征 1：实数单位 i：虚数单位 0：唯一中性数 i：来源于几何 ：来源于分析 2021/3/1130 2.2 e与 cossini i e 乘法运算形式一致 246 357 234 111 c o s1 2 !4 !6 ! 111 s in 3 !5 !7 ! 111 1 2 !3 !4 ! c o ss in x ix xxxx xxxxx exxxx exix 得 到 2021/3/1131 2.2