悬而未决的简单数学问题汇编

1、一一. . 简单和不简单简单和不简单1.问：什么是“简单”的数学问题？答：中学生都可以听懂是怎么回事的数学问题叫“简单”数学问题. 2.不“简单”的数学问题的例子2000年5月24日美国麻州剑桥Clay数学研究所（克莱数学所）悬赏各100万美元征解以下七大数学难题： 1. 庞加莱猜想(2006年已解决) 2. 黎曼猜想 3. 戴尔猜想 4. 纳维-斯托克斯方程求解 5. 杨-米尔斯场问题 6. 霍奇猜想 7. P对NP问题参看“七大世纪数学难题浅释”（王国俊2006，6，17）俄罗斯数学家格里高利 佩雷尔曼庞加莱猜想(1904年)同胚和不同胚的曲面连续闭曲线可在其中连续收缩为一点的图形叫单连通

2、的(或基本群等于0).庞加莱论断在二维情形可表述为：单连通的二维紧致无边闭流形同胚于二维球面。 庞加莱猜想：庞加莱猜想：单连通的三维紧致无边闭流形同胚于S3。Smale于1960年证明了5维及以上的情形庞加莱论断成立。1982年，Freedman证明了4维庞加莱猜想成立。黎曼猜想（黎曼猜想（18591859年）年）222211111 1 234111 1 234(1750)1 , 1. 11 , 1. . 11-snspnssnspnp 级数发散收敛欧拉研究了级数年收敛素数11 ( ) 1.( )12(1)cos( ) ( ).(2 )2snsssnssssss黎曼把欧拉级数推广得出黎曼 函数

3、，的实部可开拓为除在有奇点外在全平面上的解析函数，满足条件： 1 s2n ( )0 s=.21 Re(z)=2sbi 黎曼猜想： 若且，则目前已验证了150亿个 的零点，结果全在直线上。3. 250个不简单的数学问题附注：附注：在这250个数学问题中，只有极个别的问题比较简单，如欧拉常数问题.设 11(ln),.nnknunku则 称 为欧拉常数=0.5772156649015328.目前已经算出了 的前5000位二.悬过百年才解决的 “简单”数学问题1.哥德巴赫的猜想B内容:每个大于或等于9的奇数都可表示为3个奇素数之和. 提出时间:1742年. 解决时间:1937年. 解决人:维纳格拉多夫

4、.2.费马大定理 内容:当n大于2时,xn+ yn= zn没有非平凡的整数解. 提出时间:1637年. 解决时间:1995年. 解决人:懐尔斯(Wiles,他用了七年時間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分 ).3.三大几何作图问题内容:可否用不带标记的直尺和圆规解决三等分角、立方倍积和化园为方问题.提出人:以希比阿斯(Hippias)和安提丰 (Antiphon)等人为代表的诡辩学派. 提出时间:约公元前5世纪(古希腊).否定的解决时间:19世纪.解决人:旺策儿(Wantzer,P.-L.)等人. (参看:”三等分角问题漫谈”，王国俊2008) 4.第五公设问题内容：“过直线L外一点可作

5、L的一条平行线且只能作一条平行线”.问题:第五公设可否由前面的公理推出?提出时间:公元前古希腊.解决时间:1826年.解决人:罗巴切夫斯基.5.高次方程的求根公式问题内容:寻求高于4次的整系数多项式的求根公式.提出人:意大利学派.提出时间:16世纪.解决时间:1826-1829.解决人:阿贝尔,伽罗华.Abel Galois 三至今仍悬而未决的简三至今仍悬而未决的简单数学问题单数学问题1.哥德巴赫猜想A内容：大于或等于6的偶数可表示为两个奇素数之和.提出人:哥德巴赫.提出时间:1742年.解决情况:至今只证明了1+2.2.3n+1问题内容:任取自然数K，若K是奇数，将其乘以3后再加1；若K是偶

6、数，将其除 以2. 从任一自然数出发，不断施行上述运算必然得出1.提出人：考拉茨（Collatz，德国汉堡大学大学生）.提出时间：1930年. 例：17，52，26，13，40，20，10， 5，16，8，4，2，1.进展情况：5260以内的K都成立.在1960年，日本人角谷靜夫也研究過這個猜想。但這猜想到目前，仍沒有任何新的進展.它有着一大堆其他各种各样的名字，大概都是和研究和传播它的数学家或者地点关的： 克拉兹(Collatz)问题， 哈斯(Hasse)算法问题，乌拉姆(Ulam)问题等等。 1996年B. Thwaites悬赏1100英镑来解决这个问题.看在钱大爷的份上，3n+1问题于是

7、又多了个名字，叫Thwaites猜想.今天在数学文献里，大家就简单地把它称作“3n+1问题”。角谷静夫在谈到这个猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有人都着力于解决这个问题，毫无结果.同样的事情好象也在芝加哥大学发生了。有人猜想，这个问题是苏联克格勃的阴谋，目的是要阻碍美国数学的发展。”不过我对克格勃有如此远大的数学眼光表示怀疑。这种形式如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不可求。3.完美数问题 内容：除了自身外所有因子之和等于自身的自然数叫完美数，问完美数的个数是否无限？有没有奇完美数？早期的研究者：欧几里得（他用公式2n-1（2n-1)发现了前4个完美数6，28，496，

8、8128，n=2，3，5，7）.进展情况: 到2009年为止，人们只发现了46个完美数，且都是偶数，其中最大的完美数是一个314位数 .4.0-1字符串问题内容:（1）删去串的前3位；（2）若首位是1，在串末添1101，若首位是0，在串末添00.此程序是否必然停机或循环?例1:10101，011101，10100，001101，10100，例2：011011011，01101100，0110000 ，000000，00000，0000，000，00. 提出人：多值逻辑创始人之一的E.Post. 提出时间：1920年，至今无人能回答. 5.瑞赛尔数问题内容:找出最小的Riesel数，即，奇自然数

9、K，使K2n1对于每个n都是合数.提出人:H.Riesel.提出时间：1956年.已有结果:有无穷多个Riesel数，現時找到小於106的Riesel數有：509203，762701，777149，790841和992077共5个.问题:最小的Riesel数是什么?6.谢尔宾斯基数问题内容:找出最小的Sierpinski数，即，奇自然数K，使K2n+1对于每个n都是合数.提出人：Sierpinski.提出时间:1960年.已有结果:有无穷多个Sierpinski数，78557是Sierpinski数.问题:最小的Sierpinski数是什么?7.奇妙的Kilminster分数序列与停机问题内容

10、：有如下的分数序列3/11, 847/45,143/6 ,7/3,10/91, 3/7, 36/325 ,1/2,36/5 （*）输入正整数n，在（*）中找出第一个分数，使与n相乘得整数m；若没有，停机，否则对m做同样的事.例1.n=13，停机.例2.n=10，依次得 5,36,858,102,103(36次), 105(150次), 107 (304次),1011,问题：上述程序是否总会停机？附注1： Kilminster于1999年提出此分数，当时为西澳大利亚大学学生.附注2：康威（Conway,J.H）于1987年提出程序Fractran，给出了一系列分数序列，有的可以用来依次作出2的素

11、数次方幂，同样有停机问题参看 C. Goodman-Strauss：Cant decide? Undecide！Notices of the AMS2010年，57卷，3四四.结束语结束语1.久悬不决的简单数学问题往往是解开数学奥秘的引线 化园为方问题-超越数理论 (林德曼Lindemann,1882年) 费马大定理-理想数理论 (库默尔Kummer，1847年) 第五公设问题-非欧几何诞生 (罗巴切夫斯基，1829年) 高次方程求根公式问题-群伦 (伽罗华Galois，1830年) 2.青年时代、特别是大学时代是青年学习和成长的黄金时代考拉茨Collatz-汉堡大学学生1930年提出3n+1猜测Abel-27岁，Galois-21岁柯明斯特Kilminster-西澳大利亚大学学生懐尔斯Wiles-1986年33岁时研究费马定理 3.我喜欢的故事和成语囊萤映雪-晋；