第三章 一维波动方程的达朗贝尔公式-1

1、深圳大学电子科学与技术学院第三章：行波法与积分变换法第三章：行波法与积分变换法深圳大学电子科学与技术学院3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式深圳大学电子科学与技术学院 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式 三维波动方程的定解问题三维波动方程的定解问题 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 傅立叶变换法傅立叶变换法 积分变换法举例积分变换法举例本章内容提要本章内容提要: :参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院适用范围：适用范围：无边界无边界波动方程波动方程基本思想基本思想: : 先求出偏微分方程的通解，然后先求出偏微分方程的通解，然后用定解条

2、件确定特解。这一思想与常微分方用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是类似的。程的解法是类似的。关键步骤：通过变量代换，将泛定方程化为关键步骤：通过变量代换，将泛定方程化为混合偏微分形式，便于积分后得到通解。混合偏微分形式，便于积分后得到通解。行波法行波法（要点）（要点）深圳大学电子科学与技术学院22222xuatuatxatx22222222uuuuuuuxuuxuuxuuuxuxuxu对于波动方程，引入变量代换：222222222uuuatu同理：同理： 02u将将(1)(1)化成以化成以 为变量为变量: :,（1）这样波动方程变成：这样波动方程变成：波动方程的混合微分形式3.1

3、一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式深圳大学电子科学与技术学院这是不含这是不含 的积的积分常数，但必分常数，但必须依赖于变量须依赖于变量 ，否则只有解否则只有解u( )先对先对 积分：积分：再对再对 积分：积分：波动方程的通解为波动方程的通解为 02u)()(2fdfu这是不含这是不含 的的积分常数，但积分常数，但必须依赖于变必须依赖于变量量 ，否则只，否则只有解有解)()(0fuudud不含常数u)()()()(2121atxfatxfffu21ff 和该解对于任何边界条件和初始条件都成立，该解对于任何边界条件和初始条件都成立， ：二次连续可微函数：二次连续可微函数0dud求

4、 的通解深圳大学电子科学与技术学院无界弦的自由振动无界弦的自由振动: : 任意初始位移任意初始位移, ,任意初始速度。任意初始速度。无界弦自由振动的初值问题为：无界弦自由振动的初值问题为：(1)(1)的通解为：的通解为：由由(2)(2)得到：得到：)()(),()(0022222xxtuxuxxuatutt)()(),(21atxfatxftxu（1）（2）（3）（4）（5）)()()(0)()()(21210 xxfaxfattuxxfxfut波动方程的特解深圳大学电子科学与技术学院)()()(21xxfxf（4 4）（5 5）(6)(6)(5)(5)两边对两边对 x 积分，积分区间为积分，

5、积分区间为 0, x ：)()()(21xxfaxfaxdxxafxffxf02211)(1)0()()0()(xxffxffdxxaxfdxfd0)()0(2)()0(1)(1)()(2211CXXaxfxfx021d)(1)()(推导深圳大学电子科学与技术学院)()()(21xxfxf2d)(21)(21)(2d)(21)(21)(0201CXXaxxfCXXaxxfxx)()(),(21atxfatxftxu（4）（6）(4)(4)与与(6)(6)联立得到联立得到代入代入(3)(3)：CXXaxfxfx021d)(1)()(深圳大学电子科学与技术学院atxatxatxatxXXXXaat

6、xatxXXaatxXXaatxatxfatxftxu000021d)(d)(21)()(21d)(21)(21d)(21)(21)()(),(atxatxXXaatxatxtxud)(21)()(21),(1747)(1747)结果：结果：)(),(00 xtuxutt，)(22222xxuatu达朗贝尔公式深圳大学电子科学与技术学院2ux0a a)2(2122axfut 时时，当当2ux02a 23a2ux0a2)(122axfut 时时，当当)2(222axfut 时时，当当)0(022 xfut时，时，当当)(),(22atxftxu 2ux0a3a同样道理，同样道理， 相应表示一个以

7、速度为相应表示一个以速度为a，沿，沿 x 轴负方向传播的行波，轴负方向传播的行波，称为称为左行波左行波。达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动，总是以行波的形式，同时分别向两个方向。达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动，总是以行波的形式，同时分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数 a 。基于上述原因，本节所用的方法，便称。基于上述原因，本节所用的方法，便称其为其为行波法行波法。)(),(11atxftxu 这这些些图图形形说说明明，随随着着的推移，的推移，时间时间t)(),(22taxftxu xa，向，向的图形，以速度的图形，以速度轴的正

8、方向移动。轴的正方向移动。所所以以，它它表表示示一一个个以以正正方方向向传传，向向以以速速度度xa。播的行波，称为右行波深圳大学电子科学与技术学院0.000.020.040.060.080.10081624320.000.020.040.060.080.1008162432达朗贝尔公式的物理意义达朗贝尔公式的物理意义观察者在观察者在 t=0 时刻时刻，在在位置位置x=D 看到的波形为看到的波形为观察者以速度观察者以速度a沿沿x轴正向移动轴正向移动观察者在观察者在移动移动t 时间后时间后，到达到达位置位置x=D+at ，看到的波形为，看到的波形为)()(22Dfatxf)()()(222Dfat

9、atDfatxf观察者在移动中任意时刻观察者在移动中任意时刻 t 看到的波形相同，看到的波形相同，波形跟观察者一样以速度波形跟观察者一样以速度 a 沿沿 x 轴正向移动轴正向移动 0 D D+at x 结论：结论： 表示以速度表示以速度a沿沿x轴正向运动的行波轴正向运动的行波)(2atxf)(2atxf深圳大学电子科学与技术学院通解：通解：)()(),(21atxfatxftxu （反行波）（反行波） （正行波）（正行波）t=t1t=t2波动方程的通解是正行波和反行波的叠加波动方程的通解是正行波和反行波的叠加xxu(x,t)1f1f2f2f2f1ft=0 x深圳大学电子科学与技术学院tax 0

10、 xfttax 0 xft右传播波右传播波)(2taxf 左传播波左传播波)(1taxf 深圳大学电子科学与技术学院atxatxXXaatxatxtxud)(21)()(21),(特解：特解：在初始速度为零情况下：在初始速度为零情况下：特解是特解是( (波形相同的波形相同的) )正行波和反行波的叠加。正行波和反行波的叠加。但在初始速度不为零的情况下，特解包含正、反行但在初始速度不为零的情况下，特解包含正、反行波及波及“干涉项干涉项” ” ，后者的出现能使波形发后者的出现能使波形发生畸变（甚至变成单个的行波）。生畸变（甚至变成单个的行波）。)()(21),(atxatxtxuatxatxXX d

11、)(深圳大学电子科学与技术学院)(2,)(220022222xaxetueuxxuatuxtxt22222222)()()()(221212121221atxatxatxatxatxatxXatxatxXatxatxXatxatxXeeeeeXdedXXedXaXeadXaXeaeetxuatxatxXatxatx22222121),()()(2)(),(atxetxu物理意义：特解是以物理意义：特解是以速度速度a、沿沿 x轴正向传轴正向传播的高斯波包播的高斯波包波动方程的一个特解: 高斯波包深圳大学电子科学与技术学院1.1.孤立波服从非线性波动方程孤立波服从非线性波动方程 2.2.它的解是双

12、曲正割函数：它的解是双曲正割函数：3.3.孤立波是沿孤立波是沿 x 轴正向传轴正向传 播的波包播的波包4.4.在介质中传播不损失能量在介质中传播不损失能量 * *激光器，激光器，* *光纤通讯光纤通讯, , * *细胞通讯细胞通讯 aatxEtxEsech),(0 任意位置任意位置 x 的波形的波形ax/uusin20E 0 t孤立波（Soliton）:深圳大学电子科学与技术学院sinh xcosh xx11sinhcosh22xx2coshxxeex2sinhxxeexxxeexxh2cosh1)(sec-6-4-202460.00.20.40.60.81.01.2xSech(x)深圳大学电

13、子科学与技术学院孤立子脉冲的时间积分孤立子脉冲的时间积分( (脉冲面积脉冲面积) )给出它在空间任给出它在空间任意位置意位置z的能量：的能量： 这意味着孤立子脉冲在空间传播时，其能量与空间位这意味着孤立子脉冲在空间传播时，其能量与空间位置置z没有关系，即在任意位置孤立子脉冲具有相同的能没有关系，即在任意位置孤立子脉冲具有相同的能量量( (能量守恒能量守恒) )。换言之，孤立子在介质中传播时不损。换言之，孤立子在介质中传播时不损失它的能量。失它的能量。这是由于这是由于sechsech波形所决定的。波形所决定的。E2sinharctansech),(00 xEdtUztEdttzE孤立子传播不损失

14、能量深圳大学电子科学与技术学院面积为面积为2 2 的孤立子光脉冲进入介质之初，原子处于低能态。孤的孤立子光脉冲进入介质之初，原子处于低能态。孤立子通过介质时将原子从低能态激发到高能态，在这个过程中立子通过介质时将原子从低能态激发到高能态，在这个过程中孤立子失去了一定的能量；随后当孤立子离开介质时，高能态孤立子失去了一定的能量；随后当孤立子离开介质时，高能态的原子跃迁回低能态又将等量的能量的原子跃迁回低能态又将等量的能量“退还退还”给孤立子。这样给孤立子。这样孤立子在穿过介质的全过程中没有将自身的能量消耗在原子系孤立子在穿过介质的全过程中没有将自身的能量消耗在原子系统中。所以孤立子脉冲是一个所谓

15、的统中。所以孤立子脉冲是一个所谓的“自感应透明自感应透明”脉冲脉冲（介（介质对孤立子是质对孤立子是”透明透明“的）。的）。 物理机制深圳大学电子科学与技术学院 依赖区间依赖区间 决定区域决定区域 影响区域影响区域 特征方程特征方程 特征线特征线 特征变换特征变换 特征线法特征线法达朗贝尔公式的进一步讨论达朗贝尔公式的进一步讨论深圳大学电子科学与技术学院atxatxdXXaatxatxtxu)(21)()(21),(达朗贝尔公式中的积分值只依赖于初始速度达朗贝尔公式中的积分值只依赖于初始速度 在区间在区间 内的变化行为，这意味着特解内的变化行为，这意味着特解 u(x,t) 只依赖只依赖于该区间的

16、初始条件，而与其他点上的初始条件无关。这于该区间的初始条件，而与其他点上的初始条件无关。这个区间被称为点个区间被称为点(x,t)的的依赖区间依赖区间。下面我们考察这个区间的边界下面我们考察这个区间的边界，为此，设，为此，设 X 是该区间内是该区间内的任意一点的任意一点, , 则则设设 X 的最小值为的最小值为X1, ,最大值为最大值为X2，则区间的边界为，则区间的边界为: :atxatx,atxXatx21,XatxXatx)(X特解依赖初始条件的区间深圳大学电子科学与技术学院21,XatxXatxaXaxtaXaxt21aXaX12tx 决定区域决定区域( (二直线与二直线与t = 0围成的

17、区域围成的区域) )aXaxtaXaxt21,在在 t-x 平面上，平面上， 是斜率为是斜率为 的两条直线的两条直线a121XX依赖区间依赖区间(t = 0)决定区域决定区域(t 0)0决定区域:依赖区间atxatx,深圳大学电子科学与技术学院决定区域决定区域1X2X),(txxt0依赖区间依赖区间taXx2taXx10 t 上图所示的三角形区域中的任意一点上图所示的三角形区域中的任意一点（x，t）的依赖区间，的依赖区间，都落在了区间都落在了区间X1,X2 上，因此求解在此三角形区域中的数值，上，因此求解在此三角形区域中的数值，完全由区间完全由区间 X1,X2上的初始条件决定，而与此区间外的初

18、始条上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关。在这个区间上给定初始条件，就可以在其确定的区域件无关。在这个区间上给定初始条件，就可以在其确定的区域中确定初始值问题的解，这就是被称为中确定初始值问题的解，这就是被称为决定区域决定区域的由来。的由来。这个三角形区域称为区间X1,X2的决定区域。深圳大学电子科学与技术学院aXaX12ttxx经过经过 t 时间后时间后, ,任意点任意点 x 的变化范围是的变化范围是 21XX依赖区间依赖区间决定区域决定区域21XxXatXxatX21atXx1atXx2( (二直线与二直线与t = 0围成的区域围成的区域) )影响区域影响区域21XX00正行波正行

19、波在在t = 0时刻，依赖区间上任意点时刻，依赖区间上任意点x的变化范围是的变化范围是反行波反行波aXaxtaXaxt21影响区域:深圳大学电子科学与技术学院影响区域影响区域1X2Xxt0t aXx1t aXx20 t 若过若过X1、X2分别作直线分别作直线 ，则经历时间，则经历时间t之之后，在区间后，在区间X1,X2上受到的初始扰动影响的区域为上受到的初始扰动影响的区域为taXxtaXx21,)0(21ttaXxtaX在此区域之外的波动，则不受在此区域之外的波动，则不受X1,X2上初始扰动的影响，称上初始扰动的影响，称t-x 平面上，由上述不等式所确定的区域，为平面上，由上述不等式所确定的区

20、域，为 X1,X2的的影响区域影响区域。深圳大学电子科学与技术学院21,XatxXatx)()(2112122XCCatxCatxXCCatxtx特征线特征线: :两族直线两族直线aXaxtaXaxt21,在在 t-x 平面上，平面上， 是斜率为是斜率为 的两条直线的两条直线a10特征线深圳大学电子科学与技术学院 从上面的讨论中可以看出，在从上面的讨论中可以看出，在 平面上，斜率为平面上，斜率为 的的两族直线两族直线, , 对一维波动方程：对一维波动方程：xta1 22222xuatu 的研究起着重要的作用，我们称这两族直线为上述一维波动方程的研究起着重要的作用，我们称这两族直线为上述一维波动

21、方程的的特征线特征线。 因为在特征线因为在特征线 上，右行波上，右行波 的振幅取常数值的振幅取常数值 ；2Ctax )(22taxfu )(22Cf1Ctax )(11taxfu )(11Cf 因为在特征线因为在特征线 上，左行波上，左行波 的振幅取常数值的振幅取常数值 ,且这两个数值，随特征线的移动（即常数且这两个数值，随特征线的移动（即常数 的改变）而变化。所以，的改变）而变化。所以，)2 , 1( iCi波动波动实际上是沿特征线传播的。变换实际上是沿特征线传播的。变换 常称为常称为特征变特征变换换，行波法又常称为，行波法又常称为特征特征线法线法。 atxatx 特征线特征线:两族直线两族

22、直线深圳大学电子科学与技术学院21CatxCatxatxatx,21, CC是常数是常数 是变量是变量特征线 特征变换波动波动实际上是沿特征线传播的。变换实际上是沿特征线传播的。变换 常称常称为为特征变换特征变换，行波法又常称为，行波法又常称为特征特征线法线法。 atxatx 深圳大学电子科学与技术学院22222xuatu0)()(222dtadx21CatxCatxatxatx02u原方程：原方程：特征方程：特征方程：特征线：特征线：特征变换：特征变换：简化方程：简化方程：结论：只要结论：只要找到特征方找到特征方程就可以将程就可以将原方程化简原方程化简)()(21ffu结论深圳大学电子科学与

23、技术学院需要注意：需要注意：常常数数它它的的两两族族特特征征线线： tax 正好是常微分方程正好是常微分方程 的积分曲线，这个常微分方程，的积分曲线，这个常微分方程，称之为一维波动方程的特征方程。对于更一般的二阶线性偏微分方程称之为一维波动方程的特征方程。对于更一般的二阶线性偏微分方程0)()(222 tdaxd对于一维波动方程：22222xuatu 来说，它的特征方程为来说，它的特征方程为0222222 uFyuExuDyuCyxuBxuA)12. 3(0)(2)(22 xdCydxdBydA)13. 3(这个常微分方程的积分曲线，称为偏微分方程（这个常微分方程的积分曲线，称为偏微分方程（3

24、.12）的特征曲线。）的特征曲线。二阶线二阶线性偏微分方程的特征曲线，仅与该方程中的二阶导数项的系数有关，而与其低性偏微分方程的特征曲线，仅与该方程中的二阶导数项的系数有关，而与其低阶项的系数无关。阶项的系数无关。 需要注意的是，并不是任意一个二阶线性偏微分方程（需要注意的是，并不是任意一个二阶线性偏微分方程（3.12）都有两族实的）都有两族实的特征线。特征线。深圳大学电子科学与技术学院则在此区域内，称（则在此区域内，称（3.12）为双曲型方程，波动方程属于双曲型）为双曲型方程，波动方程属于双曲型 方程。方程。,02 ACB 则在此区域内，称（则在此区域内，称（3.12）为抛物线型方程，热传导

25、方程属于抛物）为抛物线型方程，热传导方程属于抛物 线型方程；线型方程；,02 ACB 则通过此区域内的每一点才有两条相异的实的特征线；则通过此区域内的每一点才有两条相异的实的特征线； 需要注意的是，并不是任意一个二阶线性偏微分方程（需要注意的是，并不是任意一个二阶线性偏微分方程（3.12）都有两族实的特征）都有两族实的特征线。例如，线。例如，若在某一区域内若在某一区域内 则通过此区域内的每一点都不存在实的特征线；则通过此区域内的每一点都不存在实的特征线；,02 ACB,02 ACB 则通过此区域内的每一点仅有一条实的特征线；则通过此区域内的每一点仅有一条实的特征线；,02 ACB0222222

26、 uFyuExuDyuCyxuBxuA)12. 3(若在某区域内若在某区域内 则在此区域内，称（则在此区域内，称（3.12）为椭圆形方程，拉普拉斯方程、泊松方）为椭圆形方程，拉普拉斯方程、泊松方 程，均属于椭圆形方程；程，均属于椭圆形方程；,02 ACB深圳大学电子科学与技术学院),(22222txfxuatu),(222222yxfFuyuExuDyuCyxuBxuAACB 2 0 （双曲型）（双曲型） 如如一维波动方程一维波动方程 =0 （抛物线型）（抛物线型） 如如一维热传导方程一维热传导方程 0 （椭圆型）（椭圆型） 如如二维拉氏方程二维拉氏方程 ),(222txfxuatu02222

27、yuxuFyExDyCyxBxA222222L),(yxfu L二阶线性偏微分方程: 通式和分类通式和分类深圳大学电子科学与技术学院0222222FuyuExuDyuCyxuBxuA)0(2 ACB0)(2)(22dxCBdxdydyAAACBBdxdyAACBBdxdy22 特征方程：特征方程：结论 (一般情况)深圳大学电子科学与技术学院)0(2 ACB0)(2)(22dxCBdxdydyA2212CxAACBByCxAACBBy特征线：特征线：022ufueudub注：只有双曲方程有注：只有双曲方程有特征线特征线xAACBByxAACBBy22特征变换：特征变换：简化方程：简化方程：在在A

28、、B、C均为常数时：均为常数时：AACBBdxdyAACBBdxdy22深圳大学电子科学与技术学院 无论（无论（3.12）为哪一种类型的方程，一般情况都可以通过）为哪一种类型的方程，一般情况都可以通过适当的自变量之间的代换，将其化简为所谓的标准形式。适当的自变量之间的代换，将其化简为所谓的标准形式。 下面举例说明，如何通过将一维波动方程化简，来求其定下面举例说明，如何通过将一维波动方程化简，来求其定解问题。解问题。深圳大学电子科学与技术学院)12. 3(0222222 uFyuExuDyuCyxuBxuA)13. 3(0)(2)(22 dxCdydxBdyA0)()(222 dxtda2222

29、2xuatu 022222 tuxua0)()(222 tdadx顺顺序序排排列列；、交交叉叉项项将将原原方方程程按按照照yxyx. 1位位置置不不变变但但反反号号；交交叉叉项项 xy字字母母位位置置交交换换，与与尽尽管管特特征征方方程程中中的的yx. 3顺顺序序排排列列；、交交叉叉项项特特征征方方程程按按照照xxyy. 2变变。但但对对应应的的系系数数、符符号号不不（习习惯惯写写法法）其其特特征征方方程程为为：难点：其其特特征征方方程程为为：特特征征方方程程的的写写法法:一一例例:二二例例深圳大学电子科学与技术学院练习一：练习一：0cos)(cossin2222222 yuxyuxyxuxx

30、u求求解解0)()(cossin2)(222 dxxdyxdxdy0)()sin(22 dxxdxdy0)sin)(sin( dxxdxdydxxdxdy1cos1sinCxxyxdxdy 2cos1sinCxxyxdxdy yxx cos 令令yxx cos 02u原方程被变换为标准型解解：特特征征方方程程为为因因此此有有.)1cossin()()(cossin2)()1(sin)(sin2)()()(sinsin2)()()sin(2222222222222 xxdxxxdxdydyxdxxdxdydydxxdxxdxdydydxxdxdy其中，利用了：其中，利用了：证明：证明：其通解为：

31、其通解为：)()(),(21 ffu )(cos)(cos21yxxfyxxf 0) 1(sin) 1(sin0)(1)(sin1(sinsin2)(0)(1(sinsin2)(22222dxxdydxxdydxxxdyxdxdydxxdyxdxdy或者：深圳大学电子科学与技术学院上述偏微分方程的特征方程上述偏微分方程的特征方程0)(2ydxdyd0 yd0 xdyd积分，得到两族积分曲线（特征曲线）为积分，得到两族积分曲线（特征曲线）为1Cy 2Cyx 0222 yxuxu0)( dxdydy对特征方程行因式分解，得对特征方程行因式分解，得出特征方程依据特征方程的定义写（ ) 1顺顺序序排排

32、列列；、交交叉叉项项将将原原方方程程按按照照yxyx. 1位位置置不不变变但但反反号号；交交叉叉项项 xy字字母母位位置置交交换换，与与尽尽管管特特征征方方程程中中的的yx. 3顺顺序序排排列列；、交交叉叉项项特特征征方方程程按按照照xxyy. 2变变。但但对对应应的的系系数数、符符号号不不练习二：练习二：（2）得到特征变换为）得到特征变换为y yx （3）通解为）通解为)()(),(21 ffu )()(21yxfyf 试写出下列方程的通解试写出下列方程的通解深圳大学电子科学与技术学院例例1 求下面柯西问题的解：求下面柯西问题的解：0)(32)(22 xdydxdyd xyyuyxuxu,0

33、,03222222 xyuxuyy,0,3020解解 泛定方程所对应的特征方程为泛定方程所对应的特征方程为特征曲线（两族积分曲线）为特征曲线（两族积分曲线）为13Cyx 2Cyx 作特征变换作特征变换)14. 3()15. 3( yxyx 3)16. 3(被被转转化化为为标标准准型型于于是是，经经过过变变换换原原方方程程（验验证证过过程程附附后后）02 u). 3( 顺顺序序排排列列；、交交叉叉项项将将原原方方程程按按照照yxyx. 1位位置置不不变变但但反反号号；交交叉叉项项 xy字字母母位位置置交交换换，与与尽尽管管特特征征方方程程中中的的yx. 3顺顺序序排排列列；、交交叉叉项项特特征征

34、方方程程按按照照xxyy. 2变变。但但对对应应的的系系数数、符符号号不不深圳大学电子科学与技术学院验证验证xuxuxu yuyuyu 2222222222222)(2)(xuxuxuxxuxuxu yxuyxuyxuxyyxuyxuyxu 22222222)()(2222222222222)(2)(yuyuyuyyuyuyu 将上述结果代入原方程中将上述结果代入原方程中 xyyuyxuxu,0,0322222222222222222)(2)(xuxuxuxxuxu yxuyxuyxuxyyxuyxu 222222222)(2)(22033)(36)(322222222222 yuyuyuyy

35、uyu 同时，考虑到同时，考虑到 yxyx 3则有则有1,3 yx 1,1 yx 于是，原方程变换成于是，原方程变换成事实上可依据事实上可依据Jacobi行列式行列式还有还有02 u). 3( 深圳大学电子科学与技术学院02 u)()(21 ffu 其中其中 是两个任意二次连续可微的函数。这样，原方程的通解为是两个任意二次连续可微的函数。这样，原方程的通解为21, ff xyuxuyy,0,3020)()3(21yxfyxfu )17. 3( xyyuyxuxu,0,03222222（原原泛泛定定方方程程） yxyx 3（通通过过变变换换）（化化成成了了标标准准型型）件件：将将原原定定解解问问

36、题题的的初初始始条条），得得分分别别代代入入（ 3.17 2213)()3(xxfxf )18. 3(0)()3(21xfxf)19. 3(Cxfxf )()3(3121)20. 3(）式式积积分分一一次次，得得将将（3.19。与与函函数数）联联立立，从从而而求求出出：（）与与显显然然，可可以以由由（213.203.18ff). 3( 关关注注从从这这里里开开始始）的的通通解解为为：（请请密密切切标标准准型型（ 3.深圳大学电子科学与技术学院Cxxf 21)3(41)3(Cxxf 2243)( Cxxf 2149)3(Cxxf 2243)( 2213)()3(xxfxf )18. 3(Cxfx

37、f )()3(3121)20. 3(），得得到到）、（联联立立求求解解（3.203.18上上述述结结果果，可可以以改改写写为为)()3(21yxfyxfu )17. 3(Cxxf 2141)(Cxxf 2243)( 注意：这里括号内仅注意：这里括号内仅表示自变量！而不是表示自变量！而不是具体函数！具体函数！）式式入入到到（将将改改写写的的最最后后结结果果，代代3.17代回原来的自变量，从而得到所求的解为代回原来的自变量，从而得到所求的解为22223)(43)3(41),(yxyxyxyxu （剖剖析析附附后后）替替换换，于于是是得得到到、分分别别以以，将将上上式式中中的的变变量量)()3(yxyxx 深圳大学电子科学与技术学院)()(),(21 ffu 022222 xuatu标标准准型型的的通通解解为为（原原泛泛定定方方程程）02 u taxtax （通通过过特特征征变变换换）（化化成成了了标标准准型型）)()(),(21taxftaxfyxu 原原方方程程的的通通解解为为其其逆逆变变换换为为则则有有关关联联关关系系atxatx ,令令atx2,2 ),()2,2(),(uautxu的通解出发的通解出发从标准型方程从标准型方程代入特征变换代入特征变换捆捆绑绑初初始始条条件