一元二次不等式组解法

1、一元二次不等式组解法一、学习目标1、掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地 求出一元二次不等式的解集。2、掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。二、例题第一阶梯例1什么是一元二次不等式的一般式?【解】一元二次不等式的一般式是:ax2+bx+c (a0)或 ax2-t-bx+c0)【评注】1、一元二次不等式的一般式中，严格要求a0,这与一元二 次方程、二次函数只要求aHO不同。2、任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式” 之一，当alVO时，将不等式乘一1就化成了 “a0”。2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什 么？【点拨】用函数的观点来回答。【解】二次不等

2、式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数 y二0x2+bx+c (aHO)的图象是抛物线L,则不等式ax2+bx+c0,ax2+bx+cOA=OA0 (a0)的解集(一, xl) U (x2,+8)(- 8, xO) U (xO, +8)Rax2-t-bx+c0)的解集(xl, x2)【评注】1、不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根” 来活记活用。2、二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。4、写出一元二次不等式的解法步骤。【解】一元二次不等式的解法步骤是：1、化为一般式ax2+bx+c0 (a0)或 ix2+bx+cV0 (a0) 0”。2、计算二b2 4ac,判别与求根

3、：解对应的二次方程 ax2+bx+c二0,判别根的三种情况，MO时求出根。3、写出解集：用区间或用大括号表示解集。例：解不等式x+23x2解：原不等式等价于3x2-x-2V0 解方程 3x2 X2二0 得二根：，x2=lo原不等式的解集为(,1)。第二阶梯例1、解下列不等式:(1) 2+3x 2x2V0；(2) -x2+2x-3x0；(3) x2-4x+40【解】 (1)原不等式等价于2x2-3x-20由2x2 3x 2二0得,x2二2、原不等式的解集是(2)原不等式等价于：x2-2x+30 由二0【探路】化为一元二次不等式来解。【解】Vy=x2+x+l 的判别式=120 二对一切 xWR 恒

4、有 x2+x+l0,原不等式等价于(1+X)(2-x)00-lx（）,因 此列成是错误的。又若只列成MO也是错误的，MO只 能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立 xlx20,xl+x20 的条件。2、利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用。第三阶梯例5、已知 A二，B二。（1）若BA,求a的取值范围；（2）若AQB是单元素集合，求a取值范围。【探路】先解不等式化简集合A和B,再利用数轴表示两个集合的关 系，求a的取值。【解】解不等式得A二1, 2；而B二W0。（1）若BA,如图1,得a的取值范围是1 a2o （2）若AAB是单元素集合，如图2, APIB只能是集合1a

5、的取值范围是aWl。【评注】集合B的最简表示只能是B二,这是因为不知道a与1的大 小，不能表示为最简洁的区间；此外，当3二1时，集合B是单元 素集合，即B二1,也不该表示为区间。6、解关于 X 的不等式 2x2-5ax-3a20时，30,原不等式的解集是当a二0时，=3a=0,原不等式的解集是。【评注】解含字母系数的二次不等式，在求出相应方程的二根后，应 注意对字母分类讨论两根的大小，进而确定相应的解集。例7已知（且b0）的解集为x| lWxW2,求实数呂，b 的值。【探路】将不等式|ax+3|b化为二次不等式，利用二次不等式与二次 方程的关系求a、b的值。【解】关于X的二次不等式（i20）的

6、解集为一1, 2。第1页共1页二一1和2是方程的二根二解得；或Tb0,舍去后一组解。/. a=-6, b=9【评注】本例就是利用一元二次不等式与一元二次方程的联系来解题。三、练习题A组1、不等式|x(x+l)| x(x+1)的解集是()(A) (一8, -1) U (-1, +8)(B)(-1, +8)(C)一8, -1) U (-1, 0)(D)(-1, 0) 2、不等式 42x2+axa2 (常数 a0)的解集是()(A)(B)(C)(D) 3、不等式VO的解集是()(A) (0, 3)(B) (-3, 0)(C) ( 3, 3)(D) R4、若关于 X 的不等式 ax2+bx+c0(0工

7、0)的解集为，那么()(A) a0 (B) aVO,且 b2-4acW0 (C) a0,且 b2-4acW0 (D) a0,且 b2-4ac05.有三个关于x的方程：，已知其中至少有一个方程 有实根，则实数a的取值范围为()(A) -4WaW4 (B) 一2a4(C) a0 (D) aW 2,或 aM46、不等式4Wx2-3xV18的整数解集是。7、若方程组有两组解，则实数m的取值集合是。8、集合 A二，B二，则 AGB二 O9、若的解集是x|2x4,则P，q的值分别是P二，q=。10、对任何实数X,函数的值恒为负数，则P的取值范围【答案】1、D2、B3、C4、C5、D6、一2, 1, 4,

8、57、() 8、(2, 4) 9、10、一4 0； (2)2x(x-) 0； (3)14-4x2 $x； (4)0x2-x-2 3(x-9)、3、解不等式:(1) 14.解不等式(x+a) (x+b) 0(ab)5. X为何值时，抛物线y=-x2+5x-5 的点位于直线y=l的上 方。6.已知 U二R,且 A二x| x2-9 0 ,B 二x| x2-3x+22 0求:(1) APB； (2) AUB (3) Cu (AAB) (4) (Cu A) U(Cu B) 7.不等式(a2-l) x2-(a-l)x-l 9、已知全集U二R, A=xx2-x- 60,B=x|x2+2x-80,C= (x

9、x2-4ax+3a0.若 AQBC,求实数呂 的取值范围。10.已知 A=x|X - aWl,B 二x|2 0,且 AQB 二，求 a 的取值范围。答案 1(1) xIx-l； (2) x|0； (3)xi-2WxW； (4)xi-2X-l SPAN 或 2x32. (x 1 x3、(1)(x!- X ； (2)x| X 4. x|x-a. 5、x2X36、 易得 A= (-3, 3) , B= ( 8, 1) U 2, +8,则(1)AQB= x|-33(2) AUB = R (3) Cu(AB) = xIx W - 3 或1X2 或 X23、(4) (CuA) U ( CuB) = xIx -3 或 1X37.当 a2-l=0 时沪 1,有 xWR、 当 a2-l 0 时, = (a-1) 2+4(a2-l)=5a2-2a-30 a2-l0 即一A1 时有XeR、 综上所述：一aWK SPAN8. x化为0,化为 或即 xl 或-lX